2022年一个几何模型在中考题中及变式拓展

1、一个几何模型在中考题中的变式拓展1 一个几何模型及其变式11 基本模型已知，点 m、n在直线 ab的异侧，在 ab找一点 p，使p点到点 m、n的距离和最小.对于这样一个问题，我们只要连接m、n交直线 ab于点p（图1） ，则点p就是要所求作的点该问题的本质是，已知两个定点和一条定直线， 并且两定点在定直线的异侧，那么，在定直线上必存在一点，到两定点的距离和最小. 我们把该问题称为本文要讨论的“基本模型” .12 变式模型已知，点 m、n在直线 ab的同侧，在 ab找一点 p，使p点到点 m、n的距离和最小.对于这样一个问题，我们只要将m、n在ab的同侧转化成在 ab的异侧即可 .因此，可找出

2、 m、n中的某一点关于直线 ab的对称点，连接对称点与另一点交直线ab于点p（图2） ，则点 p就是要所求作的点 .该问题的本质是，已知两个定点和一条定直线， 并且两定点在定直线的同侧，那么，在定直线上必存在一点，到两定点的距离和最小. 我们把该问题称为本文要讨论的“变式模型” .解决“基本模型”和“变式模型”的思想方法，就是将线段pm，pn首尾相连在同一条直线上，根据“两点间线段最短”可得到问题的答案.2 基本模型的拓展* 原载于中学数学 （初中）（湖北大学，湖北省数学会），20xx 年第 6 期。nmbap图1npmm ba图2精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - -

3、 - - - - - - 第 1 页，共 7 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 7 页 - - - - - - - - -例1 （09年佛山市中考题 ）如图3，一个长方体形的木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙），有一只蚂蚁从柜角a处沿着木柜表面爬到柜角1c 处（1）请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；（2）当1445abbccc，时，求蚂蚁爬过的最短路径的长；（3）求点1b 到最短路径的距离分析本题将“基本模型”拓展到空间图形中了，因此，只要将空间图形化为平面图形即可（1）如图

4、 4，木柜的可见表面展开图是两个矩形11abc d 和11acc a 蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图的11ac 和1ac （2）蚂蚁沿着木柜表面经线段11ab 到1c ，爬过的路径的长2214(45)97l蚂蚁沿着木柜表面经线段1bb 到1c ，爬过的路径的长是222(44)589l12ll ，最短路径的长是289l（3）作11b eac 于e，则1111b cb eac1489aa2058989为所求点评本题的的背景有趣， 模型简单 但是，解决问题要建立在有一定空间想像力基础上， 并且还要有根据空间图形画出平面图形的能力，辅之于必要的算法算理，方能达到目的 .3变式模型的拓展与延伸图

5、 3 c a e a1 b1 c1 d1 1cb 图 4 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 7 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 7 页 - - - - - - - - -31变式模型的迁移例 2 （09 年抚顺中考题） 如图 5 所示，正方形abcd的面积为 12，abe是等边三角形，点e在正方形abcd内，在对角线ac上有一点p，使pdpe的和最小，则这个最小值为（）a 2 3b 2 6c3 d6分析：由于点d、e

6、是定点，ac是定直线，根据题意，它是“拓展模型”.而点d关于直线ac的对称点为b点，故be的长度即为pdpe的最小值 .解选 a 点评本题将“变式模型”的背景，迁移到特殊的四边形正方形中，虽然问题的背景有了变化， 但是问题的条件和本质没有发生变化，所以解决该问题没有较大的难度 . 而解决该问题需要在寻找哪个点的对称点上作选择，由于d 关于 ac的对称点易得（为点b） ，故在此问题上要积累一些学习经验.例 3 （05 年无锡中考题）如图 6，已知矩形 abcd 的边长 ab=2，bc=3，点 p 是 ad 边上的一动点（ p 异于 a、d） ，q 是 bc 边上的任意一点 . 连 aq、dq，过

7、 p 作 pedq 交 aq 于 e，作 pfaq 交 dq 于 f.（1）求证： apeadq；（2）设 ap 的长为 x，试求 pef 的面积 spef关于 x 的函数关系式，并求当 p 在何处时， spef取得最大值？最大值为多少？（3）当 q 在何处时， adq 的周长最小？（须给出确定q 在何处的过程或方法，不必给出证明）分析（1）可用相似三角形的判定知识解决； （2）可用二次函数的相关知识获得问题的解 . 它们都不在本文的探讨之列.（3）要确定 adq 周长最小，就是要确定aqdq ad 的和最小 . 由于ad=3，则要 aqdq 最小即可 . 因此，可用“变式模型”可解决. 则作

8、 a 关于直线 bc 对称点 a，连 da交 bc 于 q，则这个点 q 就是使 adq 周长最小的点，此时 q 是 bc 的中点 .点评本题将“变式模型”的背景，迁移到特殊的四边形矩形中，问题的结构有了些变化，那就是要知道 adq 的周长最小，取决于 aqdq 的最小值 . 但是a d e p b c 图 5 pqgfedba图5图 6 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 7 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 7 页

9、- - - - - - - - -问题的条件和本质也没有发生变化， 所以解决该问题对于绝大部分学生也没有多大的难度 . 需要指出的是，解决该问题有一个将三角形的最小周长转化为确定两线段的和最小值的“模式识别”的问题，这一点也要内化为学习经验.例 4 （08 年咸宁市中考题 ）如图，已知两点d(1,- 3)、e(-1,- 4)，试在直线 l 上确定一点 q，使点 q 到 d、e 两点的距离之和最小，并求出q 点坐标分析显然，该问题是本文中的“变式模型”迁移到直角坐标中我们可用对称、一次函数等相关知识获得问题的解.32 变式模型的拓展例 5 （09 年山东济南中考题）已知：如图 8， 抛物线20y

10、axbxc a的对称轴为1x，与 x 轴交于ab，两点，与y轴交于点c，其中3 0a， 、02c，（1）求这条抛物线的函数表达式；（2）已知在对称轴上存在一点p，使得pbc的周长最小请求出点p 的坐标；（3）若点d是线段oc上的一个动点（不与点o、点 c 重合） 过点 d 作depc交 x轴于点e连接pd、pe设cd的长为 m ，pde的面积为s求s与 m之间的函数关系式试说明s是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由分析显然，本题的第2 问是本文所要讨论的问题对于（2） ，连结ac、bc.因为bc的长度一定，所以pbc周长最小，就是使pcpb最小.b点关于对称轴的对称点是a

11、点，ac与对称轴1x的交点即为所求的点p.设直线ac的表达式为ykxb123456-1-2-3-4-5-6-1-2-3-4-5-61234567oxylabadec(第 22题图）图图oacxybepd精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 7 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 7 页 - - - - - - - - -解得232kb此直线的表达式为223yx把1x代入得43yp点的坐标为413，.点评命题者将“变式模型”的

12、视角拓展至二次函数，将问题的背景作了调整，给人以新的感觉 . 本题既有例 2 在对称点选择的技巧，又有例3 在“变式模型”上的识别，可算是一道“好题”.例 6 （09 漳州中考题）如图 9，45aob，p是aob内一点，10po，q、r 分别是oaob、上的动点，求pqr周长的最小值分析本题从形式上看，既不是“基本模型” ，也不是“变式模型” . 但是，我们可以运用解决“基本模型”和“变式模型”的思想方法，把线段pr、rq、qp首尾相连在同一条直线上，可得到问题的答案.具体方法作点 p关于 ob和oa的对称点 s、t，连接os、ot、st，st分别交 ob、oa于点r、q（如图 10所示） ，

13、则pqr周长的最小值就是线段 st的长， 由轴对称的性质结合题意可知， sot为等腰直角三角形，且 ot=10，则st的长可求 .点评解决本题目的方法是运用“变式模型”，通过轴对称变换，将三条线段首尾相连在一条直线上，再根据“两点间线段最短”这一性质，达到解题的目的.33 变式模型的应用例7 （09恩施州中考题） 恩施州自然风光无限，特别是以“ 雄、奇、秀、幽、险” 著称于世著名的恩施大峡谷（a）和世界级自然保护区星斗山（b）位于笔直的沪渝高速公路 x同侧，ab=50km，a、b到直线 x的距离分别为 10km和40km，要在沪渝高速公路旁修建一服务区p，向a、b两景区运送游客 . 小民设计了

14、两种方案，图 11是方案一的示意图 (ap与直线 x垂直，垂足为 p)，p到a、b的距离之和s1=pa+pb；图12是方案二的示意图 (点a关于直线 x的对称点是 a，连接 ba交直线x于点p)，p到a、b的距离之和 s2=pa+pb .(1) 求s1、s2，并比较它们的大小 .图10-1rqpoba图 9 图10-2tsabopqr图 10精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 7 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 7 页

15、 - - - - - - - - -(2) 请你说明 s2=pa+pb的值为最小 .(3) 拟建的恩施到张家界高速公路y与沪渝高速公路垂直，建立如图13所示的直角坐标系， b到直线 y的距离为 30km，请你在 x旁和y旁各修建一服务区 p、q,使p、a、b、q 组成的四边形的周长最小 . 并求出这个最小值 .分析本题给出了两种设计方案，只要按照方案去求解即可. 第（3）问中，由于 ab的长度为 50 km，故只要求出 bqqpp a的最小值即可，解决它，可从例 3、例5、例6中得到启发 . 因此有：解 在图11中， 过b作bcap的延长线，垂足为 c，如图14 则pc=40，又ap=10，a

16、c=30.在rtabc 中，ab=50 ac=30 bc=40 bp=2240 2cpbcs1=40 210 .在图12中，过 b作bcaa垂足为 c，如图 15 则ac=50，又bc=40 ba=22405010 41.由轴对称知： pa=p a s2=ba=10 41 . 1s2s.(2) 在图12中，在公路上任找一点 m，连接ma，mb、ma，如图 16. 由轴对称知 ma=mamb+ma =mb+ma ab s2=ba为最小.（3） 过a作关于 x轴的对称点 a, 过b作关于 y轴的对称点 b，连接 ab，交 x轴于点 p，交y轴于点q,则p，q即为所求（如图 17）. 过a、b分别作

17、 x轴、 y轴的平行线交于点g,ab=221005050 5 .所求四边形的周长为5050 5 .图11（1）bapx图11 pab图11（3）xyqo图 13 bapxa图11（5）c图15 apabm图11（6）图 16 xyaa bpqbo图11（7）图 17 bapxa 图11（2）图12pcab图11（4）图14精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 7 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 7 页 - - - - -

18、 - - - -点评对实际问题的求解， 关键是将实际问题数学化. 数学化的一般过程为：. 34 变式模型与其它模型的关联例8 （09 山西省中考题） 如图18， 在锐角 abc中，ab 4 2 ， bac45， bac的角平线交 bc于点d，m、n分别是 ad和bc上的动点，则 bmmn的最小值是 _ .分析本题形似本文中的“变式模型” ，但实为另类问题。因为点m、n 是动点，点 b 是定点，它不符合“变式模型”的基本条件。本题提供的条件有：定点b；定角 bac45（可以理解成定线段ac） ；则可联想到“点到线的最小距离”的几何模型 .不过，我们可以从本文中的几何模型中得到启发：求bmmn 的最小值，从几何学的角度，就是要将线段bm、mn 转化到一条线段上，而角平分线的性质定理为之提供了保证 .因此，我们可以从 b 作 beac，垂为 e，交 ad 于 m，再作于（如图 19） ，则 be 的长即为所求 . 点评模型识别是解数学题的关键之一，因此，在研究任何一个数学命题时，首先要把握准数学问题的本质所在，在数学模型上做准做好文章. 综上所述