2020-2021学年湖北省高三5月适应性考试数学(理)试题及答案解析

1、高三适应性考试理科数学试卷、选择题（本大题共 12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）1 .已知集合 A x|2x25xB x Z |xw 2,则AI B中的元素个数为A. 2B.C. 4D. 52.已知a为实数，若复数(a2 1)（a 1）i为纯虚数，则2016ai一的值为（）1 iA. 1B. 0C. 1D. 13.下列命题错误的是（A.若p q为假命题，则pq为假命题B.若a,b 0,1 ,则不等式221,a b 一成立的概率是一 416C.命题“x R使彳# x2 x1 0”的否定是：“2x R,x0”D.已知函数f（x）可导，则“f （x0

2、） 0"是Xo是函数f（x）极值点”的充要条件4.从19共9个自然数中任取七个不同的数，则这七个数的平均数是5的概率为（）2A. 一31 B.31C.一91D. 一85.设D是 ABC所在平面内一点,uuruuirAB 2DC，则（）A.uurBDuuir 3 uurAC AB2B.uurBD3 uur-AC 2uuuABC.uurBD1 uuir uurAC AB 2D.uuurBDuur 1 uurAC -AB22 X6.过双曲线J a2 y_ b27.已知 a(cos2x sin2 x , v13) , bA.图象关于 一,0中心对称6B.图象关于直线x -对称6C.在区间_,

3、0上单调递增6D.周期为的奇函数8.已知实数x, y满足x y 1 > 0x y 4W0,若目标函数z 2x y的最大值与最小值的差为 y > m2,则实数m的值为()“c c八cr1A.4B. 3C.2D.-29 .在程序框图中，输入N=8,按程序运行后输出的结果是()A. 6B. 7C. 10D. 1210 .已知函数f(x) x(lnx ax)有极值，则实数a的取值范围是()11A-,2B-。,(1 (a 0,b 0)的右焦点F作一条直线，当直线倾斜角为时,6直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线倾斜角为时，直线与双曲线右支有3两个不同的交点，则双曲线离心率的取值范围为(

4、)A.1,逋B. 迪,2C. (1,73)D. (1,2)331 , cos 2x ，若 f(x) a b ,则 f (x)( 2C.1,21D.0,1211.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(1正视图俯视图侧视图B.A.(10 2/2)113-6D (11 2.2)212.若函数f x满足对于任意实数a,b,c,都有f(a), f (b), f (c)为某三角形的三边长,则称f(x)为“可构造三角形函数”x一，2已知f(x) 了-是“可构造三角形函数”，则实数1t的取值范围是(A. 1,0B. (,0C. 2, 1D.12, 2二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

5、13.已知函数f (x)(9x 1) 9kx(kR)为偶函数，则实数 k的值为14.已知(1+ax)5(142x)的展开式中2 一x的系数为-16 ,则实数a的值为15.已知。是cosBuur cosC 段AB ACsin Csin Buur2mAO，则 m=16.中心在原点，焦点在x轴上的双曲线 C的离心率为2,直线l与双曲线C交于A, B点，线段AB中点M在第一象限，并且在抛物线y形 ABC 的外接圆圆心，tan A - 2px(p 0)上，若点M到抛物线焦的距离为p,则直线l的斜率为三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17 .（本小题满分12分）在等差数列 值中，a2 5

6、 , a5 11 ,数列bn的前n项和S n an .（I ）求数列an ,bn的通项公式；(n )求数列1的前n项和Tn .bnbn 118 .（本小题满分12分）如图，菱形ABCD中，/ABC = 60°, AC与BD相交于点 O, A已平面ABCD, CF/ AE,AB = AE = 2（I ）求证：BDL平面 ACFE（II）当直线FO与平面BED所成角的为45°时，求异面直线 OF与BE所成的角的余弦19 .（本小题满分12分）2015年下半年，“豆芽花”发卡突然在全国流行起来，各地随处可见头上遍插 “小草”的人群，其形象如图所示:对这种头上长“草”的呆萌造型，大

7、家褒贬不一.为了了解人们是否喜欢这种造型，随机从人群中选取 50人进行调查，每位被调查者都需要按照百分制对这种造型进行打分.按规定，如果被调查者的打分超过60分，那么被调查者属于喜欢这种造型的人；否则，属于不喜欢这种造型的人.将收集的分数分成0,20, (20,40, (40,60, (60,80,(80,100五组，并作出如下频率分布直方图：频率0.025 0.0100.006_0.0030 20 406080 l00 夯数(I )为了了解被调查者喜欢这种造型是否与喜欢动画片有关，根据50位被调查者的情况制作的2 2列联表如下表，请在表格空白处填写正确数字，并说明是否有95%以上的把握认为被

8、调查者喜欢头上长“草”的造型与自身喜欢动画片有关？喜欢头上长“草”的造型不喜欢头上长“草”的造型合计喜欢动画片30小喜欢动回片6合计(n)将上述调查所得到的频率视为总体概率.现采用随机抽样方法抽取 3人，记被抽取的3人中喜欢头上长“草”的造型的人数为X.若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列、期望 E(X)和方差D(X).卜面的临界值表供参考:P(K2>k)0. 150. 100. 050. 0250. 0100. 0050. 001k2. 0722. 7063. 8415. 0246. 6357. 87910. 828，、22n (ad bc)- f(参考公式：K =，其中n =

9、a + b + c + d)(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)20.(本小题满分12分)22已知椭圆C：勺4 1 a b 0的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三 a b角形，直线x y 1 0与以椭圆C的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切.(I)求椭圆C的方程；(n)过点M(2,0)的直线l与椭圆C相交于不同的两点 S和T,若椭圆C上存在点P满uir uua uuu足OS OT tOP (其中。为坐标原点)，求实数 t的取值范围.21.(本小题满分12分)已知函数f(x) ln(1 x)-2 ax x (1 x)2(i)当aw 2时，讨论函数f x

10、的单调性;(n)若x 0,求函数g(x)1 x13 曰,上(1)x(1 x)x的最大值.x请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答 时请写清题号.22.(本小题满分10分)选修41:几何证明选讲如图，AB是圆O的直径，AC是弦，BAC的平分线AD交圆O于点D , DE AC , 交AC的延长线于点 E ,OE交AD于点F .(I )求证：DE是圆。的切线；(n)若AC 2,求”的值.AB 5 DF23 .(本小题满分10分)选修44:坐标系与参数方程已知直线l的参数方程为 x 石(t为参数，t R),以坐标原点。为极点,y 3t 2.x轴的正半轴为极轴建

11、立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2sin ,0,2 ).(I )求直线l与曲线C的直角坐标方程；(n)在曲线C上求一点D ,使得它到直线l的距离最短.24 .(本小题满分10分)选修45:不等式选讲已知函数f(x) |x 3| .(I)若不等式f(x) f (x 5)河m 1有解，求实数 m的最小值M ;(n)若 |a| 1,|b| 3 ,且 a 0,证明：Ub- f - |a| a数学答案(理科)一、BDDCA BCCCA CD二、13.114. 2 15. 25-16. 32521 .【答案】B1【解析】由于A x| -< x< 3 , AI B20,1,2 ,所以AI B中有

12、3个元素，故选B.2 .【答案】D【解析】因为复数z (a21) (a 1)i为纯虚数，所以a 1 0,即a=1,所以a 1 0.20162016ai一 = L一32(1 i) 2(1 i) 1 i ,故选 D.1 i 1 i 1 i (1 i)(1 i) 23 .【答案】D【解析】已知函数f(x)可导，则f (%) 0”是X是函数f(x)极值点”的必要不充分条件，故选D.4 .【答案】C【解析】基本事件总数 C； C2 3699因为这9个数的和为45,而且取出的7个数之和为35,所以平均数为 5的事件个数相当于从1与9; 2与8; 3与7; 4与6这4组数中去掉一组数的个数，即共4个基本事件

13、个数，所以取出七个数的平均数是5的概率为3=1 ,故选C.36 95 .【答案】AurnBDuuu uuu uuu uuu urnAD AB AC CD ABuuu 1 uur uuuAC AB AB2uuu 3 uur , AC AB,故选 A.26 .【答案】B22,2cab122a a4上4 ,所以3【解析】f(x) a bcos2 x sin2 x 3 cos 一 2x2cos2x . 3sin 2x2sin 2x 6b2【解析】由题思知tan _ _ tan _ ,所以e 6 a 3e包3,2 ,故选B.37 .【答案】C【解析】作出不等式组易知只有C选项正确.8 .【答案】Cx y

14、 1 > 0x y 4< 0对应的平面区域如图:y > m由 z=2x+y 得 y 2x z ,平移直线y2x z,由图象可知:当直线y 2x z经过点A时，直线的截距最大，此时 z最大,x y 4 0x 4 m由，解得，即 A(4 m,m),此时 z 2(4 m) m 8 my my m当直线y 2x z经过点B时，直线的截距最小，此时 z最小,m 1,即 B(m 1,m),此时 z 2(m 1) m 3m 2 ,因为目标函数z=2x+y的最大值是最小值的差为2,所以8 m 3m 2 2,即m=2.故选C.9 .【答案】C【解析】由于程序中根据k的取值，产生的T值也不同由题

15、意知，在循环体中，当 k 2n(n N*)时，T=n;当k 4n+1(n N)时，T=-n-1 ;当k 4n+3(n N)时，T=n+1;故可将程序中的k值从小到大，每四个分为一组，即 (1,2,3,4) , (5,6,7,8)而且每组的4个数中，偶数值乘以-累加至S,但两个奇数对应的 T值相互抵消，即2_1S -(2 4 6 8) 10 ,故选 C.10 .【答案】A【解析】f x ln x 2ax 1 ,若函数f x x(ln x ax)有极值，则函数f x In x 2ax 1有零点，即方程In x 2ax 1有解，从而函数y In x与y 2ax 1图象有公共点，下考虑直线y 2ax

16、1与曲线y In x相切的情况：111设切点 P(xo,2axo 1) ,，y |x x 2a ,即 xo ，P ,0 代入曲线 y In x中，° x2a2a1 1 .解得a -,结合图象可知，当 a 时，f (x) 0有唯一零点，且恒有 f (0) < 0 ,此 221时f(x)无极值点；当a -时，函数y Inx与y 2ax 1图象有交公共点，且在公共点2两侧f (x)异号，此时f(x)有极值点，故选 A11.【答案】C【解析】由题意可知几何体的形状是放倒的圆柱，底面半径为1,高为2,左侧与一个底面半径为1,高为1的半圆锥组成的组合体.几何体的表面积为：2 1 2+ 12

17、+1 12+1 1 V2+- 2 1=(11+"2)-+1 ,故选 C222212 .【答案】D【解析】f(x) 11时,f (x) 1 ,此时f (a), f (b), f (c)都为1,能构成一个正三角形的三边长，满足题意.当t 1 0,即t 1时，f (x)在R上单调递增，t f (x) 1,由，f(x)为“可构造三角形函数”得2t> 11 t w 1 .2当t 1 0,即t 1时，f (x)在R上单调递减，1 f (x) t,由f(x)为“可构造三角形函数”得2 > t 2< t 1 .1综上，2 w t w -,故选D.二、填空题(本大题共4小题，每小题5

18、分，共20分)一 一 113 .【答案】12【解析】由题意知 f( x) f(x) (9 x 1) 9 kx (9x 1) 9kx对于x R恒成立，而(9 x 1) 9 kx(9x 1) 9kx92k 1x 1,于是 2k 1 0,得 k 2.14 .【答案】2【解析】(1+ax)5(1 2x)4展开式的通项可以写成Cm(ax)m C4( 2x)n CmCnam( 2)nxm n所以 x2 的系数为 C5c4a0( 2)2 C5C14a1( 2)1 C2C4a2( 2)016,即10a2 40a 2416 ,解得 a 2.15.【答案】2J5两边同时乘以uurABuur uurAB? AO1

19、UUUT|22 M 316 .【答案】一2【解析】M在抛物线y2=2px (p>0)上，M到抛物线焦点的距离为P.二.M点的坐标为 p , P ;2设双曲线方程为与a-2y夕 1 a 0,b 0 , A(X, y) B(x2, y?),2Xia2X22 a2 yi b22 y2 b21两式相减，并将上式代入得1p(XX2)2a2 P(yi v2b2贝U x x?p,yi V2 2p2222_y1y2 b c a e 13AB一 2一 2一一x1 x2 2a2a22三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）a0ad 517 .解：（1）设等差数列a。的首项为a1,公差为d,则 n

20、=1 时，T111a5 al 4d 11a1 31 an 3 （n 1） 2 2n 1 （3 分）d 2数列bn的前n项和Sn n2 2n 1=(n 1)2当 n=1 时，b, S1 4,当 n>2 时，bnSnSn 1(n 1)2 n2 2n 1 ,对 b1 =4 不成立,所以，数列bn的通项公式为 以4, n 12n 1,n > 2n>2 时,1bnbn 11(2n 1)(2 n 3)11 2 2n 1 2n 3所以111111Tn(-20 2 5 7 7 9n=1仍然适合上式，6n 120(2n 3)综上，Tn6n 120(2n 3)12分1111111 n 1)(-

21、)2n 12n 320 2 5 2n 320 10n 1510分18 .解（I ）证明：Q四边形ABCD是菱形,BD AC .Q AE 平面 ABCD,BD 平面 ABCDBD AE .Q AC I AE A, BD 平面 ACFE5分(n)解：以。为原点，OA, OB为x, y轴正向，z轴过。且平行于CF,建立空间直 uuu角坐标系，则 B(0,J3,0) , D(0,3,0), E(1,0,2) , F( 1,0,a)(a 0), OF 1,0,a-6 分uuu n OB 贝U有uuuin OE设平面EBD的法向量为n (x, y,z),0 3y 0，即、°y 0 令 z 1 ,

22、则 n ( 2,0,1)0 x 2z 08分uuu由题意得 sin 45° |cos OF ,nuuiu-2 ,解得a 2,LOF. n| |2 a| uuuu-|OF|n|, a2 1, 5由a 0 ,得a 310分uuruuuOF ( 1,0,3), BE(1, 3,2), ului uuucos：OF,BE;1 6,10 <84即所求的异面直线所成的角余弦值为-1419.解：(I )如表:喜欢头上长“草”的造型不喜欢头上长“草”的造型合计喜欢动画片30939小喜欢动回片5611合计3515503分22 50X(30X6 9X5)K =39X11 X 35X154050=4

23、.046 > 3. 8411001所以有95 %以上的把握认为被调查者喜欢头上长“草”的造型和自身喜欢动画片有关.-,将频率视为概率，即106 分(n)由频率分布直方图知抽到喜欢头上长“草”的频率为从人群中抽取一名喜欢头上长“草”的概率为10由题意知X B 3,，从而X的分布列为:10X0123P2718944134310001000100010009E(X) np 37217363，D(X) np(1 p) 310 1010 10 10012 分20 .解：（I ）由题意，以椭圆 C的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为（x c）2到直线 x y 1 0 的距离 dc 1

24、a .2椭圆C的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形,代入（*）式得b c 1 ,a 72b <2故所求椭圆方程为y2 1.（n）由题意知直线l的斜率存在,设直线l方程为y k（x 2）,设P X0,y。,将直线方程代入椭圆方程得：（12k2)x2 8k2x8k22 0,-464k4(1_ 2_ 2-2k )(8k2)0,解得k设 Slow)T(X2,y2)X1X28 k2 2k2,XX28k2 21 2k2 yy2k(xX24)4k1 2k2uur uuu 由 OS OTuuutOP ，得 tx0XiX2,ty0y1y2当t 0时,直线l为x轴,则椭圆上任意一点uurP满足O

25、SuurOTuuutOP ,符合题意;tX0当t 0时,ty。8k221 2k4k1 2k218k2一I_2t 1 2ky。1 4k一I_2t 1 2k942将上式代入椭圆方程得：一32k2 2 1,t2 1 2k2t2 1 2k22整理得：t2 J6k=二二6是k2的递增函数，1 2k 1p2由 k2 1 知，0 t2 4,所以 t ( 2,0)U(0,2),综上可t ( 2,2)12 分21 .解：（I）由题意知：函数 f（x）的定义域为（1,），且f (x)1 (2ax 1)(1 x) 2(ax2 x) x(x 2a 3)1 x(1 x)3(1 x)3当2a 3< 1时，即a<1时若 x 0,则 f (x) 0 ;若 1 x 0 ,则 f (x) 0此时f（x）在区间（0,）上单调递增，在区间（1,0）上单调递减3当12a 3 0,即1 a 时2f （x） 0,3,0）上单调递减.）上单调递增.若 1 x 2a 域 x 0,则 f(x) 0;若 2a 3 x 0,则此时f（x）在