函数的概念及性质

1、函数及其性质 凯里一中凯里一中 姚希英姚希英1.1.函数函数(1)(1)传统定义：如果在某个变化过程中有两个变量传统定义：如果在某个变化过程中有两个变量x,yx,y，并，并且对于且对于x x在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则则f,yf,y都有惟一确定的值和它对应，那么都有惟一确定的值和它对应，那么y y就是就是x x的函数，记的函数，记作作y=f(x) y=f(x) 2.2.函数的三要素函数的三要素 函数是由函数是由定义域定义域、值域值域以及从定义域到值域的以及从定义域到值域的对应法则对应法则三部三部分组成的特殊分组成的特殊映射映射. .

2、3.3.函数的表示法：解析式法、列表法、图象法函数的表示法：解析式法、列表法、图象法. . (2)近代定义：设近代定义：设A，B是两个非空数集，如果按照某种对应法是两个非空数集，如果按照某种对应法则则f，对于集合，对于集合A中的中的任何一个任何一个元素，在集合元素，在集合B中都有中都有惟一惟一的元的元素和它对应，那么这样的对应素和它对应，那么这样的对应f叫做集合叫做集合A到集合到集合B的的函数函数，单单奇偶奇偶下一张下一张4 4. .映射映射设设A A，B B是两个集合，如果按照某种对应法则是两个集合，如果按照某种对应法则f f，对于集合，对于集合A A中的任何一个元素，在集合中的任何一个元素

3、，在集合B B中都有惟一的元素和它对应，中都有惟一的元素和它对应，那么这样的对应叫做集合那么这样的对应叫做集合A A到集合到集合B B的的映射映射，记作，记作f:AB .f:AB .给定一个集合给定一个集合A A到到B B的映射，且的映射，且aA,bB.aA,bB.如果元素如果元素a a和元和元素素b b对应，那么，我们把元素对应，那么，我们把元素b b叫做元素叫做元素a a的的象象，元素，元素a a叫做叫做元素元素b b的的原象原象5.一一映射一一映射设设f:AB是集合是集合A到集合到集合B的一个映射的一个映射.如果在这个映射下，如果在这个映射下，对于集合对于集合A中的不同元素，在集合中的不

4、同元素，在集合B中有不同的象，而且中有不同的象，而且B中每一个元素都有原象，那么这个映射就叫做中每一个元素都有原象，那么这个映射就叫做A到到B上上的的一一映射一一映射.返回返回下一张下一张.能使函数式有意义的实数能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域的集合称为函数的定义域.求求函数的定义域的主要依据是：函数的定义域的主要依据是：(1)分式的分母不等于零；分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零；偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于指数、对数式的底必须大于零且不等于1. .已知已知f(x)的

5、定义域为的定义域为A，求函数，求函数fg(x)的定义域，实际上的定义域，实际上是已知中间变量是已知中间变量u=g(x)的取值范围，即的取值范围，即uA，即，即g(x)A，求自变量求自变量x的取值范围的取值范围. 函数的定义域函数的定义域返回返回下一张下一张1.1.函数函数 的定义域为的定义域为( )( )( (A)A)2 2，+ (B)(-(B)(-，1) (C)(11) (C)(1，2) (D)(12) (D)(1，2 2 log101ayxa 2.已知函数已知函数f(x)的定义域为的定义域为a，b，则，则f(2x-1)的定义的定义域为域为3.已知已知f(x2)的定义域为的定义域为-1，1，

6、则，则f(2x)的定的定义域为义域为返回返回下一张下一张. .函数的值域取决于定义域和对应法则，不论函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域域. . .应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础数函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础. .函数的值域函数的值域返回返回下一张下一张.函数的单调性函数的单调性 一般地，设函数一般地，设函数f(x)的定义域为的定义域为 I ： 如果对于属于定义域如果对于属于定义域 I 内某个区间上的内某个区间上的任

7、意任意两个两个自变量的值自变量的值x1 , x2，当，当x1x2时，都有时，都有f(x1)f(x2)，那么就说那么就说f(x)在这个区间上是在这个区间上是增函数增函数.如果对于属于定义域如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自内某个区间上的任意两个自变量的值变量的值x1 , x2，当，当x1x2时，都有时，都有f(x1)f(x2)，那那么就说么就说f(x)在这个区间上是在这个区间上是减函数减函数.函数是增函数还是减函数函数是增函数还是减函数.是对定义域内某个区间是对定义域内某个区间而言的而言的.有的函数在一些区间上是增函数，而在另有的函数在一些区间上是增函数，而在另一些区间上可能是减函数，

8、例如函数一些区间上可能是减函数，例如函数y=x2，当，当x0，+时是增函数，当时是增函数，当x(-，0)时是减函数时是减函数. 返回返回下一张下一张. .复合函数的单调性复合函数的单调性 复合函数复合函数fg(x)的单调性与构成它的函数的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律如下：的单调性密切相关，其规律如下： 函数函数 单调性单调性 u=g(x) 增增增增减减 减减 y=f(u) 增增减减增增减减y=fg(x)增增减减减减增增注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 返回返回下一张下一张1.下列函数中，在区间下列函数

9、中，在区间(-，0)上是增函数的是上是增函数的是( ) (A)f(x)=x2-4x+8 (B)g(x)=ax+3(a0)(C)h(x)= (D)s(x)=log (-x)2.如果函数如果函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间在区间(-，4上上是减函数，那么实数是减函数，那么实数a的取值范围是的取值范围是( ) (A)(-，-3) (B)(-，-3) (C)(-3，+) (D)(-，3)21x12D返回返回下一张下一张3. 是定义在是定义在R上的单调函数，且上的单调函数，且 的图的图象过点象过点A（0，2）和）和B（3，0） （1）解方程）解方程 （2）解不等式）解不等式 （3）求适合）求

10、适合 的的 的取值范的取值范围围( )f x( )f x( )(1)f xfx(2 )(1)fxfx( )2( )0f xf x或x (1)如果对于函数如果对于函数f(x)定义域内定义域内任意任意一个一个x，都有，都有f(-x)=f(x)，那么函数那么函数f(x)就叫做就叫做偶偶函数函数. (2)如果对于函数如果对于函数f(x)定义域内定义域内任意任意一个一个x，都有，都有f(-x)= - f(x)，那么函数那么函数f(x)就叫做就叫做奇奇函数函数 如果函数如果函数f(x)是奇函数或偶函数，那么我们就说是奇函数或偶函数，那么我们就说函数函数f(x)具有奇偶性具有奇偶性 .函数的奇偶性函数的奇偶性 一般地，奇函数的图象关于原点对称，反过来，如一般地，奇函数的图象关于原点对称，反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；偶函数的图象关于数；偶函数的图象关于y轴对称，反过来，如果一个函数轴对称，反过来，如果一个函数的图象关于的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数轴对称，那么这个函数是偶函数 . .具有奇偶性的函数图象特点具有奇偶性的函数图象特点 下一张下一张1.已知函数已知函数f(x)=ax2+bx+c (2a-3x3)