2022年《直线的交点坐标和距离公式》导学案

1、3.3直线的交点坐标与距离公式导学案【学习目标】1. 直线和直线的交点，二元一次方程组的解；2掌握直角坐标系两点间距离，用坐标法证明简单的几何问题。3. 理解点到直线距离公式的推导，熟练掌握点到直线的距离公式，会用点到直线距离公式求解两平行线距离。【导入新课】用大屏幕打出直角坐标系中两直线，移动直线，让学生观察这两直线的位置关系。课堂设问一：由直线方程的概念，我们知道直线上的一点与二元一次方程的解的关系，那如果两直线相交于一点，这一点与这两条直线的方程有何关系？新授课阶段1. 两直线的交点坐标的求法如果两条直线相交，联立方程组求，交点坐标与二元一次方程组的是一一对应的。1. 若二元一次方程组有

2、唯一解，1l与2l相交。2. 若二元一次方程组无解，则1l与2l平行。3.若二元一次方程组有无数解，则1l与2l重合。例 1 求下列两直线交点坐标：1l：3x+4y-2=0；2l：2x+y +2=0。解：精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 13 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 13 页 - - - - - - - - -例 2 已知a为实数，两直线1l：01yax，2l：0ayx相交于一点，求证交点不可能在第一象限及x

3、轴上 . 分析：解：2. 两点间距离公式的推导平面直角坐标系中两点12,p p的距离22122221ppxxyy。过12,p p分别向 x轴和 y 轴作垂线，垂足分别为112200nymx，直线1122pnp m与相交于点q。在直角12pp q中，2221212pppqqp，为了计算其长度，过点1p向 x 轴作垂线，垂足为110mx，过点2p向 y 轴作垂线，垂足为220ny，于是有2222221212121221pqm mxxqpn nyy，所以，2221212pppqqp=222121xxyy。由此得到两点间的距离公式例 3 以知点 a（-1，2） ，b（2，7） ，在 x 轴上求一点，使

4、papb,并求pa的值。解：精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 13 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 13 页 - - - - - - - - -例 4 证明平行四边行四条边的平方和等于两条对角线的平方和。分析：证明：3. 点到直线距离公式在平面直角坐标系中，如果已知某点p 的坐标为),(00yx，直线 0 或 b0 时，以上公式0:cbyaxl，怎样用点的坐标和直线的方程直接求点p 到直线l的距离呢 ? 设点 p 到

5、直线l的垂线段为pq，垂足为q，由pql可知，直线pq 的斜率为ab（a0 ），根据点斜式写出直线pq 的方程， 并由l与 pq 的方程求出点q 的坐标；由此根据两点距离公式求出pq，得到点 p 到直线l的距离为d此方法虽思路自然，但运算较繁.下面我们探讨另一种方法方案二：设a0 ，b0 ，这时l与x轴、y轴都相交，过点p 作x轴的平行线，交l于点),(01yxr；作y轴的平行线，交l于点),(20yxs，oxyldqsrp(x0,y0)精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 13 页 - - - - - - - - -精品学习资

6、料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 13 页 - - - - - - - - -由0020011cbyaxcbyxa得bcaxyacbyx0201,. 所以， p10 xxacbyax00ps20yybcbyax00s abbapspr2222 cbyax00由三角形面积公式可知：d s p ps所以可证明，当a=0 时仍适用得到：点),(00yxp到直线0:cbyaxl的距离为：2200bacbyaxd例 5 求点 p=（-1，2）到直线3x=2 的距离。解：例 6 已知点 a（1，3）， b（3，1）， c（-1，0），求三角形ab

7、c 的面积。解：精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 13 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 13 页 - - - - - - - - -4.平行线间的距离公式已知两条平行线直线1l和2l的一般式方程为1l：01cbyax，2l：02cbyax，则1l与2l的距离为2221baccd证明：例 7 求两平行线1l：0832yx，2l：23100 xy间的距离。解：课堂小结1.直线与直线的位置关系，求两直线的交点坐标，能将几何

8、问题转化为代数问题来解决，并能进行应用。2. 两点间距离公式的推导，以及应用，要懂得用代数的方法解决几何问题，建立直角坐标系的重要性。3. 点到直线距离公式的推导过程，点到直线的距离公式，能把求两平行线的距离转化为点到直线的距离公式。作业见同步练习部分精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 13 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 13 页 - - - - - - - - -拓展提升1 已知直线0323yx和016myx互相平

9、行， 则它们之间的距离是（）a. 4 b.13132c. 26135d. 261372、过点 a(1,2) 且与原点距离最大的直线方程是（）a052yxb042yxc. 073yxd053yx3.已知直线l1的方程是ax-y+b0,l2的方程是bx-y-a0(ab0, a b)，则下列各示意图形中，正确的是 ( ) 4直线3yx绕原点逆时针旋转90，再向右平移个单位，所得到的直线为() a.1133yxb. 113yxc. 33yxd.113yx5若动点),(),(2211yxbyxa、分别在直线1l：07yx和2l：05yx上移动，则ab中点m到原点距离的最小值为（）a23b32c33d24

10、6点 a（ 1，3） ，b（5， 2） ，点 p 在 x 轴上使 |ap|bp|最大，则p 的坐标为（）a. (4,0) b. (13,0) c. (5,0) d. (1,0) 7.过点)1 ,4(p作直线l分别交x轴的正半轴和y 轴的正半轴于点a、b， 当ao b（o为原点）的面积s最小时，求直线l的方程，并求出s的最小值。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 13 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 13 页 - - -

11、 - - - - - -8.光线从2,0q发出射到直线l：x+y=4 上的 e 点，经l反射到 y 轴上 f 点，再经 y 轴反射又回到q 点，求直线ef 的方程。9.在平面直角坐标系中，已知矩形abcd的长为， 宽为，ab、ad边分别在x轴、y轴的正半轴上，a点与坐标原点重合 （如图所示） 。将矩形折叠， 使a点落在线段dc上。（1）若折痕所在直线的斜率为k，试求折痕所在直线的方程；（2）当230k时，求折痕长的最大值；（3） 当21k时，折痕为线段pq，设2(2|1 )tkp q，试求t的最大值。10. 过点 (2,3)的直线l被两平行直线12: 2590,:2570lxylxy所截得线段

12、ab 的中点恰好在直线410 xy上 ,求直线l的方程 . 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 13 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 13 页 - - - - - - - - -参考答案新授课阶段1. 两直线的交点坐标的求法交点坐标解例 1 解：联立方程组34202220 xyxy解得x=-2，y=2 所以1l与2l的交点坐标为m（-2，2） ，如下图所示：642-2-4-55yx例 2 分析：先通过联立方程组将交点坐

13、标解出，再判断交点横纵坐标的范围. 解：解方程组若112aa0，则a1. 当a 1 时，11aa0，此时交点在第二象限内. 又因为a为任意实数时，都有12a1 0，故112aa0 因为a1（否则两直线平行，无交点），所以，交点不可能在x轴上，得交点 (11,112aaaa) 2. 两点间距离公式的推导22122221ppxxyy例 3 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 13 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 13 页

14、- - - - - - - - -解：设所求点p（x，0） ，于是有2222102207xx由p apb得2225411xxxx解得x=1。所以，所求点p（1，0）且221 10222pa。解法二：由已知得，线段ab 的中点为12 ，直线 ab 的斜率为k=1?2 线段 ab 的垂直平分线的方程是y-1?2 在上述式子中，令y=0，解得 x=1。所以所求点p 的坐标为（ 1，0） 。因此 例 4 分析： 首先要建立直角坐标系，用坐标表示有关量，然后用代数进行运算，最后把代数运算“翻译”成几何关系。数形之间的关系和转化，并从中归纳出应用代数问题解决几何问题的基本步骤。证明：以顶点为坐标原点，边所

15、在的直线为轴，建立直角坐标系，有（，） 。设（，） ，（，） ，由平行四边形的性质的点的坐标为（，），因为22222222abacdaadbcbc，2acab， 所以， 所以， 因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 13 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 13 页 - - - - - - - - -上述解决问题的基本步骤可以归纳如下：第一步：建立直角坐标系，用坐标表示有

16、关的量。第二步：进行有关代数运算。第三步；把代数结果“翻译”成几何关系。3. 点到直线距离公式在平面直角坐标系中，如果已知某点p 的坐标为),(00yx，直线 0 或 b0 时，以上公式0:cbyaxl，怎样用点的坐标和直线的方程直接求点p 到直线l的距离呢 ? 设点 p 到直线l的垂线段为pq，垂足为q，由pql可知，直线pq 的斜率为ab（a0 ），根据点斜式写出直线pq 的方程， 并由l与 pq 的方程求出点q 的坐标；由此根据两点距离公式求出pq，得到点 p 到直线l的距离为d此方法虽思路自然，但运算较繁.下面我们探讨别一种方法方案二：设a0 ，b0 ，这时l与x轴、y轴都相交，过点p

17、 作x轴的平行线，交l于点),(01yxr；作y轴的平行线，交l于点),(20yxs，由0020011cbyaxcbyxa得bcaxyacbyx0201,. 所以， p10 xxacbyax00ps20yybcbyax00s abbapspr2222 cbyax00由三角形面积公式可知：d s p ps所以2200bacbyaxd可证明，当a=0 时仍适用得到：oxyldqsrp(x0,y0)精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 13 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - -

18、 - - - - - - - - 第 10 页，共 13 页 - - - - - - - - -点),(00yxp到直线0:cbyaxl的距离为：2200bacbyaxd例 5 解： d=223125330例 6 解：设 ab 边上的高为h，则sabc=12abh2231132 2ab，ab 边上的高h 就是点 c 到 ab 的距离。ab 边所在直线方程为31133 1yx即 x+y-4=0 。点 c 到 x+y-4=0 的距离为h h=21045211，因此， sabc=15225224.平行线间的距离公式推导过程：证明：设),(000yxp是直线02cbyax上任一点，则点p0到直线01c

19、byax的距离为22100bacbyaxd又0200cbyax即200cbyax，d2221bacc01032yx的距离 . 例 7 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 13 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 13 页 - - - - - - - - -解：因为1l2l又10,821cc. 由两平行线间的距离公式得133232)10(822d拓展提升1. d 2. a 3.d 4.a 5. a 6. b 7设 a(a

20、,0),b(0,b),( a,b0),则直线 l 的方程为：1byax，在直线又p(4,1)l 上，114ba，又821,16,42141absababba，等号当且仅当,2114ba2b8,a即时成立，直线l 的方程为： x+4y8=0, smin=8 8解：设q 关于 y 轴的对称点为1q，则1q的坐标为-2,0设 q 关于l的对称点为2,qm n，则2qq中点为 g2(,)22mn，g 在 l 上2422mn，又2,12nqqlm由得2(4,2)q由物理学知识可知，1q、2q在直线 ef 上，1213efq qkk直线 ef 方程为 :1(2)3yx，即320 xy9、解： (1) 当0k时,此时a点与d点重合 , 折痕所在的直线方程21y当0k时，将矩形折叠后a点落在线段dc上的点记为( ,1)g a，所以a与g关于折痕所在的直线对称，有1ogkk11kaak故g点坐标为)1 ,( kg，从而折痕所在的直线与og的交点坐标（线段og的中点）为)21,2(km折痕所在的直线方程)2(21kxky，即2122kykx精品学