降幂公式、辅助角公式应用

1、降幂公式、辅助角公式应用降幂公式(cos )2=(1+cos2 )/2(sin )2=(1-cos2 )/2(tan )2=(1-cos(2 )/(1+cos(2 ) 推导公式如下直接运用二倍角公式就是升幂，将公式Cos2 变形后可得到降幂公式：cos2 =(cos )2 (sin )2=2(cos 1=1)22(sin )2cos2 =2(cos )2 1,(cos )2=(cos2 +1)/2co s2 =1 2(sin )2,(sin-cos2)2=(1 )/2降幂公式例 10 、（ 2008惠州三模） 已知函数f ( x)3 sin 2 xsin xcos x（ I）求函数 f ( x

2、) 的最小正周期；（ II ）求函数 f (x)在 x0,的值域 .2解： f ( x)3 sin 2 x sin x cos x31 cos2x1 sin 2x221 sin 2x3 cos2x3sin(2x)3（I） T2222322（II） 0x2x43) 13sin(2x23323所以 f (x) 的值域为：233,2点评 ：本题考查三角恒等变换，三角函数图象的性质，注意掌握在给定范围内，三角函数值域的求法。例11、（2008广东六校联考） 已知向量 a (cos3 x ，sin3 x， b x，x )，且2)( cossin222x 0 ， 2（ 1）求 a b（ 2）设函数 f (

3、 x) a b + ab ，求函数 f ( x) 的最值及相应的x 的值。解：（ I）由已知条件： 0xrr3xx3xx， 得： ab(coscos,sinsin )22222(cos 3xcos x) 2(sin 3xsin x )222cos2x2 sin x2222（ 2 ） f (x) 2 sin xcos3x cos xsin 3x sin x2 sin x cos2x22222sin 2 x2 sin x12(sin x1) 23，因为： 0 x，所以： 0sin x 1222x1fmax ( x)30 ，或 x1 时， f min ( x)1所以，只有当：2时， x2点评 ：本题

4、是三角函数与向量结合的综合题，考查向量的知识，三角恒等变换、函数图象等知识。例 12 、（ 2008北京文、理） 已知函数 f ( x) sin 2x3 sin xsin( x)( f 0) 的最2小正周期为 .（）求的值；（）求函数 f(x)在区间 0 ， 2 上的取值范围 .3解：（） f ( x)1cos2x3sin 2 x22=3 sinx1 cos2x1222= sin(2x)1 .622因为函数 f(x)的最小正周期为 , 且 0 ，所以2解得 =1.（）由（）得f (x)sin(2 x)1 .262，因为 0 x3所以17 2x6.26所以1)1. (2 x26133因此 0 s

5、in(2x)，即 f(x )的取值范围为 0 ，2622点评： 熟练掌握三角函数的降幂，由2 倍角的余弦公式的三种形式可实现降幂或升幂，在训练时，要注意公式的推导过程。辅助角公式与三角函数的图像变换r(3 sin x,cos x),r例9 、（ 2008 深 圳 福 田 等 ） 已 知 向 量 ab (cos x,cos x) , 函 数rr1f (x) 2ab(1) 求 f ( x) 的最小正周期 ;(2) 当 x, 时 , 若 f ( x) 1,求 x 的值62解：(1)f ( x)2 3 sin x cos x2cos 2 x13 sin 2 xcos2 x2sin(2 x) .6所以，

6、 T .(2)由 f ( x)1,得 sin2x16，2 x , ， 2x6,7 2 x65 x362266点评 ：向量与三角函数的综合问题是当前的一个热点，但通常难度不大，一般就是以向量的坐标形式给出与三角函数有关的条件，并结合简单的向量运算，而考查的主体部分则是三角函数的恒等变换，以及解三角形等知识点.例 10 、（ 2007山东文） 在 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为a， b， c，tan C3 7 （ 1 ）求 cosC ；uuuruuur5，且 ab9 ，求 c （2）若 CB ?CA2sin C解：（ 1 ）Q tan C37，3 7cosC1又 Q sin 2 Ccos

7、2 C1解得 cosC8Q tan C 0 ，C 是锐角cosC18uuuruuur55ab cosCab20 （2）由 CB ?CA，22又 Q ab9a22ab b281 a2b241c2a2b22ab cosC36 c6 点评 ：本题向量与解三角形的内容相结合，考查向量的数量积，余弦定理等内容。例 11 、（2007湖北） 将 yx的图象按向量 a平移，则平移后所得图2cos6， 234象的解析式为（）x2 y 2cosx y 2cos43234 y2cosx2 yx3122cos1223解： 由向量平移的定义，在平移前、后的图像上任意取一对对应点P'x' , y'

8、; ， P x, y，则uuur''''a2'xxy 2 ，代入到已知解析式中可得选4，P Px , yyx, y4点评 ：本题主要考察向量与三角函数图像的平移的基本知识，以平移公式切入，为中档题。注意不要将向量与对应点的顺序搞反，或死记硬背以为是先向右平移个单位，再向下平移2 个4单位，误选33xsinx )，且例 12、（ 2008广东六校联考）已知向量a (cosx ，sinx )， b (cos2，222x 0 ，2 （ 1 ）求 ab2fxa b + a bf ( x)x 的值。（ ）设函数( )，求函数的最值及相应的解：（ I）由已知条件：0

9、x2， 得：a b(cos 3xcos x ,sin 3xsin x )(cos 3xcos x )2(sin 3xsin x )22222222222cos2x2 sin x（ 2 ） f (x)2 sin x3xxsin3xx2 sin x cos2xcos cossin22221) 232 sin 2 x2 sin x 12(sin x22因为： 0x2，所以： 0sin x113fmax ( x)所以，只有当：x时，22x0 ，或 x 1时， f min ( x)1点评 ：本题考查向量、三角函数、二次函数的知识，经过配方后，变成开口向下的二次函数图象，要注意sinx 的取值范围，否则容

10、易搞错。降幂公式、辅助角公式题库1. （ 2010浙江理）（11）函数 f ( x)sin(2x) 2 2 sin2 x 的最小正周期是4_ .解析： fx2 sin 2x2 故最小正周期为，本题主要考察了三角恒等变换及相关公24式，属中档题2. （ 2010浙江文）（12 ）函数 f ( x)sin2 (2 x) 的最小正周期是。4答案21. （ 2010 湖南文） 16. （本小题满分 12 分）已知函数f ( x)sin 2x2sin 2 x（ I）求函数f (x) 的最小正周期。(II) 求函数 f ( x) 的最大值及 f (x) 取最大值时 x 的集合。5. （ 2010 北京文）

11、（ 15 ）（本小题共 13 分）已知函数 f ( x) 2cos 2x sin2 x（）求f () 的值；3（）求f (x) 的最大值和最小值解：（） f ( )2cos 2sin2=13133344（） f ( x)2(2cos 2 x 1)(1cos2 x)3cos2 x1, x R因为 cosx1,1 ,所以，当 cos x1时 f ( x) 取最大值2 ；当 cosx0 时， f ( x) 去最小值 -1 。6. （ 2010 北京理）（15 ）（本小题共 13 分）已知函数f (x)2cos 2xsin2 x4cos x 。（）求f() 的值；3（）求f (x) 的最大值和最小值。

12、解：（ I） f ( )2cos2sin234cos13933344（ II ） f ( x)2(2cos 2 x1)(1cos2 x)4cos x= 3cos 2 x4cos x1= 3(cosx2) 27, xR33因为 cos x 1,1，所以，当 cosx1时， f ( x) 取最大值276 ；当 cos x时， f (x) 取最小值339. （ 2010 湖北文） 16. （本小题满分 12 分）cos2xsin2x11已经函数f ( x), g( x)sin 2x.224( )函数 f ( x)（）求函数的图象可由函数 h( x) f ( x)g(x) 的图象经过怎样变化得出？g

13、(x) 的最小值，并求使用h(x) 取得最小值的x 的集合。10. （ 2010 湖南理） 16 （本小题满分 12 分）已知函数f ( x)3 sin 2x2sin 2 x （）求函数f (x) 的最大值；（ II ）求函数f ( x) 的零点的集合。1.(2009 年广东卷文 )函数 y2 cos2 ( x)1是4A最小正周期为的奇函数B. 最小正周期为的偶函数C. 最小正周期为的奇函数D. 最小正周期为的偶函数22答案 A解析 因为 y2cos 2 ( x)1 cos2x2sin 2x为奇函数 , T2,42所以选 A.8. （2009 安徽卷理）已知函数f ( x)3 sinxcosx

14、(0) ， yf ( x) 的图像与直线 y2 的两个相邻交点的距离等于，则 f ( x) 的单调递增区间是A. k, k5ZB. k5, k11, kZ, k12121212C. k, k, k ZD. k6,k2 , k Z363答案C解析f ( x)2sin(x) ，由题设 f ( x) 的周期为 T，2，6由 2k22x62k得， k3x k, k z ，故选 C269. （ 2009安徽卷文）设函数，其中，则导数的取值范围是A.B.C.D.答案D解析f (1)sin x23 cosx x 1sin3cos2sin()3Q0, 5sin()2 ,1f (1)2, 2，选 D123210

15、. （ 2009江西卷文）函数f (x)(1 3 tan x) cos x 的最小正周期为A 23C D B 22答案： A解析 由 f (x) (13 tan x)cos xcosx3 sin x2sin( x) 可得最小正周期为 2, 故选6A.11. （ 2009江西卷理）若函数f ( x)(13 tan x) cos x ， 0 x，则 f ( x) 的最大值为2A 1B 2C31D32答案： B解析 因为 f (x) (13 tan x) cos x = cos x3 sin x = 2cos( x)3当 x3是，函数取得最大值为2.故选 B24. （ 2009年上海卷理）函数y2c

16、os 2 xsin 2 x 的最小值是 _ .答案 12解析f ( x)cos2xsin 2x12 sin(2 x) 1 ，所以最小值为： 12427. （ 2009上海卷文）函数f (x)2cos2xsin 2x 的最小值是。答案12解析f ( x)cos2xsin 2x12 sin(2 x) 1，所以最小值为： 12430. （ 2009北京文）（本小题共 12分）已知函数 f ( x)2sin(x)cos x .（）求f ( x) 的最小正周期；（）求f ( x)在区间,62上的最大值和最小值.解析 本题主要考查特殊角三角函数值、诱导公式、二倍角的正弦、三角函数在闭区间上的最值等基础知识

17、，主要考查基本运算能力解（） fx 2sinxcos x2sin xcos x sin 2x ，函数 f ( x) 的最小正周期为.（）由x2x，33sin 2x 1 ，622 f (x) 在区间,上的最大值为 1 ，最小值为36.2233.(2009山东卷理 )(本小题满分12分 )设函数 f(x )=cos(2 x+3)+sin2 x.(1)求函数 f(x) 的最大值和最小正周期 .(2)设 A,B,C 为ABC 的三个内角，若cos B=1， f ( c)1，且 C 为锐角，求 sin A.324解 : （ 1 ） f(x)=cos(2x+)+sin2 x.= cos 2x cossin

18、 2 x sin1cos2x13 sin 2x33322213, 最小正周期.所以函数 f(x) 的最大值为2（ 2 ） f ( c ) =13 sin C = 1,所以 sin C3,因为 C为锐角,所以 C,222423又因为在ABC中 ,cosB=1,所以sin B23 ,所以33sin Asin( BC )sin B cosCcos B sin C2211322332326.34.(2009 山东卷文 )(本小题满分12分 )设函数f(x)=2 sin x cos22cosx sinsin x(0) 在 x处取最小值 .（ 1 ）求.的值 ;（ 2 ）在ABC中 , a,b, c 分别

19、是角 A,B,C 的对边 ,已知 a 1,b2, f (A)3,求角 C.2解 : （ 1 ） f (x)1coscos x sinsin x2sin x2sin xsin x coscos x sinsin xsin x coscos x sinsin( x)因为函数f(x) 在 x处取最小值，所以 sin()1,由诱导公式知 sin1,因为 0,所以. 所以 f ( x)sin(x)cosx22（ 2 ）因为 f ( A)3, 所以 cos A3ABC 的内角 ,所以 A. 又因为,因为角 A 为226abb sin A12a 1, b2 ,所以由正弦定理 ,得sin B,也就是 sin

20、B2,sin Aa22因为 ba ,所以 B或 B3.44当 B时 , C7;当 B33.412时 , C644641244. （ 2009 重庆卷文）（本小题满分 13 分，（）小问 7 分，（）小问 6 分）设函数f ( x)(sinxcosx) 22cos 2x(0) 的最小正周期为23（）求的最小正周期（）若函数yg (x) 的图像是由yf ( x) 的图像向右平移个单位长度得到，求yg ( x) 的2单调增区间解：（）f (x)(sinxcosx) 22cos 2xsin 2xcos2xsin 2x12cos 2xsin 2 xcos2x 22 sin(2 x)2422，故3依题意得的最小正周期为.232（）依题意得 :g (x)2 sin3( x)22 sin(3 x5 ) 2244由 2k 3x5 2k(kZ )242解得 2 k x 2 k7(k Z )34312故 y g (x) 的单调增区间为 : 2 k, 2 k7(kZ )343123 、（ 2008 广东）已知函数f ( x)(1 cos2x)sin 2 x, xR ，则 f ( x) 是（）A、最小正周期为的奇函数B 、最小正周期为2的奇函数C、最小正周期为的偶函数D 、最小正周期为2的偶函数