分析设计的力学基础

1、分析设计的力学基础一基本假设1 均质性 2 各向同性 3 连续性4 完全弹性 (符合上述四条者称为“理想弹性体”) 5 小变形假设(各点位移远远小于物体原来尺寸;应变与转角都远小于1)二外力与内力 力是衡量各物体之间相互机械作用的尺度。 外力是受到其它物体作用的力.外力（按分布情况）体积力：不接触物体作用的外力 (N/m3) (重力，惯性力)分布在体内各点.表面力：接触物体表面的外力(如压力、摩擦力).(N/m2)体力为矢量：f=LimV 0面力为矢量：t=LimS0TSFV集中力分布力非均匀分布（如：静水压力）均匀分布（如：等厚雪载荷）面力外力（按载荷性质）静载荷：介质压力、自重动载荷：交变

2、载荷（随时间做周期性变化并多次重复地作用在物体上的载荷）外力不仅包括给定的力，还包括约束反力。给定力是物体可能产生破坏的原因，而约束力是使力系达到平衡所不可缺少的。卧式容器：介质压力,自重 属于外力, 支座的约束反力R1、R2 也属于外力.R1R2将给定的外力与约束反力构成的平衡力系称为“载荷”内力：物体内部某一部分与其它部分之间相互作用的力称为内力。截面上内力分布应使截面两侧物体在发生变形后其左右两边仍能处处吻合，没有重叠也没有裂缝，满足“变形连续条件”。 满足平衡条件和变形连续条件的内力系是存在的并且是唯一的。截面法 当我们考虑整个物体的平衡时,物体的内力互相抵消,无须计及;但是,当我们考

3、虑到物体 某一部分的平衡时, 截面上的内力对该部分就起着外力的作用。取截面两侧的任何一部分为分离体,它所受的力,构成一个空间力系。由它的静力平衡条件,就可以求得分布在截面上的内力的总和.这个求内力总和的方法称为截面法。 截面上内力的总和可简化为一个力及一个力偶：利用静力学规则将内力系对截面重心进行简化，结果得到主矢R和主矩M，再将它们投影到X、Y、Z各坐标轴上。（如图）主矢沿截面法线方向(Z向)的内力分量N称为截面上的轴力或纵向力,在X轴与Y轴上的分量Qx与Qy称为剪力。主矩在Z轴方向的分量Mz称为扭矩，而在X轴与Y轴方向的量Mx与My分别称为对x轴与对y轴的弯矩。对杆件受载形式可定义如下：

4、横截面上仅有轴向力N，而无其它内力素，则此杆受拉伸(N为正时)或压缩(N为负时)； 如果横截面上只有扭矩MZ，那么杆在此截面上受扭转； 如果外力在杆上的作用使横截面里只有弯矩MX(或MY)，那就在YZ平面(或XZ平面)内发生纯弯曲。 若除了有弯矩之外，还有剪力作用，这种受载情况称为横弯曲。 在应用截面法之前不允许把力沿作用线移动，也不允许用静力等效力系来代替某些外力。应力：衡量内力的数字上的尺度，即某点处内力集度大小。 当有外载荷作用时，物体内产生内力，在物体横截面上某点A 处L imA 0P =AR 存在面力R，某点处微面积为A应力定义为：PP矢量 定义为截面上某点的“全应力”，将 沿截面法

5、线方向和切线方向投影，前者用表示称为正应力，后者用表示称为剪应 力。应力单位为MPa.。应力与压力不同之处： 压力：是外力，给定的，方向垂直于作用面； 应力：是内力 (内力集度),要通过计算得出。应力是某点的概念。 一般，同一截面不同点上的应力不同，而通过同一点的不同截面上的应力也不相同。位移与变形 在外力作用下，物体上各点在空间的位置将发生改变。以未变形前物体某点A为起点，以变形后物体的同一点A为终点的矢量称为点的全位移矢量。这个矢量在坐标上的投影称为沿坐标轴方向的位移，对于直角坐标系oxyz，沿各轴方向的位移用u.v.w表示。除线位移外，物体内某一线段或平面在位置改变时所旋转的角度称为该线

6、或该平面的角位移。但这并不足以完全表示变形的特征,因为物体作刚体运动时,它的各部分也有位移.直线 为描述物体形状与尺寸改变的程度,变形前距离为s的AB线段变形后为s+s,增量s与初始长度的比值称为线段s的平均伸长;若将s缩短, 定义为AB方向的线应变刚体位移说明：如悬臂梁，先作用P1，再作用P2中点位移：V1=V10+V11 （变形位移）端点位移： V2=V20+ V21o V20刚体位移（它是直线下移，没有变形，是受P1影响移下来的）V21变形位移一般来说，在同一点，若方向不同,应变也不同，把线应变在坐标系xyz各方向的分量记作： 若在变形前，在物体上取相互垂直的 两直线OC、OD构成的直角

7、，在物体变形后这两线段所夹角度将有所改变，所改变的数dxdy +2值就称为角应变。在坐标平面内角应变用 来表示。 ( 严格的定义为: 当 C与D两点都趋近于O点 且COD 保持为直角,lim(COD COD)=COD. COD称为在COD面上 O 点的角应变)线应变是对某一方向而言的；角应变是对某一对垂直方向而言的. 任一点位移都会大大小于物体的几何尺寸；应变的数值也比较小,通常在千分之几的范围内变化。这也是小变形假设的依据。拉伸与压缩拉伸是这样一种加载形式，即在杆的横截面上只产生轴力，而其余的内力素（剪力、扭矩、弯矩）均为零。截面的正应力： =N/A ， N=P平截面假定:假定杆在变形前的平

8、面横截面在变形后仍为平面.即杆的纵向纤维全部同样伸长或缩短,变形相同,截面上各点应力一样.本构关系：凡是连续介质的应力与应变或应力率与应变率之间的物理关系就称为“本构关系”。 对于材料力学与线性弹性力学，这个本构关系就是胡克定律。据试验知:当正应力未超过比例极限,则杆的绝对伸长L与轴力N及杆长L成正比,而与横截面面积A成反比:L=NL/EA各 向同性的前提下,单向应力状态的胡克定律 E为弾性模量,代表在拉伸或压缩时材料对弹性变形的抵抗能力,单位:MPa.泊松比 ： 泊松系数(横向变形系数);1与分别为横向应变与纵向应变.弹性范围内钢材的泊松比为（0.250.33）泊松比的概念不可任意推广静定与

9、静不定的概念只依靠静力平衡条件不能确定约束反力或构件内力的问题称为静不定问题或超静定问题如图，静力平衡条件为：RA+RB=P, P为已知, RA、RB为未知，仅此一个方程确定不出两个未知力RA、RB。 所谓n次静不定，就是指该系统中未知力数目要比独立的静力平衡条件多出n个。因此要想确定所有的未知力就必须建立补充方程，补足静力平衡条件所缺少的数目,使方程的总数目与未知力的个数相等.这些补充条件应反映出作用于系统上几何约束的特点或变形情况,它们便是几何方程或变形协调方程. 容器中的热应力问题即属于静不定问题.两端固定的管道或柱子，如图，若没有P作用,杆件温度为t1时两端被固定,当温度上升到t2时

10、(设杆件同一截面上各温度变化相同),假如杆件的膨胀或收缩不受约束，此时杆内不会产生应力。但若两端固定,变形受到限制，则产生约束反力RA、RB， RA与RB引起杆内的应力就是温度应力或称为热应力 。温差t= t2 t1由平衡条件： RA+RB = 0 (仅有此式确定不了约束反力)须建立补充条件，假定解除B端约束，允许自由变形,则由温差t引起杆子的伸长为： 为线胀系数,杆子在B端,由RB反力作用下产生的压缩变形为: = RB / EA A为截面积 ，E为弹性模量由于变形受到限制 必有: （此即建立的补充条件） ,温度应力:当t 较大时, 将很高,在管道中应设膨胀节,以降低 值。应力状态与强度理论

11、解决强度问题时,必须知道结构受力时在哪一 点、沿哪一个方向应力最大，哪些点、沿哪些方向最危险。所以，应该搞清楚通过受力结构内某一点的各个截面上的应力情况；我们把通过某一点的所有截面上的应力集合称为该点的应力状态。考虑均匀拉伸杆件上某斜截面上的应力情况：其上各点应力相同，设其合应力为P，斜截面面积为A、横截面面积为A， 则A =A/cos，根据轴向平衡条件： PA =A 斜截面上的合应力P =cos 将合应力P分解到斜截面法线方向与切线方向上，得出： 不难看出，对受力物体上的同一点M，在截面上产生应力的大小与截面的方位有关。当=0时， 此即为垂直横截面上的应力情况；当=90°时，说明杆

12、件上各纵向纤维之间没有相互作用力。2maxst= 特别，最大剪应力发生在与轴线成45°角的斜截面上：图 ( 5-2 )由于某点的应力是与这个截面在空间的方位有关，那么，随着截面的转动，应力也必将按照一定规律变化。我们把通过某一点的所有截面上的应力集合称为这个点的“应力状态”。在受力体内某点M的邻域内取出小微元且认为它的应力状态是均匀的；如果在三个相互垂直面上的六个应力分量，即x、y、zxy、yz、zx都已知，那么，就可以通过平衡条件求出经过这点的任何斜面上的应力 ( 参见书4749页)若用A代表BCD的面积，其余三个面的面积就可将A投影到三个坐标平面上求得，若N为平面BCD的外法线方

13、向，并令xON、yON、 zON为N与坐标轴x 、y、 z的夹角。则:称之为“方向余弦”。BCD在三个坐标面上的投影面积为: Al，Am，An把作用在斜面BCD上的全应力矢量向x 、y、 z坐标轴方向投影得出三个分量 x 、y、 z， 作用于BCD面上的力在X轴方向的分量是AX，作用于四面体其余三个面上的力在X轴方向的分量分别为：四面体在X方向的平衡条件是：类似地，用同样方法考虑在Y和X轴方向的平衡也可得出：整理后可得: 由此可知，对于由方向余弦l、m、n确定的任意截面,其上全应力的三个分量 x 、y、 z 可以通过六个已知的应力分量x、y、zxy、yz、zx来表示。这实际上是说：一点的应力状

14、态可以由六个应力分量来确定。若用矩阵形式可写为：两个涵义:1.利用此式可求出物体内任一斜截面上的应力;2.建立了分布在物体表面上的外載荷与平行于坐标轴的各微面上的应力之间的关系.例如：应力状态（S）这里，六个应力分量（MPa）是：应力张量的分解与不变量张量由一组标量组成,这些标量称为张量的分量。张量的分量依赖于坐标轴的选择,并在坐标系变换时,各分量的变化按照一定的规律。凡是服从这一特定规律的量都称为张量。张量常用来描述某一类型的物理量，如一点的应力状态、应变状态等就是张量。张量不能用简单几何时形象描述。应力状态即是一个张量，称它为应力张量,用（S）表示：其中三个正应力的算术平均值称为平均正应力

15、：这样，可以将应力张量（S）分解为两部分之和；（S）=（o）+（Ds）；所谓张量之和，即它的元素成分是相加的张量的各对应成分之和。这里,（o）称为应力球张量, （Ds）称为应力偏张量。 （o）表示从总的应力状态分解出来的平均的、各向均匀的拉伸或压缩,其应力常称为静水应力。实验表明:它只引起弹性体积改变，而形状不改变；当o=0时，说明变形时物体的体积不变。 Ds）表示物体单元的形状改变而体积不变。实验表明，材料的塑性变形只与（Ds）有关因此，在塑性理论中只关心应力状态中的这一部分。用主应力1 、2 、 3 所表示的应力状态可以由三维空间（1 、 2 、 3）中的任一点M来表示。如图：直线L为等傾

16、线,方程式为: 1 = 2 = 3该直线的上的每一点对应的是应力球张量,是承受静水应力的点,代表均匀应力状态；它所对应的应力状态将不产生塑性变形应力空间中过原点而垂直于L直线的平面叫做偏量平面，即通常所说的平面，其平面方程的表达式为1 + 2 +3=0；在平面上所有各点的平均应力为零，只有应力偏张量.应力空间中任一点M,坐标为(1, 2 ,3)，在L线上的投影点M1坐标为(0 ,0 ,0)与物体中一点应力状态的球应力张量部分（ o ）相对应；而在平面上的投影点M2 坐标为(S1,S2,S3)则与该点的应力偏张量部分（Ds）对应。例：设应力状态为： x= 80MPa，y= 60MPa，z=20M

17、Pa xz= zx=30MPa，其余分量为零，现将它分解为（o）、（Ds） 。(S)（o）（Ds）30=+-2040-604040206030308030在研究结构某点的应力状态时，引入了应力张量不变量的概念，所谓不变量是指应力张量中一些元素的组合，它们在坐标轴转动时保持不变。应力张量有三个不变量：（书中49页50页）第一个不变量： 第二个不变量：第三个不变量：ABDC应力状态是通过某点所有截面上的应力集合。可以证明通过任一点可以找到相互垂直的三个平面，在这些面上剪应力为零;称这三个相互垂直的平面为主平面;主平面上的正应力为主应力。主平面的法线方向称为主方向。 主应力的求解可以用下面的方程：

18、称为应力状态的特征方程，它的三个根即为所求的三个主应力，方程的三个系数J1、 J2 、 J3就是前边讲的三个不变量。（当坐标轴的方向改变时，应力张量的分量均将改变，但主应力值不变，因此系数J1、 J2 、 J3的值与坐标轴的选取无关，称为应力张量的三个不变量）。这三个不变量由六个应力分量x、y、z 和xy、yz 、zx决定，因此只要知道这六个应力量，主应力即可求出。在压力容器中，常有一个坐标轴就是主方向，像容器表面，往往只有正应力（z=P，P为压力，或z=0）而剪力为零 （zx=zy=0）应力状态为：特征方程为：解得三个主应力： 1 >2 >3主应力的计算 其中：xyz 为正应力例

19、：求应力状态为时的主应力三个不变量计算后为：求解方程变为：这是一元三次方程，三个根为：对于主应力要注意以下三点：1）三个主应力,一个是通过该点所有各截面上最大的正应力1,还有一个是最小的正应力3; 排列永远是:123;2）三个主应力方向相互垂直；3）当坐标变化时，主应力大小不随坐标变化而改变即不管最初如何选的坐标系，得出的主应力值是相同的且主方向也是不变的。强度理论 如果在某种应力状态下，材料性质发生质变，从一种机械状态转变为另一种机械状态，如从弹性到塑性，从塑性到破坏等，我们就把引起这种质变的应力状态称为“极限应力状态”。它是衡量材料强度性质的尺度.对复杂应力状态，某点处发生破坏是由三个主应

20、力的某种组合引起的,若仍像简单拉伸状态那样处理,就要用三个主应力的不同组合进行无穷个试验求出其危险值,但这是行不通的;必须用单向应力状态的试验结果来建立复杂应力状态下材料的强度条件.此即强度理论要解决的问题。所谓强度理论其实仅仅是一种假说，推测在复杂应力状态中，将在什么情况下发生破坏。第一强度理论（最大正应力理论） 材料不论在什么复杂的应力状态下，只有三个主应力中有一个达到轴向拉伸（或压缩）中破坏应力的数值时，材料就要发生破坏。 当量应力当= 1或 |3 |要求： 1拉 |3|压（PV常规设计采用）第二强度理论（最大线应变理论） 当= 1（2 + 3 ） 及当 = 3 （1+ 2 ） 要求 ：

21、 当 拉 或当压第三强度理论（最大剪应力理论）当=1 3 当 拉与实验结果相当符合,计算出的结构尺寸是安全的,压力容器分析设计中采用. (“当量应力”在结构中并不真实存在,只是一个衡量尺度)第四强度理论 认为材料破坏取决于应变比能，破坏归结为应力与变形的综合结果。当 拉 某个强度理论对某种材料是合适的，但对另一种材料可能会导致不符合实际的结果。 同一种理论在不同的情况下也会出现不同的结果。 强度理论不是在任何情况下都通用。30106010107580abc例： 假设 分别表示在三个强度理论中的当量应力。 采用第一强度理论 例 a)： = 80MPa； 例b)： = 60MPa例c)： = 75

22、MPa 例中a）应力状态最危险 采用第三强度理论 例a)： = 80MPa 10MPa = 70MPa ； 例b)： = 60MPa （ 10MPa ）= 70MPa 例c)： = 75MPa0MPa = 75MPa 应力状态c ）最危险采用第四强度理论：a) ： 62MPab) ： 66MPac) ： 70MPa最危险应力状态是例中c ）。许用应力法与极限载荷法A.许用应力法是根据承受的载荷计算出结构中的最大应力,然后对它进行评定,要求其值小于“许用应力”.对于塑性材料，为了避免在结构中产生残余变形，取屈服限的若于分之一作为许用应力即: 对于脆性材料则是：要求最大工作应力小于许用应力：ns与

23、nb为安全系数，PV标准中称为基本安全系数。安全系数选择取决于（对于压力容器）：1）应力计算方法及其准确程度；2）结构破坏时的严重程度；3）材料性质与载荷性质（如稳定问题、疲劳问题）；4) 介质的腐蚀影响; 5) 制造与检验水平等. B.极限载荷设计法 这种方法是设计结构时采用极限载荷方法,先用极限分析确定出引起结构垮塌的载荷即极限载荷，然后适当选择“载荷安全系数”去除以极限载荷，由此确定出“许用载荷”如： 对强度问题： 对刚度问题：式中： 为极限载荷 为许用工作载荷 为极限位移 为许用工作位移n安全率即载荷安全系数。载荷独立作用原理(叠加原理)在小变形的前提下,假定所有载荷的作用彼此独立互不

24、相关,任一载荷所引起的变形与应力均不受其它载荷的影响.弹性与塑性力学材料力学 （见书中58页）研究对象基本上是杆件(拉、压、弯、扭）；应力、应变与位移是长度方向的函数,基本上属于力学上的一维问题,有平截面假定；对于大部分静定问题都采用截面法，利用静力平衡条件及外载荷确定出截面上的内力，再根据一定的假设求出截面上各点的应力。对静不定问题，再引入简单的補充方程(几何方程)，确定出应力分布。 许多工程问题用上面的方法不能解决问题或勉强解决也误差太大，工程上不允许。如：厚壁筒在内压或温差作用下的应力与变形、容器开孔接管等问题。这些问题的载荷与结构大部分是随着空间三个方向变化，不仅仅只与长度有关；其应力

25、与变形也常常是空间坐标（x.y.z)的函数，力学上属于三维问题。须采用弹性力学与塑性力学的方法加以解决。 弹塑性力学采用了与材料力学不同的分析方法，即无穷小量分析,对于连续介质来说这种方法是可行的。在弹塑性力学中，假定物体内由无数个六面体微元、表面处由四面体微元所组成，轴对称体则由无数个扇形微元组成，每个微元都保持着整个物体所具有的物理性质。从物体中取出任一微小单元进行研究，由于这些单元十分微小，便可认为其面上各应力分布是均匀的，通过对微元平衡与变形分析，建立起微分方程，供整体使用。这种在微元上把问题线性化，是用微分学解决固体力学问题的通用方法。 弹性力学主要对微元进行静力分析、几何分析及确定

26、应力应变关系。 （见书5964页）弹性力学的基本方程与解法 用矩阵形式给出平衡方程：其中，X、Y、Z为体力。 平衡方程是结构内部应力必须满足的条件，也就是说应力状态的六个分量不是没有关系的，它们是通过平衡方程相互连系着。几何方程：位移和应变是描述同一变形状态的两种物理量，因此，它们必然存在一定关系，这个关系即所谓的几何方程。 变形协调方程：弹性力学只研究满足连续条件的变形状态，为了满足该条件，若用位移来描述变形状态，位移分量则必须是坐标的单值连续函数。六个应变分量是由三个位移来确定的,如果用应变来描述变形状态，那么，这六个应变分量就不会是互不相关的，必定有内在联系，这种内在联系就是变形协调方程

27、（相容方程）如：类似上面的式子还可推导出六个，变形协调方程共计六个，但其中只有三个是独立的。 边界条件：平衡方程是反映结构内部的应力应该满足的条件，而在结构给定的面力边界上，应力与载荷之间也存在着必须满足的条件。这里，X、Y、Z 为表面力在坐标轴上的三个分量，x 、 x 、 zy是边界处的应力分量值，此即为弹性体的边界条件，表明应力分量的边界值与表面力分量之间的关系。物理方程：它表示受力物体应力与应变之间的关系;在材料力学中，通过简单拉伸试验得出等截面直杆的应力应变关系： =E。 (Hooke定律） 对三向应力情况: 常用应变表示应力的形式: 其中：D称为弹性矩阵，完全由材料的弹性模量E和泊松

28、比来确定，与坐标无关。 选取不同的坐标系（如极坐标、柱坐标等），以上各方程将有不同的表达式，但本质是一样的。弹性力学问题的解法（见书6566页） 弹性力学中共有3个平衡方程，6个几何方程， 6个物理方程，共15个方程；未知量15个：6个应力分量，6个应变分量，3个位移分量；原则上应是可解的。 位移法：以位移分量u、v、w为未知数，用只包含位移分量的微分方程与边界条件求出位移分量，通过几何方程求出应变分量 ，再通过物理方程求出应力分量。以位移为基本未知量时，其变形协调方程（相容方程）则自然满足。(主要问题:求解方程是联立的偏微分方程). 应力法：以六个应力分量x、 y 、 z 、xy、yz 、z

29、x 为基本未知量，由一些只包含应力分量的微分方程和边界条件求出应力分量,再通过物理方程求出应变分量，再用几何方程求出位移分量。考虑到物体变形前后的连续性，还必须满足变形协调方程。应力函数法：在求解体积力为零(或常数)的弹性力学问题时，常引进应力函数,把应力分量用该函数的某些偏导数来表示，使其自动满足平衡方程。平衡方程(6-1)、式(6-2)及变形协调方程式(6-3)在极坐标下(书中6566页): (6-1) (6-2) (6-3) 将以上方程作分析与变换，发现一定存在一个函数，它和应力有如下关系： (6-4)我们称(r，)为应力函数或G.Airy函数如果将变形协调方程用(r，)表示则成为： (

30、6-5)用极坐标求解平面问题时，只须从方程(6-9)求解应力函数然后按照式(6-8)求出应力分量；这些应力分量满足位移单值条件，在边界上还需满足应力边界条件。 带小孔平板受拉伸时的应力(书中6668页)小孔的存在，显著地改变了小孔附近各点处的应力分布，但对于离开小孔较远的各点处的应力几乎没有影响。圆半径b的大小应使在圆周上各点处的应力不因小孔的存在而有所改变.这就相当于内半径为a而外半径为b的环状板.在外圆周上的任一点m，在与圆周相切的微面积上的力，可以根据第5章5.1中的斜截面应力公式给出:此时，可以认为环状板处于两种力的作用沿整个外周界均匀分布的径向拉力 P/2 ；随角改变的力：法向力 切

31、向力 。环状板受均匀布力 作用产生的应力可用厚壁筒承受外压力的结果 (假定 ba , a/b0):30° +由第二项变化的力产生的应力，可用应力函数法求解，取应力函数 （见书6768页）将它代入协调方程(6-9),经过变换与整理可求出f (r)：应力函数则为：对应的应力分量通过式(6-8)运算可得：外边界处：内边界处：定出常数：应力相叠加，便得到总的应力应力r和r随着趋近于小孔的边缘其值减小，在边缘处(r = a) 变为零; 而环向正应力为： 孔边缘处 值0°30°45°60°90°-P0P2P3P对于经过小孔中心的横截面处，的表达式

32、为：值沿横截面的衰减r/a1234103P1.22P1.07P1.04P1.005P应力集中的概念: 在受力结构中,有时截面尺寸会有急剧的改变，在截面突变附近的局部小范围内，应力数值会急剧增加，而离开这个区域稍远，应力则大为降低,趋于均匀，这种现象称为“应力集中”;我们把最大局部应力与危险截面上平均应力之比,称为应力集中系数，常以K表示: 应力集中出现的根本原因是：由于孔的存在，孔边缘附近的应力状态与无孔时的应力状态相比发生了极大改变，因而造成了应力集中现象,并不是截面积减小所致.应力集中发生在截面突变附近的局部小范围内，一般在离开孔径3倍处，应力值便衰减为1.07P. 以上计算公式只对无限平

33、板开小圆孔才是精确的. 限制开孔大小的原因是:如果开孔较大,筒体的曲率影响就必须考虑,平面开小圆孔的力学模型则不成立了.承受内压的厚壁筒厚壁筒可以看成由许多相互连在一起的薄壁圆筒所组成.对于一个独立的薄壁圆筒而言,承受内压后它的变形是自由的.但是,对于组成厚壁筒的各薄壁圆筒而言,它的变形既受到内层材料的约束,又受到外层材料的的限制,不再是自由的了.这样一来,每个薄圆筒的内外侧都受到由于变形的被约束而引起的均布压力的作用.由于从里往外各层材料的变形所受到的约束与限制都不一样,故每个薄圆筒受到的内外侧压力也不一样.于是由此而产生的环向应力在各层也不相同。所以,在厚壁筒中环向应力沿壁厚方向分布是不均

34、匀的.又由于各层材料变形的相互约束与限制,在半径方向也产生了应力,即“径向应力”,这在薄壁圆筒中是没有的.径向应力沿壁厚方向分布也是不均匀的.由于应力沿壁厚方向分布是不均匀的,分布规律也未知,因此仅用静力平衡的方法是确定不出应力的,需要从平衡、几何、物理等方面综合分析，才能确定出应力分布。 +d (r+dr)dr正zdcab轴线rdrdd+(r+dr)dadcbrd+-RiRop (见书中7377页)平衡方程：（径向）（环向）几何方程：（位移与应变的关系），物理方程：（广义Hooke定律）变形协调方程：利用几何、物理、协调方程综合，即可得到补充方程再与平衡方程联立，即可将平衡方程化为可解方程：

35、边界条件：用纵向整体平衡求z： k外径内径应力内径 r = RI任意半径r外径r = Ro-p0内压厚壁筒应力分布p+-性质：1. （. z. r.即为主方向） 、 为拉应力， 为压应力。 2. 沿壁厚分布不均匀，内壁处应力值最大。k值越大应力分布越不均匀；材料利用不充分。 当k=1.1 时，内外壁环向应力相差10%;当k=1.2 时，内外壁环向应力 相差35%;容器设计中取k=1.1- -1.2 为薄壁与厚壁容器的分界线。塑性力学弹性与弹性变形：物体 在外力作用下发生变形,外力消失后恢复原状的性质叫物体的弹性。能恢复的那种变形为弹性变形。弹性变形的特点： 弹性应变与应力存在一一对应的关系；

36、弹性应变与应力关系是线性关系。0塑性与塑性变形:当作用于物体的外力较大且达到某一数值时，外力消失后，物体不再恢复原状，这种性质叫做物体的塑性。塑性变形即指外力消失后，不能恢复的变形，也称为残余变形。 只和应力有关而与时间无关的永久变形叫塑性变形.若与时间有关,此时的永久变形则叫流态变形,如:蠕变.塑性变形主要特点1. 在塑性变形阶段,由于加载与卸载规律的不同,卸载后必然存在残余应力和残余应变;在卸载过程中,虽然载荷卸除,但由于各点处要恢复的弹性变形不相同,相互之间为了变形协调就会产生相互之间的约束,结果不仅留下残余变形,还会留下残余应力.2.应力与应变呈非线性关系；(必要而不充分)3. 由于在

37、加载与卸载过程中服从不同规律，应力与应变之间不存在单值对应关系,而是多值关系(如右下图),同一应力可对应于不同的应变，反之亦然。力的独立作用原理不再适用.4.应力的大小不仅与当时的应变大小有关，还与变形的历史有关。 (在载荷改变的过程中物体内各点的应力状态不断地改变其位置,这些应力点(M)描出的轨迹就称为物体内相应点的应力路径(历史).oo求解塑性问题的难点1.没有像弹性力学中的广义胡克定律那样的统一的本构 方程;2.由于本构方程的非线性性质以及变形与加载历史有关, 求解变得很困难;3.弹性区与塑性区共存,要求出二者的交界面,并要满足 交界面处力和变形的连续条件.塑性力学的基本假设1.塑性体是

38、初始各向同性(即初次屈服前为各向同性), 均质,连续的;2.塑性变形部分的体积变化为零;体积变化属于弹性的, 且与平均应力呈线性关系;3.静水压力不影响屈服;4.拉伸与压缩屈服应力相等. 大量实验表明:在静水压力作用下,固体金属的体积变化基本是弹性的,去掉压力后,体积变形可以恢复,没有残余的体积变形.实验还表明, 体积变形本身也是很小的,如:在一万个大气压下,弹簧钢体积缩小仅为百分之2.2;对一般应力状态下的金属材料,当发生较大的塑性变形时,可以忽略弹性体积变化,而认为材料在塑性状态时的体积是不可压缩的.布里奇曼用各种钢试件做出轴向拉伸时的应力-应变关系曲线,以及轴向拉伸与静水压力同时作用下的

39、应力-应变关系曲线,二者比较,发现有静水压力时对初始屈服影响很小,可以忽略不计,可认为静水压力与塑性变形无关.塑性变形的规律远比弹性变形的规律复杂得多,因此,在塑性力学中,为了能使复杂的问题得到解决,常常不得不引进一些(恰当的)假设,使问题得到合理解决.对材料的理想化就是其中一个方面.图中给出了材料简化了的应力应变关系曲线.(理想弹塑性体、理想刚弹塑性体、线性硬化弹塑性体、线性硬化刚塑性体） 极限分析弹性力学平衡方程协调方程本构关系（物理关系 即广义胡克定律）边界条件塑性力学平衡方程协调方程本构关系边界条件本构方程屈服条件（初始屈服条件）加载条件（后继屈服条件）加载准则（判断加载与 卸载的准则

40、）增量理论全量理论几何方程几何方程*弹性力学求解时用到平衡方程、协调方程（几何方程）和物理关系三组 基本方程。塑性力学也有平衡方程、协调方程（几何方程）和塑性本构 关系三组基本方程，而且前两组基本方程和弹性力学完全相同，不同的 只是材料的本构关系塑性力学的本构关系,广义的包括a.本构方程(应力应变关系)、本构方程有增量理论与全量理论两大类。b.屈服条件及加载条件；屈服条件是指物体内某一点出现塑性变形时应力所应当满足的条件,加载条件则是指:材料在初始屈服后再进入塑性状态时应力分量之间所必须满足的关系.加载准则是指：由屈服条件判断出结构中某点处于塑性状态后，还要进一步判断在此时间段内是处于加载还是

41、卸载过程，因为这两个过程材料服从不同的应力应变关系,判断时依据的准则就称为加载准则。屈服条件 屈服条件就是材料进入塑性状态时应力分量之间必须满足的条件。在单向拉伸情况,屈服条件可以用拉伸应力图来确定;但在复杂应力状态下,一点应力状态由六个 应力分量决定,显然不能任选一个应力分量的数值作为判断材料是否进入塑性状态的标准,更何况这六个应力分量又与坐标系的选取有关,采用不同的坐标系就会得到不同数值的应力分量;为此,我们选用与坐标无关的量 主应力来表示屈服条件. 在主应力1、2、3表示的应力空间里，可以像单向拉伸那样得出相应的屈服点，这些屈服点的集合所组成的曲面称为屈服面，是材料进入或未进入塑性状态

42、的分界面。屈服面的函数表达式称为屈服函数。 屈服条件就是材料进入塑性状态时应力分量之间必须满足的条件。H · Tresca屈服条件 : “当最大剪应力达到一定数值时，材料开始进入“塑性状态”，即： 或写为：上式中至少有一个等式成立，材料便开始出现塑性变形，否则材料将处于弹性状态。 其中， s为单向拉伸时的屈服极限R · Mises屈服条件 : “当等效应力达到一定数值时，材料开始进入塑性状态”，即： i = s这里的等效应力定义为：故 Mises 条件可写为：对于二向应力状态，如受内压的薄壁筒体，若不计沿壁厚方向的应力，只有环向应力与轴向应力而无剪应力，因此这两个应力便是主

43、应力。此时Tresca屈服条件变为：MisesTresca Mises屈服条件变为：这两个条件在以主应力为坐标轴的平面中可用图中的六边形和椭圆来表示。如果1与3的应力组合一旦达到六边形或椭圆的边上，便开始出现塑性变形。 这两个屈服条件共同的前提:适用于各向同性材料（适于各向异性材料如有Hill屈服条件）。 塑性变形总的可分为以下几个阶段:1.弹性变形使结构处于弹性状态的最大载荷叫做弹性极限载荷.2.约束塑性变形一部分材料进入塑性状态,其变形受到相邻弹性部分的约束.3.自由塑性变形载荷加大,塑性区扩大,弹性区丧失了对塑性区的约束作用,结构的整体刚度明显削弱,变形显著增加. 使结构达到自由塑性变形

44、阶段的载荷称为极限载荷.对于理想塑性材料,此时,在载荷不变的情况下,结构会出现无限制的变形,此现象称为“塑性流动”.下面以例说明:例： 杆截面面积为A，在y = b 处（ab）有一逐渐增加的力P作用，设材料为理想弹塑性的,且拉、压屈服极限相等，均为s .分析加载过程中结构所处不同状态并建立P与其作用点处位移的关系。 解: 设杆在P作用下两端反力为N1、N2杆的平衡方程：N1+N2 = P （A） 变形协调方程：a +b = 0 (B）上面 (A)(B)式与材料性质及变形状态无关，各变形阶段区别仅在于物理方程的不同。 （1）弹性解：杆全部处于弹性状态时材料服从胡克定律 变形协调方程（B）化为：

45、（C）从(A)、 (c)求得: a段受拉, b段受压, N1 N2加载过程中a段先屈服，当N1 = Ns =s A时 弹性极限载荷：相应C点的位移：(此时N1= Pe)2）弹塑性解：当P Pe,此时处于约束塑性变形阶段a段进入屈服，其塑性变形受到b杆（弹性阶段）的限制,但仍满足协调方程（B）,此时a段杆内应力不再增加,a杆中 的内力N1 ： N1 = Ns =s A由式(A): N1+N2 = P得b段杆内力 ： N2 = P N1 =P s A杆处于弹塑性状态时，C截面的位移取决于b段杆的变形:（3）塑性解：当P力再继续增加，等b段也达到屈服时，杆b中的内力N2 = Ns =s A此时杆件变

46、形显著，丧失承载能力，进入自由塑性变形阶段。 从（A）式可求出极限载荷：Ps = 2Ns = 2 s A在解决理想塑性材料的塑性问题时，对一些简单的问题如厚壁筒、旋转圆盘和杆件拉伸等，可以从平衡方程、屈服条件、应力边界条件用较简单的数学方法求出结构的应力分布，而不涉及本构方程；在塑性力学中称此为塑性静定问题。内压厚壁筒的弹塑性分析 （见书8588页） 内半径为Ri,外半径为Ro,假定筒体无限长 1) 弹性解: 2 )弹塑性解：根据问题的轴对称性质, r、z 即为主方向, r 、 、z即为主应力,且 z r ；当内压 P 增加时,主应力方向不变,此时采用Tresca屈服条件较为方便,表达式为：

47、将与代入，则有： 可以看出，在r 最小的地方（即r=Ri）首先屈服，所对应的压力就是弹性极限载荷： 此时 当内压继续增加并超过Pe时，即 P Pe ，此刻内边界附近首先出现一部分塑性区域，由于轴对称性，弹塑性交界面是一个圆柱面，在横截面上就是一个圆,若交界面半径为,弹性区 r Ro，Ri r 为塑性区。A）弹性区（ r Ro ） （B）塑性区（ Ri r ）平衡方程：Tresca 屈服条件： r = s 用边界条件确定平衡方程积分后的常数，得到：（C）弹塑性区交界处半径与内压P的关系：可求出P与的关系：（D）筒体全部进入塑性时的极限内压Ps（即=R0时的P值): 若不考虑中间的变形发展过程，也

48、可以求出它的极限载荷(即全屈服载荷)。此即为极限分析.进入屈服后，极限情况，仍满足平衡方程、屈服条件。平衡方程：屈服条件： 当筒体全部进入塑性时的边界条件定出常数 c Ps=s lnk（与前面结果一样）应 力 分 析 方 法应力分析解析方法数值方法实验应力分析从方程出发求解析解变分方法求出级数解从方程出发（数学近似）从能量原理出发（物理近似）应变电测法光测弹性力学三维光弹性光弹性贴片法差分方法有限元法位移法力法杂交法混合法精确解（连续函数）里兹法伽辽金法（数值解）弹性力学(解析方法)与有限元法比较 解析方法有限元法研究对象由无限多个小微元体组成的连续弹性体由有限多个，有限大小的单元组

49、成的离散体方程微分方程(平衡、几何、变形协调)线性代数方程组解的形式连续函数有显式表达式节点处离散值优缺点精确解、数学关系清楚，有通用性，不是针对某一问题，求解局限性大，许多问题难于求解近似的数值解，只对具体问题，可使用成熟软件，通用性强，对许多问题均可求解塑性力学的本构关系,广义的包括a.本构方程(应力应变关系)、本构方程有增量理论与全量理论两大类。b.屈服条件及加载条件；屈服条件是指物体内某一点出现塑性变形时应力所应当满足的条件.加载条件则是指:材料在初始屈服后再进入塑性状态时应力分量之间所必须满足的关系.加载准则是指：由屈服条件判断出结构中某点处于塑性状态后，还要进一步判断在此时间段内是处于加载还是卸载过程，因为这两个过程材料服从不同的应力应变关系,判断时依据的准则就称为加载准则A.增量理论 当应力状态超过初始弹性范围,应力与应变之间没有一一对应关系了;但在某一给定状态下,有一个应力增量相应地必有唯一的应