高中数学 第四章 导数应用 2.2 最大值、最小值问题（一）课件 北师大版选修1-1

1、第四章2导数在实际问题中的应用2.2最大值、最小值问题(一)学习目标1.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系.2.会求某闭区间上函数的最值.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学思考1知识点函数的最大(小)值与导数观察a，b上函数yf(x)的图像，试找出它的极大值、极小值.极大值为f(x1)，f(x3)，极小值为f(x2)，f(x4).答案如图为yf(x)，xa，b的图像.思考2结合图像判断，函数yf(x)在区间a，b上是否存在最大值，最小值？若存在，分别为多少？存在，f(x)minf(a)，f(x)maxf(x3).答案函数yf(x)在a，b上的最大(小)值一定是某极值吗？不一

2、定，也可能是区间端点的函数值.答案思考3(1)函数的最大(小)值的存在性一般地，如果在区间a，b上函数yf(x)的图像是一条 的曲线，那么它必有最大值与最小值.(2)求函数yf(x)在闭区间a，b上的最值的步骤：求函数yf(x)在(a，b)内的 ；将函数yf(x)的 与 处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是 ，最小的一个是 .梳理梳理连续不断极值端点各极值最大值最小值题型探究命题角度命题角度1不含参数的函数求最值不含参数的函数求最值例例1求下列函数的最值：(1)f(x)2x312x，x2，3；类型一求函数的最值解答所以当x0时，f(x)有最小值0；当x2时，f(x)有最大值.解答

3、求解函数在固定区间上的最值，需注意以下几点(1)对函数进行准确求导，并检验f(x)0的根是否在给定区间内.(2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值.(3)比较极值与端点函数值大小，确定最值.反思与感悟跟踪训练跟踪训练1求函数f(x)ex(3x2)，x2，5的最值.解答f(x)3exexx2，f(x)3ex(exx22exx)ex(x22x3)ex(x3)(x1).在区间2，5上，f(x)ex(x3)(x1)0，求f(x)的最小值为2时m的值.类型二由函数的最值求参数所以当x(0，m)时，f(x)0，f(x)在(m，)上是增加的，所以当xm时，f(x)取得极小值，也是最小值，即极小值为2

4、.解答已知函数在某区间上的最值求参数的值(范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式)解决问题.其中注意分类讨论思想的应用.反思与感悟解答 f(x)x2x2a，当x(，x1)，(x2，)时，f(x)0，所以f(x)在(，x1)，(x2，)上是减少的，在(x1，x2)上是增加的.当0a2时，有x11x24，所以f(x)在1，4上的最大值为f(x2).例例4已知函数f(x)(x1)ln xx1.若xf(x)x2ax1恒成立，求a的取值范围.类型三与最值有关的恒成立问题而xf(x)x2ax1(x0)等价于ln xxa.当0 x

5、1时，g(x)0；当x1时，g(x)0，x1是g(x)的最大值点，g(x)g(1)1.解答“恒成立”问题向最值问题转化是一种常见的题型，对于不能分离参数的恒成立问题，直接求含参函数的最值即可.一般地，可采用分离参数法.f(x)恒成立f(x)max；f(x)恒成立f(x)min.反思与感悟跟踪训练跟踪训练4已知函数f(x)ax4ln xbx4c(x0)在x1处取得极值3c，其中a，b，c为常数.若对任意x0，不等式f(x)2c2恒成立，求c的取值范围.解答由题意，知f(1)3c.因此bc3c，从而b3.所以对f(x)求导，得由题意，知f(1)0，即a120，得a12.所以f(x)48x3ln x

6、(x0)，令f(x)0，得x1.当0 x1时，f(x)0，此时f(x)为减函数；当x1时，f(x)0，此时f(x)为增函数.所以f(x)在x1处取得极小值f(1)3c，并且此极小值也是最小值.所以要使f(x)2c2(x0)恒成立，只需3c2c2即可.整理，得2c2c30，当堂训练1.函数f(x)x24x7，在x3，5上的最大值和最小值分别是a.f(2)，f(3) b.f(3)，f(5)c.f(2)，f(5) d.f(5)，f(3)23451f(x)2x4，当x3，5时，f(x)0，故f(x)在3，5上是减少的，故f(x)的最大值和最小值分别是f(3)，f(5).答案解析234512.函数f(x

7、)x33x(|x|1)a.有最大值，但无最小值b.有最大值，也有最小值c.无最大值，但有最小值d.既无最大值，也无最小值 f(x)3x233(x1)(x1)，当x(1，1)时，f(x)0，又x(0，1)，0a0；当x(1，2)时，f(x)0.当x1时，f(x)取极大值f(1)58c.又f(3)98cf(1)，当x0，3时，f(x)的最大值为f(3)98c.对任意的x0，3，有f(x)c2恒成立，98cc2，即c9.故c的取值范围为(，1)(9，).234515.设函数f(x)2x39x212x8c，若对任意的x0，3，都有f(x)c2成立，则实数c的取值范围.解答1.求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处的函数值即可；若函数在一个开区