2022年1213-1天津大学概率论考试试卷B答案

1、天津大学试卷专用纸学院专业班年级学号姓名共 4 页第 1 页20122013 学年第 1 学期期末考试试卷概率论（b 卷共 4 页）（考试时间： 2012 年 12 月 09 日）题号一二三成绩核分人签字1 2 3 4 5 6 得分一、选择题（共 12 分，每题 2 分）1、对于任意两个随机变量yx ,，若)()()(yexexye，则（ b ）a) )()()(ydxdxydb) )()()(ydxdyxdc) yx ,一定独立d)yx ,不独立2、 a与 b 相互独立，且0()1p a，0( )1p b， 则有（c ）a) a与 b 互不相容b) a与b互不相容c) a与 b 相容d) (

2、)p abp ap b. 3、设12,aab为三个随机事件，且1212()()()paabp a bp a b，则一定有 ( d )a)1a b与2a b独立；b) 12a a b为不可能事件；c)12()0p a a；d)12()0p a a b. 4、 设1x与2x是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们概率密度函数分别为1( )fx与2( )fx, 分布函数分别为1( )f x与2( )fx，那么下列命题不正确的是( b )a) 0,0,a+b=1ab且，则12( )( )afxbfx必为某一随机变量的概率密度函数；b) 12( )( )fx fx为二维型随机变量12,xx的联合的概率密

3、度函数；c) 1212( )( )33f xfx 必为某一随机变量的分布函数；d) 12( )( )fx fx必为某一随机变量的分布函数.5、如果存在常数,(0)ab a，使得1p yaxb， 且 0dx，则 x 与y 的相关系数xy为（ c ）a) 1 ；b) -1 ；c)|aa；d)1xy. 6、设 x 为一随机变量，若21,0.1,exdx则一定有（b ）a) 11 0.9pxb) 0| 20.9pxc) 110.9p xd) | 1 0.1px. 二、填空题（共18 分，每空 2 分）1、已知2.0)(ap，()0.6p b, (|)1/ 6p a b，则p a b 3/4 (0.75

4、). 2、将 20 只球放入 10 个盒子中去，设每只球落入各个盒子是等可能的，求有球的盒子数 x 的数学期望为.2010 1 0.9 3 、取一根长为 3 米的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不少于1 米的概率为1/3 . 4、设一系统由五个相互独立的元件串联而成, 每个元件的寿命x 服从均值为 1500的指数分布（单位：小时） ，在使用的前600 h 内至少有一个元件需要更换的概率是21e , 且该系统的平均寿命是 _300_ _ （小时） . 5、设12,nxxx是独立同分布的随机变量序列, 且其相同的分布函数为：0,1,0.4,11,( )()0.8, 13,1,3.xx

5、f xp xxxx则(1,2,)ixi的分布律为 _ ，且11niixn依概率收敛于 0.6 . 6、二维正态分布表示为221122(,;,;)n设随机变量满足(,) (1,4;5,9;0.5)x yn，随机变量24zxy， 则()e z1 , ()d z37 .精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - -天津大学试卷专用纸学院专业班年级学号姓名共

6、4 页第 2 页三、解答题（共 70 分）1、 （本题 14 分）盒子里装有2 个黑球、 5 个红球、 3 个白球共 10 个球， 从中一次随机地摸出两个球，令0,0,1,;1,;xy两个球中无红球两个球中无白球两个球中有红球两个球中有白球求（1）),(yx的联合概率分布律；（2）f 0.3,1.5，p xy；（3）随机变量 y 的边缘分布律；（4） 在1 y的条件下随机变量x 的条件分布律；解： （1）210110,045p xypc取到两球全为黑球211332210+910,1=455cc cp xypc取到两球无红有白球211525210+2041,0=459cc cp xypc取到两球

7、无白有红球11532101511,1 =.453c cp xypc取到两球 1红1白球因此，随机变量 x 和y 的联合分布律为：(6 分) （2）192f 0.3,1.50.3,1.50,00,145459p xyp xyp xy，160145p xyp xyp xy (9分) x y 0 1 0 1/45 4/9 1 1/5 1/3 (3) 随机变量y的边缘分布律y 0 1 yp 7/15 8/15 (11分) （4）在1y的条件下随机变量x的条件分布律为0,19 /4530|1124/ 458p xyp xyp y1,115 /4551|1124 /458p xyp xyp y(14 分)

8、( 其中公式 1分) 2、 （本题 10 分）已知电源电压x服从正态分布(220,400)n（单位：伏） ,在电源电压处于以下三种状态: 200x,200240x,240x时,某电子元件损坏的概率分别为 0.1, 0.01, 0.2. 试求: (1) 该电子元件损坏的概率 ; (2) 该电子元件损坏时 , 电压在（200，240内的概率 . (已知:(0.8)0.79,(1)0.8413). 解：令1200 axv1200 axv, 3240 axvb电子元件损坏-1 分（1）电子元件损坏的概率112233()(|) ()(|)()(|)() = 2000.12002400.012400.2

9、=(-1)0.1(1)-(-1)0.01 +(1-(1)0.2(1(1)0.1(2(1)-1)0.01 +(1-(1)0.20p bp b a p ap b ap ap b ap ap xpxp x.015870.0068260.03174 =0.054436-（全概率公式 1 分，算到最后共 6 分）（2）222(|) ()0.006826(|)0.1254( )0.054436p bap ap abp b- 贝叶斯公式1 分，算到最后共 3 分精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - -精

10、品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - -天津大学试卷专用纸学院专业班年级学号姓名共 4 页第 3 页3、 （本题 7 分）设甲乙两台设备的寿命分别服从参数为3 与 4 的指数分布 , 且两台设备的好坏与否相互独立 , 求甲比乙先坏的概率 .解：设甲乙两台设备的寿命分别为x 、y , 则其概率密度函数分别为-33,0,( )0,0.xxexfxx-44,0,( )0,0.yyeyfyy (1分)因为x与y相互独立 , 所以,x y 的联合概率密度函数( , )f x y为- 3412,0,0,

11、()( )( )0,.xyxyexyf xyfx fy（），其它 (3分)甲比乙先坏的概率为- 34-7003123.7xyxxp xydxedyedx（） (7分)( 其中过程 3 分, 结果 1 分)4、 （本题 18 分）设二维随机变量,x y 在由直线1,yx1xy及1x所围成的区域内服从均匀分布求（1）求,x y 的联合概率密度函数( ,)f x y；（2）求 x 、y 的边缘概率密度函数)(xfx，( )yfy; （3）判断 x 与y是否相互独立，为什么？（4）求|( |)x yfx y，11022pxy；（5）判断x与y是否相关，为什么？解： （1）由题知平面区域 g 的面积为1

12、x+11x 1xdy4,gsd所以1,x-1x+1,1x1,( , )40,yf x y其它. (2分) （2）1-111(1),11,( )420,.xxxdyxxfx其它 (4分)1y-11y 111x(2 y),0y2,4411( )( , ) xx(y2),2y0,440,ydfyf x y dd其它. (6分) （3）因为( , )( )( )xyf x yfx fy, 所以 x与y不独立 . (8分) （4）当2y0时，|1,-11,( , )2()( )0,x yyyxf x yyfx yfy其它，当0y2时 ，|y1,-11,( , )2()( )0,x yyxf x yyfx

13、 yfy其它， (10分)|21,1,1|3220,x yxfx y其它， (11分) 1/20112102233pxydx (13分)（5）因为1111(1)23exx xdx, 0220(2)(2)044yyyyeydydy，或1x+11x 11xdy0,4eydy1x+11x11xdy04exydxy，(,)0cov x yexyexey. (18分) 所以x与y不相关. 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - -

14、- - - - 第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - -天津大学试卷专用纸学院专业班年级学号姓名共 4 页第 4 页5、 （本题 13 分）设随机变量 x 的概率密度为1/ 6,30( )kx,020,xf xx其它，令2xy，),(yxf为二维随机变量,x y 的联合分布函数 . 求（1）k；（2）y 的分布函数)(yfy. 解： （1）02-3011x+x x+21,62dkdk所以1.4k（2 分）(2)y的取值范围为 0，9，(3 分)故当0y时，( )0yfy；当9y时，( )1.yfy(5 分 )y的分布函数为2( )()()yfyp yyp xy(7 分 )当0

15、4y时，200( )(0)(0)1111=y,6468yyyfyp xypyxypyxpxydxxdxy(10 分 )当49y时，2020( )(0)(02)1111=.6462yyfyp xypyxpxdxxdxy(13 分)6、 （本题 8 分） （用中心极限定理近似计算）某互联网站有 10000个相互独立的用户，已知每个用户在平时任一时刻访问该网站的概率为 0.1 求在任一时刻有 940 到 1075 个用户访问该网站的概率 .00(1)0.8413,(2)0.9772,(1 .960.97502.50.9938.），解：设 x 表示任一时刻访问该网站的用户数,则(10000,0.9)x

16、b（1 分）并且()100000.11000e x. ()100000.1 0.9900d x. （3 分）由中心极限定理9401000200010751000(9401075)()900160090055( )( 2)( )(2)10.99380.977210.97122xpxp（8 分）精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - -设随机变量 x

17、服从(-2,3)上的均匀分布，即(-2, 3)xu，令2xy，),(yxf为二维随机变量,x y 的联合分布函数 . 求（1）y 的分布函数)(yfy；（2）1(,4)2f. 解 (1)y 的取值范围为 0，9，(1 分)故当0y时，( )0yfy；当9y时，( )1.yfy(3 分)y的分布函数为2( )()()yfyp yyp xy(5 分)当04y时，212( ),55yyyfyp xypyxydxy(8 分)当49y时，-2+21( )-2)=, 55yyyfypyxypxydx(10 分)精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - -天津大学试卷专用纸学院专业班年级学号姓名共 5 页第 5 页设随机变量 x 的分布