高中数学导数经典综合题

1、 1、已知函数).0(3ln)(?aaxxaxf （I）求函数)(xf的单调区间； （II）若函数 )(xfy?的图象在点（2，f（2）处的切线的倾斜角为45°，函数 2)(')(23mxfxxxg? ?在区间（1，3）上总是单调函数，求m的取值范围； （III）求证：*ln2ln3ln1(2,)23nnnNnn?L。 2已知函数2(),()2ln(xfxgxaxee?为自然对数的底数） （1）求()()()Fxfxgx?的单调区间，若()Fx有最值，请求出最值； （2）是否存在正常数a，使()()fxgx与的图象有且只有一个公共点，且在该公共点处有共同的切线？若存在，求出a

2、的值，以及公共点坐标和公切线方程；若不存在，请说明理由。 3设函数().xxfxee? （1）求证：()fx的导数'()2fx?；（2）若对任意0x?都有(),fxax?求a的取值范围。 4,已知函数(1)()ln.1axfxxx?（)Ra? （1）若函数()fx在定义域上为单调增函数，求a的取值范围； （2）设,:.lnln2mnmnmnmnmn?R且求证 5,已知f(x)xlnxax，g(x)x22， （）对一切x(0, +)，f(x)g(x)恒成立，求实数a的取值范围； （）当a1时，求函数f(x)在m，m3( m0)上的最值； （）证明：对一切x(0, +)，都有lnx1exe

3、x21?成立。 6.（1）若(0,)2x?，求证:sinxx?； （2）设2()cos1fxxkx?，若12k?，判断()fx在(0,)2?上的单调性； （3）求证:11111coscoscoscos(1,)2342nnNn?L. 1. 而函数234yxx?为(1,3)上递减函数，则 3723453xx?,则5m?或373m?. 注：也可以考虑而函数()gx在区间（1,3）上总是单调函数，则(3)0(1)0gg?或, 可以得出373m? ?或5m? 令,2) 1(,3ln)(,1?fxxxfa所以此时由（I）知，),1(3ln)( ?在xxxf上单调递,01ln),1()(),1(?xxfxf

4、x时当成立对一切),1(1ln?xxx， ,1ln0,1ln0,2*nnnnnnNnn?时有当).,2(113221ln33ln22ln*Nnnnnnnn? 2解：（1）3222()()()()(0)xaxeaFxfxgxxexex? 当0,()0aFx?时恒成立()(0,)Fx?在上是增函数，()FxF只有一个单调递增区间（0，-），没有最值 当0a?时，2()()(0)xeaxeaFxxex?， 若0xea?，则()0,()(0,)FxFxea?在上单调递减；若xea?，则()0,()(,)FxFxea?在上单调递增，xea?当时，()Fx有极小值，也是最小值，即min()()2lnlnF

5、xFeaaaeaaa? 所以当0a?时，()Fx的单调递减区间为(0,)ea,单调递增区间为(,)ea?，最小值为lnaa?，无最大值 （2）方法一，若()fx与()gx的图象有且只有一个公共点，则方程()()0fxgx?有且只有一解，所以函数()Fx有且只有一个零点由（1）的结论可知min()ln01Fxaaa?得 此时，2()()()2ln0xFxfxgxxe?,min()()0FxFe?()()1,()()fegefxgx?与的图象的唯一公共点坐标为(,1)e,又2()()fegee?Q,()()fxgx?与的图象在点(,1)e处有共同的切线， 其方程为21()yxee?，即21yxe?

6、.综上所述，存在a1?，使()()fxgx与的图象有且只有一个公共点(,1)e，且在该点处的公切线方程为21.yxe? 方法二：设()fx与g(x)图象的公共点坐标为00(,)xy，根据题意得0000()()()()fxgxfxgx?,即200002ln22xaxexaex? 由得20xae?，代入得021ln,2xxe?,从而1a?,此时由（1）可知min()()0FxFe? 0xxe?当且时，()0,()()Fxfxgx?即,因此除0xe?外，再没有其它0x，使00()()fxgx? 故存在1a?，使()()fxgx与的图象有且只有一个公共点，且在该公共点处有共同的切线，易求得公共点坐标为

7、(,1)e，公切线方程为21yxe? 3解：（1）()fx的导数()eexxfx?，由于ee2ee2x-xxx?g，故()2fx?， 当且仅当0x?时，等号成立；4分 （2）令()()gxfxax?，则()()eexxgxfxaa?， （）若2a?，当0x?时，()ee20xxgxaa?， 故()gx在(0)?，上为增函数， 所以，0x?时，()(0)0gxg?，即()fxax?8分 （）若2a?，解方程()0gx? 得，122244,22xxaaaaee?， 所以214ln2aax? ，222422lnlnln0224aaxaa?（舍去）， 此时，若1(0)xx?，则()0gx?，故()gx

8、在该区间为减函数， 所以，1(0)xx?，时，()(0)0gxg?，即()fxax?，与题设()fxax?相矛盾。 综上，满足条件的a的取值范围是?2?，。13分 4.解：（1 ）21(1)(1)()(1)axaxfxxx? ?2222(1)2(22)1.(1)(1)xaxxaxxxxx? ()fx的定义域是(0,)?，所以()0fx?在(0,)?上恒成立. 2(22)10(0,).xax?即在上恒成立 3分 21(0,),(22)10,22.111(),(0,).()22.1,1,()2.xxaxaxxgxxxgxxxxxxxxgxx?当时由得设所以当且仅当即时有最小值 2222.aa?所以

9、所以a的取值范围是(,2.? 6分 （2 ）,lnln2mnmnmn?要证不妨设mn?，（若mn?交换顺序即可） 11,2lnmmnnmn?只需证 即证2(1)ln.1mmnmnn? 只需证2(1)ln0.1mmnmnn? 9分 2(1)()ln.1xhxxx?设 由（1）知()(1,)hx?在 上是单调增函数，又1mn?，11分 2(1)()(1)0.ln0.1mmmnhhmnnn?所以即成立 所以.lnln2mnmnmn? 13分 5.（本小题满分13分） 解：（）对一切)()(),0(xgxfx?恒成立，即2ln2?xaxxx恒成立. 也就是?xxa lnx2在),0(?x恒成立.1分

10、令xxxxF2ln)(? ， 则F ?2222)1)(2(2211)(xxxxxxxxx?，2分 在)10(，上F?0)(?x，在上，)1(?上F?0)(?x，因此，)(xF在1?x处取极小值，也是最小值，即3)1()(min?FxF，所以3?a.4分 （）当时，1?axxxxf?ln)( ， f?2ln)(?xx，由f?0)(?x 得21ex?. 6分 当210em? 时，在上)1,2emx?上f?0)(?x ，在上3,1(2?mex上f?0)(?x 因此，)(xf 在21ex?处取得极小值，也是最小值 . 2min1)(exf? . 由于01)3)ln(3()3(,0)(?mmmfmf 因

11、此，1)3)ln(3()3()(max?mmmfxf 8分 当时21em?，0)('?xf，因此3,)(?mmxf在上单调递增，所以)1(ln)()(min?mmmfxf，1)3)ln(3()3()(max?mmmfxf 9分 （）证明：问题等价于证明),0(2ln?xeexxxxx,10分 由()知1?a时，xxxxf?ln)( 的最小值是21e? ，当且仅当21ex?时取得， 11分 设),0(2)(?xeexxGx，则G ?xexx?1)(，易知 eGxG1)1()(max?，当且仅当1x?时取到， 12分 但，ee112?从而可知对一切(0,)x? ，都有exexx211ln?成立. 13分 6（1）证明：设()singxxx? ，则()1cos0,(0,)2gxxx? 所以，()gx 在(0,)2?上是增函数，()(0)0gxg?，即sinxx? ，(0,)2x? （2 ）解：12k?Q，21k?，()sin2sin0fxxkxxx? ()fx? 在(0,)2?上是增函数 （3）由（2）可知，12k?时，()fx 在(0,)2?上是增函数， 21()cos1(0)02fxxxf? ，即21()cos1(0,)22fxxxx? 令1(1,)xkkNk?，可得 22222211212(1)(1)(1)cos1