商业与经济学的应用ppt课件

1、歐亞書局微積分精華版第九版商業與經濟學的應用商業與經濟學的應用4.5歐亞書局歐亞書局歐亞書局4.5 商業與經濟學的應用商業與經濟學的應用學習目標求解商業與經濟學的最正确化問題。求解需求函數中需求的價格彈性。辨認根本的商業術語與公式。P.4-35第四章導數的應用第四章導數的應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局商業與經濟學的最正确化商業與經濟學的最正确化 本章節主要將探討最正确化的問題，所以 4.4 節中的五個步驟為解題的战略。P.4-35第四章導數的應用第四章導數的應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局範例範例 1求最大收入求最大收入 某公司認為某產品的總收入 (美圆) 可表示為 R x3 450 x2 52,5

2、00 x其中 x 為銷售量。試問可得最大收入的產量為何？P.4-35第四章導數的應用第四章導數的應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局範例範例 1求最大收入求最大收入 解解收入函數的草圖如圖 4.37 所示。P.4-35 圖圖4.37第四章導數的應用第四章導數的應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局範例範例 1求最大收入求最大收入 解解2. 主要方程式為收入函數，即主要方程式為收入函數，即R x3 450 x2 52,500 x 3. 因為因為 R 為單變數函數，所以不需次要方程式。為單變數函數，所以不需次要方程式。4. 主要方程式的可行定義域為主要方程式的可行定義域為0 x 546 可行定義域可行定義域此範圍是

3、由收入函數的此範圍是由收入函數的 x 截距而得，如圖截距而得，如圖 4.37。P.4-35第四章導數的應用第四章導數的應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局5. 為了使收入最大，先求得臨界數。為了使收入最大，先求得臨界數。在可行定義域中的臨界數為在可行定義域中的臨界數為 x 350，由函數的，由函數的圖形可知在產量為圖形可知在產量為 350 時有最大收入。時有最大收入。範例範例 1求最大收入求最大收入 解解2390052,5000 3(350)(50)0 350,50 dRxxdxxxxx 令導數為0因式分解臨界數P.4-35第四章導數的應用第四章導數的應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局檢查站檢查站 1 求使

4、收入函數 R x3 150 x2 9375x最大化的產量，其中總收入(美圆)，x 是單位生產 (或售出) 本钱，試問最大收入為何？P.4-35第四章導數的應用第四章導數的應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局商業與經濟學的最正确化商業與經濟學的最正确化 為了研讨產量對本钱的影響，經濟學家將平均本钱函數 (average cost function) 定義為其中 C f(x) 為總本钱函數，x 為產量。P.4-36第四章導數的應用第四章導數的應用C歐亞書局歐亞書局歐亞書局範例範例 2求最小平均本钱求最小平均本钱 某公司估計生產某產品 x 單位的本钱 ( 美圆) 可表示為 C 800 0.04x 0.000

5、2x2。求使得每單位的平均本钱為最小的產量。P.4-36第四章導數的應用第四章導數的應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局1. 令令 C 為總本钱，為總本钱，x 為產量，為產量， 為單位平均本钱。為單位平均本钱。2. 主要方程式為主要方程式為 主要方程式主要方程式範例範例 2求最小平均本钱求最小平均本钱 解解=CCxP.4-36第四章導數的應用第四章導數的應用C歐亞書局歐亞書局歐亞書局3. 將將 C 代入主要方程式，可得代入主要方程式，可得4. 函數的可行定義域為函數的可行定義域為 x 0 可行定義域可行定義域因為公司的產量不能够為負值。因為公司的產量不能够為負值。範例範例 2求最小平均本钱求最小平均本

6、钱 解解 2 8000.040.0002 8000.040.0002 CxxxxxC將 代入單變數函數P.4-36第四章導數的應用第四章導數的應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局5. 再求臨界數如下所示。再求臨界數如下所示。範例範例 2求最小平均本钱求最小平均本钱 解解222 22 C800 0.00020 800 0.0002800 0.0002 4,0000,.0002ddxxxxxx 令導數為0兩邊同乘 再除以000 2000 x 臨界數P.4-36第四章導數的應用第四章導數的應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局範例範例 2求最小平均本钱求最小平均本钱 解解 由題意可知 x 值必須為正數，另外 的圖形如

7、圖 4.38 所示。即產量在 x 2000 時有最小的單位平均本钱。P.4-36第四章導數的應用第四章導數的應用C歐亞書局歐亞書局歐亞書局範例範例 2求最小平均本钱求最小平均本钱 解解P.4-36 圖圖4.38第四章導數的應用第四章導數的應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局學習提示學習提示 為了驗證在範例 2 中 x2000 有最小的平均本钱，可代入幾個 x 值來求 C 值。譬如，當 x 400 時的單位平均本钱為 $2.12，但在 x2000 時，每單位平均本钱為 $0.84。P.4-36第四章導數的應用第四章導數的應用CC歐亞書局歐亞書局歐亞書局檢查站檢查站 2 求使得每單位的平均本钱為最小的產量

8、，其中本钱函數為C 400 0.05x 0.0025x2。其中 C 為生產 x 單位的本钱 (美圆)。P.4-36第四章導數的應用第四章導數的應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局範例範例 3求最大收入求最大收入 某公司的產品假设以 $10 的單價出卖，每個月可賣出 2000 個；假设單價每降低 $0.25，則每個月可再多賣 250 個。求使得每月收入為最大的單價。P.4-37第四章導數的應用第四章導數的應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局範例範例 3求最大收入解求最大收入解1. 令令 x 為每月的銷售量，為每月的銷售量，p 為單價，為單價，R 為每月的收為每月的收入。入。2. 為了使每月的收入最大，所以主要方

9、程式為為了使每月的收入最大，所以主要方程式為R xp 主要方程式主要方程式P.4-37第四章導數的應用第四章導數的應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局3. 當單價當單價 p $10 時的銷售量為時的銷售量為 x 2000，當單，當單價價 p $9.75 時的銷售量時的銷售量 x 2250。再由點斜。再由點斜式來建立需求方程式。式來建立需求方程式。將上式代入收入方程式可得將上式代入收入方程式可得範例範例 3求最大收入解求最大收入解 2109.7510(2000) 20002250100.001(2000) 0.00112 () 0.00112 0 .00112pxpxppxRxxxx 點斜式化簡次要方程

10、式代入單變數函數P.4-37第四章導數的應用第四章導數的應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局4. 收入方程式的可行定義域為收入方程式的可行定義域為 0 x 12,000 可行定義域可行定義域 令利潤函數為零所解出的令利潤函數為零所解出的x截距即為此區間範圍。截距即為此區間範圍。5. 欲使收入最大化，先求臨界數。欲使收入最大化，先求臨界數。範例範例 3求最大收入解求最大收入解120.0020 0.000212 6000 dRxdxxx 令導數為0臨界數P.4-37第四章導數的應用第四章導數的應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局範例範例 3求最大收入解求最大收入解 由圖 4.39 可知，銷售量為 6000 時的收

11、入最大，對應的單價為p = 12 0.001x需求函數 = 12 0.001(6000)將 x 6000 代入 = $6單價P.4-37第四章導數的應用第四章導數的應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局範例範例 3求最大收入解求最大收入解P.4-37 圖圖4.39第四章導數的應用第四章導數的應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局檢查站檢查站 3 假设範例 3 的單價每降低 $0.25，則每個月可再多賣 200 個產品，求使得每月收入為最大的單價。P.4-37第四章導數的應用第四章導數的應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局商業與經濟學的最正确化商業與經濟學的最正确化 在範例 3 中的收入為 x 的函數，也可寫成 p 的函數

12、；也就是R 1000(12p p2)。求函數的臨界數之後可知 p 6 時的收入最大。P.4-37第四章導數的應用第四章導數的應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局 某公司的行銷部門認為某產品的需求量 x 可表示為，其中 p 為單價(美圆)， x 為數量。生產 x 單位的本钱為 C 0.5x 500。試問可得最大利潤的價格為何？範例範例 4求最大利潤求最大利潤50/pxP.4-38第四章導數的應用第四章導數的應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局範例範例 4求最大利潤求最大利潤 解解1. 令令 R 為收入，為收入，P 為利潤，為利潤，p 為單價，為單價，x 為數量，為數量，C 為生產為生產 x 單位產品的總本钱。單

13、位產品的總本钱。2. 為了使利潤為最大，考慮主要方程式為了使利潤為最大，考慮主要方程式P R C 主要方程式主要方程式P.4-38第四章導數的應用第四章導數的應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局範例範例 4求最大利潤求最大利潤 解解 () 0.550050 0.5500 500.5500 PxpxRRCxCxxxxp將 和 代入將 代入單變數函數3. 以以 R xp 改寫主要方程式為改寫主要方程式為4. 函數的可行定義域為函數的可行定義域為 127 x 7872 (當當 x 小於小於 127 或大於或大於 7872，則利潤為負，則利潤為負)。P.4-38第四章導數的應用第四章導數的應用歐亞書局歐亞書局

14、歐亞書局5. 欲使利潤為最大，先求臨界數。欲使利潤為最大，先求臨界數。由圖由圖 4.40 的利潤函數可知，在的利潤函數可知，在 x 2500 時有最時有最大利潤，對應的單價為大利潤，對應的單價為範例範例 4求最大利潤求最大利潤 解解 25 0.50 25 0.5 50 0 2500 .5xdPdxxxxx令導數為0等號兩邊加單邊只剩 項 505050 2500 $1.00 50px臨界數單價P.4-38第四章導數的應用第四章導數的應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局範例範例 4求最大利潤求最大利潤 解解P.4-38 圖圖4.40第四章導數的應用第四章導數的應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局 範例 4 的計算

15、過程可參考本章代數複習範例 2(b)。P.4-38第四章導數的應用第四章導數的應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局 由以下的需求和本钱函數，求使得利潤為最大的價格。其中 p 為單價 (美圆)，x 為數量， C 為本钱 (美圆)。檢查站檢查站 440250pCxx 且 P.4-38第四章導數的應用第四章導數的應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局 為了求範例 4 中的最大利潤，先對方程式 P R C 微分再令其為零，即當邊際收入等於邊際本钱時，可得最大利潤，如圖 4.41。商業與經濟學的最正确化商業與經濟學的最正确化0dPdRdCdxdxdxP.4-38第四章導數的應用第四章導數的應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局商業

16、與經濟學的最正确化商業與經濟學的最正确化P.4-38 圖圖4.41第四章導數的應用第四章導數的應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局需求的價格彈性需求的價格彈性 經濟學家有一種方法來測量消費者對某產品價格變化的反應，即需求的價格彈性 (price elasticity of demand)。譬如，蔬菜價格跌落能够引起其需求量添加，這種需求稱為有彈性 (elastic)。另一方面，像牛奶和用水等項目對其價格變化較無反應，這種需求稱為無彈性 (inelastic)。P.4-39第四章導數的應用第四章導數的應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局 正式而言，需求的彈性是需求量 x 的百分比變化量與價格 p 的百分比變化量

17、之比值。需求的價格彈性公式可利用導數的定義以近似法推導得之，即需求的價格彈性需求的價格彈性pdpxdxP.4-39第四章導數的應用第四章導數的應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局 再利用此近似可得需求的價格彈性需求的價格彈性/ / / /x xp pp xpxp xdp dx需求量的變化率需求的價格彈性價格的變化率P.4-39第四章導數的應用第四章導數的應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局學習提示學習提示 在需求的價格彈性的討論中，我們假設需求量添加，則價格減少。因此，價格函數 p f (x) 皆遞減且 dp/dx為負值。P.4-39第四章導數的應用第四章導數的應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局需求的價格彈性需求的

18、價格彈性P.4-39第四章導數的應用第四章導數的應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局需求的價格彈性需求的價格彈性 需求的價格彈性與總收入函數的關聯性，見圖 4.42 和以下的敘述：1. 假设需求是有彈性，則價格跌落所帶來的銷售 量添加，可使得總收入添加。2. 假设需求是無彈性，則價格跌落所帶來的銷售 量添加，不會使總收入添加。P.4-39第四章導數的應用第四章導數的應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局需求的價格彈性需求的價格彈性P.4-39 圖圖4.42第四章導數的應用第四章導數的應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局 某產品的需求函數為 ，0 x 144，其中 p 為單位價格，x 為需求量(如圖 4.43)。a. 判

19、斷何時需求為有彈性、無彈性和單位彈性。b. 以 (a) 的答案來描画收入函數的性質。範例範例 5比較彈性與收入比較彈性與收入242pxP.4-40第四章導數的應用第四章導數的應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局範例範例 5比較彈性與收入比較彈性與收入P.4-40 圖圖4.43第四章導數的應用第四章導數的應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局a. 需求的價格彈性為需求的價格彈性為範例範例 5比較彈性與收入比較彈性與收入 解解 242/ / 242() 1()242 24 2 /1 xxp xdp xdp dxxxxxxxp dxxxxxxx 需求的價格彈性公式將和代入分子和分母同乘以化簡分成兩分式並化簡P.4-40第四章導數的應用第四章導數的應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局範例範例 5比較彈性與收入比較彈性與收入 解解24=21 xx單位彈性 在區間 0, 144 內，因需求為單位彈性或| | 1，所以的独一解為 x 64，因此當 x 64 時可得需求的單位彈性。P.4-40第四章導數的應用第四章導數的應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局 對區間 (0, 64) 內的 x 值來說，這說明當 0 x 64，需求有彈性。對區間 (64, 144) 內的 x 值來說，這說明當 64 x 1, 064 24=2 1, 64144 xxxxxx有彈性無彈性P.4-40第四章導