高中数学 第三单元 导数及其应用 3.1.1 函数的平均变化率 3.1.2 瞬时速度与导数课件 新人教B版选修1-1

1、3.1.1函数的平均变化率3.1.2瞬时速度与导数1.了解导数概念的实际背景，理解平均变化率和瞬时速度.2.会求函数在某一点附近的平均变化率.3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数.学习目标题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学知识点一函数的平均变化率假设如图是一座山的剖面示意图，并建立如图所示的平面直角坐标系.a是出发点，h是山顶.爬山路线用函数yf(x)表示.自变量x表示某旅游者的水平位置，函数值yf(x)表示此时旅游者所在的高度.设点a的坐标为(x1，y1)，点b的坐标为(x2，y2).思考1若旅游者从点a爬到点b，自变量x和函数值y的改变量分别是多少？答案自变量x的改变量为x2x1

2、，记作x，函数值y的改变量为y2y1，记作y.思考2怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度？答案思考3答案梳理梳理函数yf(x)从x1到x2的平均变化率函数值自变量斜率知识点二瞬时变化率思考1物体的路程s与时间t的关系是s(t)5t2，试求物体在1,1t这段时间内的平均速度.答案思考2当t趋近于0时，思考1中的平均速度趋近于多少？怎样理解这一速度？ 答案梳理梳理(1)物体运动的瞬时速度设物体运动的路程与时间的关系是sf(t)，当 时，当t趋近于0时，函数f(t)在t0到t0t之间的平均变化率为 趋近于常数，这个常数称为t0时刻的瞬时速度.t0到t0t(2)函数的瞬时变化率设函数yf(x)在x0附近有

3、定义，当自变量在xx0附近改变x时，函数值相应地改变yf(x0 x)f(x0)，如果当x趋近于0时，平均变化率 趋近于一个常数l，则数l称为函数f(x)在点x0的瞬时变化率.知识点三函数在某一点处的导数与导函数思考f(x0)与f(x)表示的意义一样吗？f(x0)表示f(x)在xx0处的导数，是一个确定的值.f(x)是f(x)的导函数，它是一个函数.f(x0)是导函数f(x)在xx0处的函数值.答案梳理梳理(1)函数f(x)在xx0处的导数函数yf(x)在xx0处的 称为函数yf(x)在xx0处的导数，记作 ，即f(x0) .瞬时变化率f(x0)或y|0 x x(2)导函数定义如果f(x)在开区

4、间(a，b)内每一点x导数都存在，则称f(x)在区间(a，b)可导，这样，对开区间(a，b)内每个值x，都对应一个 ，于是在区间(a，b)内f(x)构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数yf(x)的导函数.记为f(x)(或yx、y).(3)函数yf(x)在点x0处的导数f(x0)就是导函数f(x)在点xx0处的函数值，即f(x0)f(x)| .0 x x确定的导数f(x)题型探究类型一函数的平均变化率解答因为f(x)2x23x5，所以yf(x1x)f(x1)2(x)22x1x3x2(x)2(4x13)x.当x14，x25时，x1，当x14，x24.1时，x0.1，y2(x)2(4x13)x0

5、.021.91.92. 解答由于k1k2k3，所以在x3附近的平均变化率最大.求平均变化率的主要步骤(1)先计算函数值的改变量yf(x2)f(x1)；(2)再计算自变量的改变量xx2x1；反思与感悟答案解析x(2)如图所示是函数yf(x)的图象，则函数f(x)在区间1,1上的平均变化率为_；函数f(x)在区间0,2上的平均变化率为_.答案解析类型二求瞬时速度例例2某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)t2t1表示，求物体在t1 s时的瞬时速度.解答物体在t1处的瞬时变化率为3，即物体在t1 s时的瞬时速度为3 m/s.引申探究引申探究1.若本例的条件不变，试求

6、物体的初速度.解答物体在t0处的瞬时变化率为1，即物体的初速度为1 m/s.2.若本例的条件不变，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s.设物体在t0时刻的瞬时速度为9 m/s，解答则2t019，t04.则物体在4 s时的瞬时速度为9 m/s.反思与感悟(1)不能将物体的瞬时速度转化为函数的瞬时变化率是导致无从下手解答本题的常见问题.(2)求运动物体瞬时速度的三个步骤求时间改变量t和位移改变量ss(t0t)s(t0).解答跟踪训练跟踪训练2一质点m按运动方程s(t)at21做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，若质点m在t2 s时的瞬时速度为8 m/s，求常数a的值.质点m在t2时的瞬时速度即为函数在t2处的瞬时变化率.质点m在t2附近的平均变化率类型三求函数在某一点处的导数 解答反思与感悟求一个函数yf(x)在xx0处的导数的步骤如下：(1)求函数值的变化量yf(x0 x)f(x0)；解答跟踪训练跟踪训练3已知f(x)3x2，f(x0)6，求x0.当堂训练123451.一物体的运动方程是s32t，则在2,2.1这段时间内的平均速度是a.0.4 b.2c.0.3 d.0.2答案解析12345答案12345答案解析3.当球的半径从1增加到2时，球