音频信号的分析与去噪 湖南师大复变函数小论文)

1、题目： 音频信号的分析与去噪 姓名： 廖书琴 学号： 2013180302 年级： 2013级 专业： 应用电子技术教育 音频信号的分析与去噪摘要： 随着科技的发展，音频信号的作用显得尤为重要，越来越多地体现在实际生活的各个方面中，比如在移动通信、广播、电视台以及一些重要的工程项目中。但是，实际的音频信号含有的噪声给往往会带来很大的影响，所以在应用中必须要对音频信号去噪。音频信号的分析最基本的方法就是借助傅里叶变换，将带有噪声的信号进行傅里叶变换，在频域中用带通录波器将原信号取出，再将取出的原信号进行傅里叶逆变换，就可实现信号的去噪。 关键词：音频信号、傅里叶变换、时域、频域、滤波在生活中我们

2、经常会听音乐，通常一段优美的音乐包括了很多声音信号，这些声音信号由某种方式叠加在一起，组成了我们所喜爱听的乐曲。组成乐曲的声音信号的频率、幅度可能都是不相同的，图（1）便是一段音频信号在时域中的波形图。从图可以看到，这段信号是随着时间的变化而变化的，图（2）能更清楚地表示时域中变化的过程。这便是信号在时域中的特点，随着时间的变化而变化。然而在频域中，则可以将信号看成是恒定不变的。如图（3），是一段信号的频谱图，相信大家很难将这幅频谱图理解，那么，图（4）则更好地表达出频谱图的特点，让我们更快速地了解。 图（1） 图（2） 图（3） 图（4）傅里叶提出“在有限区间上由任意图形定义的任意函数都可以

3、表示为单纯的正弦和余弦之和”，所以无论多么复杂的信号、无论有多少杂波干扰，其实都可以将之分解为最简单的正弦、余弦信号。而信号在频域中可以看成是不变的，所以我们通常也是在频域中将有用信号取出。但在工程中，时域分析往往是较为容易的。因此，便需要将信号从时域到频域的转换，而贯穿时域和频域的方法之一就是傅里叶分析。在利用傅里叶变换对音频信号的分析与去噪之前，我们先来了解傅里叶级数与傅里叶变换。式（1）为傅里叶级数的三角形式，但在工程中我们一般采用复指数形式，如式（2），式（3）为傅里叶变换公式，式（4）为傅里叶逆变换公式。 式（1） 式（2） 式（3） 式（4）为了更好地理解问题和说明问题，在这里我举

4、个例子，图（5）是一个标准的方波信号，看似好像很单纯，其实不然，利用傅里叶的理论我们可知它可能是由一些列的正弦或余弦波形合成的。 图（5）将这个波形利用傅里叶级数展开为 式（5）所示 （k为奇数） 式（5） 用图形表示为图（6）。我们从式子和图形我们都可以清楚地看到方波的傅里叶级数展开只有正弦波。 图（6）图（6）或许还不能明显地表示正弦函数叠加的过程，那么我们看图（7） 图（7）随着正弦波数量逐渐的增长,不断地进行叠加递增。这些正弦波按照频率从低到高从前向后排列开来,而每一个波的振幅都是不同。所有正弦波中上升的部分逐渐让原本缓慢增加的曲线不断变陡,而所有正弦波中下降的部分又抵消了上升到最高处

5、时继续上升的部分使其变为水平线，于是一个矩形就这么叠加而成了。但是要多少个正弦波叠加起来才能形成一个标准90度角的矩形波呢?答案是无穷多个，越多的正弦波叠加，得到的矩形波也就越标准。在图（7）中我们还可以看到，没两个正弦波之间有一根幅度和频率都为0的直线，其实这就是余弦分量。在方波信号中，余弦分量为0，所以方波函数也称之为奇谐波函数。方波的这个例子很清楚地解释了傅里叶的理论，其实无论哪种波形，都是由正弦波叠加合成的。而正弦波其实就是一个圆周运动在一条直线上的投影，由图（2）可知。所以所以频域的基本单元也可以理解为一个始终在旋转的圆，如图（8）。 图（8）介绍完时域谱和频域谱，我们接下来看看方波

6、的相位谱。通过时域到频域的变换,我们得到了一个从侧面看的频谱（图4）,但是这个频谱并没有包含时域中全部的信息。因为频谱只代表每一个对应的正弦波的振幅是多少,而没有提到相位。基础的正弦波中,振幅、频率、相位缺一不可,这便是波形的三要素。相位决定了波的位置,所以对于频域分析,仅仅有频谱、振幅谱是不够的,我们还需要一个相位谱，如图（9）。其实相位谱也就是将时域谱从下面看得到的，单一的正弦波相位谱如图（10）。 图（9） 图（10）为了更清楚地对比，现将所以图整合在一起，如图（11） 图（11）以上的全部为傅里叶级数三角形式的分析，下面进行复指数形式分析。在进行复指数的分析时，需要用到欧拉公式，即式（

7、7）、式（8） 式（7） 式（8）图（12）为欧拉公式的图像 图（12）欧拉公式所描绘的，是一个随着时间变化，在复平面上做圆周运动的点，随着时间的改变，在时间轴上就成了一条螺旋线。如果只看它的实数部分，也就是螺旋线在左侧的投影，就是一个最基础的余弦函数。而右侧的投影则是一个正弦函数数。可以理解为一条逆时针旋转的螺旋线，那么则可以理解为一条顺时针旋转的螺旋线。而cos(t)则是这两条旋转方向不同的螺旋线叠加的一半，因为这两条螺旋线的虚数部分相互抵消掉了。所以傅里叶变换的复指数形式的图表示为图（13） 图（13）以上便是我对傅里叶级数与傅里叶变换的理解。那么，现在开始进入正题，音频信号的分析与去噪

8、。有了傅里叶变换的基础，这个问题就非常简单了。为了更形象地分析，此次我将借助MATLAB软件仿真。首先准备一段不含噪声的音频信号，利用MATLAB对这段音频信号进行FFT（快速傅里叶变换）分析，做傅里叶变换，绘制时域谱、频域谱 。再在原音频信号的基础上加上噪音干扰，同样利用MATLAB对加噪信号进行FFT分析，做傅里叶变换，绘制时域谱、频域谱。在频域中利用带通滤波器将原信号取出，进行傅里叶逆变换，还原原始音频信号，创建一个新的还原音频文件，试听这个音频文件，如若与原始音频文件不一样，则可调整滤波器指数，继续进行分析变换。图（14）、图（15）为MATLAB软件仿真的部分编程代码。a.wav为无

9、噪音信号，b.wav为加噪音信号，图（16）、图（17）、图（18）为仿真波形。 图（14） 图（15） 图（16） 图（17） 图（18）总结：复变函数与积分变换这门课程，作为一种数学工具，其实学习起来是比较枯燥乏味的，并且具有一定的难度。但同时，它与我们专业课程又息息相关，在我们专业课程的学习与分析中少不了用到复变函数与积分变换的知识。所以，我认为学好这门课程是非常有必要的，尤其是其中傅里叶变换与拉普拉斯变换两章，是今后我们学习信号与系统的基础。而我此次选择的论文主题为“音频信号的分析与去噪”，其实是为以后学习信号与系统做准备，同时也想感受一下将理论知识用于实际应用的乐趣。坦诚说，复变函数

10、与积分变换这门课程我学得并不好，甚至可以说很差，其中很多内容我理解不透。在做这篇论文之前，我非常苦恼，不知从何下手。在上傅里叶变换这一章时偶然听到老师说这一知识可以用来对信号进行分析，于是我心中便有了想法，何不利用傅里叶变换对音频信号进行分析，再对其进行去噪处理。虽然现今最好的信号去噪方法是小波分析法，但那些理论离我还较遥远，我应该从基础开始，哪怕写的论文并无新意，也应该将知识点理解透，将方法掌握。写论文之前我在网上进行资料收集，但利用傅里叶变换对音频信号分析处理的论文很少，又加上这是第一次做这种类型的论文，所以我一点头绪也没有，只知道自己要做什么，却不知道怎么去做。后来我与专业老师进行交流，

11、他赞成我的想法，这个想法虽然毫无新意，但完成它却可以跟好地理解傅里叶变换。老师为我的论文列了一个大致的步骤，并特意嘱咐用MATLAB进行仿真。关于傅里叶变换，在课堂上我并没有理解，于是我便在网上找学习资料，初步了解傅里叶变换的实质，并有了个人的理解。而MATLAB也是我的一大难题，关于这门课程，至今总共只上了三次课，学的也是基本的方法，我目前的水平还属于入门阶段，所以在仿真上也会困难重重。学习完了傅里叶的知识后，我开始在MATLAB上编写代码进行信号分析仿真，由于对MATLAB代码函数不熟练，在编写代码时非常困难，我不停地在网上查找资料，仿照别人的代码进行编写。经过多次试验，误打误撞竟仿真成功

12、了！于是我便开始正式写此论文。这篇论文虽叫音频信号的分析与去噪，但我却将重点放在分析傅里叶级数与傅里叶变换上。因为，傅里叶理论是这篇论文的主线，只要深入理解了傅里叶级数与傅里叶变换，对于信号的分析与去噪便十分简单了。其实说实在的这篇论文难度并不大，只是整理起来比较麻烦，需要用到很多图片，在网上找图片非常费时间。总的来说，这篇论文用较生动的方式分析了傅里叶级数与傅里叶变换，并将其应用到实际工程中去。通过做这篇论文，我体会到一点：没有什么理论是完全枯燥，只是我们自己很少去思考它到底能做什么，能为我们实际解决什么。我们学了很多的理论知识，很多时候，我们学习它只是为了应付考试，也总觉得学习这些理论知识很浪费时间，其实是我们自己不会整合而已。我们习