高等数学常用概念及公式

1、实用文档 文案大全 高等数学常用概念及公式 ? 极限的概念 当x无限增大（x）或x无限的趋近于x0（xx0）时，函数f(x)无限的趋近于常数A，则称函数f(x)当x或xx0时，以常数A为极限，记作： lim?xf(x)=A 或 lim0xx?f(x)=A ? 导数的概念 设函数y=f(x)在点x0某邻域内有定义，对自变量的增量xx- x0，函数有增量y=f(x)-f(x0) ，如果增量比xy?当x0时有极限，则称函数f(x)在点x0可导，并把该极限值叫函数y=f(x)在点x0的导数，记为f'(x0)，即 f'(x0)lim0? xxy?=lim0xx ?00)()(xxxfxf

2、? 也可以记为y'=|x=x0 ，dxdy|x=x0 或dxxdf)(|x=x0 ? 函数的微分概念 设函数y=f（x）在某区间内有定义，x及x+x都在此区间内，如果函数的增量 y=f（x+x）-f(x)可表示成 y=Ax+x 其中A是常数或只是x的函数，而与x无关，当x0时是无穷小量( 即x这一项是个比x更高阶的无穷小)，那么称函数y=f（x）在点x可微，而Ax叫函数y=f（x）在点x的微分。记作dy，即： dy=Ax=f'(x)dx 实用文档 文案大全 ? 不定积分的概念 原函数：设f(x)是定义在某个区间上的已知函数，如果存在一个函数F(x)，对于该区间上每一点都满足 F

3、'(x)= f(x) 或 d F(x)= f(x)dx 则称函数F(x)是已知函数f(x)在该区间上的一个原函数。 不定积分：设F(x)是函数f(x)的任意一个原函数，则所有原函数F(x)+c（c为任意常数）叫做函数f(x)的不定积分，记作 ?dxxf)( 求已知函数的原函数的方法，叫不定积分法，简称积分法。 其中“?”是不定积分的记号；f(x)称为被积函数；f(x)dx称为被积表达式；x称为积分变量；c为任意实数，称为积分常数。 ? 定积分的概念 设函数f(x)在闭区间a，b上连续，用分点 a=x0<x1<x2<<xi-1<xi<<xn-1&

4、lt;xn=b，把区间a，b任意分成n个小区间xi-1，xi（i=1,2, ,n）每个小区间的长度为xi= xi- xi-1（i=1,2, ,n），在每个小区间xi-1，xi上任取一点i，作和式 In=?niiixf1)(? 当分点无限增加(n)且所有小区间长度中的最大值=maxxi0时，和式In的极限，叫做函数f(x)在区间a，b上的定积分，记作?badxxf)(，即 ?badxxf)(=?niiinxf1)0()(lim? 实用文档 文案大全 其中f(x)称为被积函数，b和a分别称为定积分的上限和下限，区间a，b叫积分区间，x为积分变量。 ? 极限的性质及运算法则 无穷小的概念：若函数f(

5、x)当xx0(或x)时的极限为零，则称f(x)当xx0(或x)时为无穷小量，简称无穷小。须要注意的是，无穷小是变量，不能与一个很小的数混为一谈。 无穷小的性质：性质1：有限个无穷小的代数和也是无穷小。性质2：有界函数与无穷小的乘积也是无穷小。推论1：常数与无穷小的乘积也是无穷小。推论2：有限个无穷小的乘积也是无穷小。 无穷大的概念：若当xx0(或x)时，函数f(x)的绝对值无限增大，则称函数f(x)当xx0(或x)时为无穷大量，简称无穷大。注意无穷大是变量，不能与一个绝对值很大的数混为一谈；另外，一个变量是无穷大，也不能脱离开自变量的变化过程。 无穷大与无穷小的关系：定理：在同一变化过程中，若

6、f(x)为无穷大，则)(1xf为无穷小；反之，若f(x)为无穷小，且f(x)0，则)(1xf就为无穷大。 极限运算法则： 法则1：limf(x)±g(x)=lim f(x)±lim g(x)=A+B 法则2：limf(x)·g(x)= lim f(x)·lim g(x)=A·B 特别的：lim cf(x)=c·lim f(x)=c·A (c为常数) 法则3：lim)()(xgxf=)(lim)(limxgxf=BA （其中B0） 实用文档 文案大全 注意用法则3求极限时：如果分子、分母均为无穷大，可先将其变成无穷小；如果均为

7、无穷小，就用约分及分子分母有理化来解；以上情况均可用导数的应用中的罗必塔法则求解。 两个重要极限：重要极限1 ：xxxsinlim0?=1 = ()sin()lim0()?=1 重要极限2：lim?x (1+x1)x=e = lim()? (1+()1)（）=e或lim0() ?（）（）1)1(=e 等价无穷小(x0)：在求极限过程中经常使用等价无穷小互相代替 sinxx；tanxx；arcsinxx；arctanxx；ln(1)x?x；1xe?x； 1cosx ?212x；11x?12x；1xa?lnxa. ? 导数的性质、求导法则及常用求导公式 连续的概念：若函数f(x)在x0的某邻域内有

8、定义，当xx0时，函数的极限存在，且极限值等于函数在x0处的函数值f(x0)即lim0x?xf(x)=f(x0)则称函数在x0处是连续的。 连续与可导的关系：定理：若函数f(x)在点x0处可导，则函数在点x0处连续。(连续是可导的必要条件，其逆命题不成立，即函数在某一点连续，但在该点不一定可导) 导数的计算步骤(按定义计算)： 第一步 求增量，在x处给自变量增量x，计算函数增量y，即 y=f(x+x)-f(x)； 第二步 算比值，写出并化简比式：xy=xxxf)(f-)x(；(化简比式的关键是使分式中仅分母或分子中含有x项，避免出现00或?) 实用文档 文案大全 第三步 取极限，计算极限lim

9、0? xxy=f'(x) 常用基本初等函数的导数公式： ?/x?1x?； ?/xa?lnxaa； ?/xe?xe； ?/logax ?1lnxa； ?/lnx ?1x； ?/sinx?cosx； ?/cosx?sinx?； ?/tanx?2secx； ?/cotx?2cscx?； ?/secx?sectanxx； ?/cscx?csccotxx?； ?/arcsinx ?211x?； ?/arccosx?211x?； ?/arctanx?211x?； ?/arccotx ?211x? 导数的四则运算法则：设u=u(x)，v=v(x)，则 （u±v）'= u'

10、±v'； （cu）'=cu'； （uv）'=u'v+uv'； （vu）' =2''vuvvu?. 反函数的导数：y=f(x)是x=(y)的反函数，则 y'='1x，即f'(x)=)(1y 复合函数求导法则:设y=f(u),u=(x),则复合函数y=f(x)的导数为 dxdy=dudydxdu或y'x=f'u·'x 隐函数求导方法：隐函数的概念 针对因变量y写成自变量x的明显表达式的函数y=f(x)，这种函数叫显函数；而两个变量x和y的对应关系是由一个方程F

11、(x,y)=0所确定，函数关系隐含在这个方程中，这种函数称为由方程所确定的隐函数。 求隐函数的导数，并不需要先化为显函数（事实上也很难都显化），只需把y看成中间变量y=y(x)，利用复合函数求导法则，即可实用文档 文案大全 求出隐函数y对x的导数。例：求方程x2+y2=1所确定的函数的导数。解 在方程的两端对x求导，并将y2看作x的复合函数，则 (x2+y2)'=(1)' 即2x+2yy'=0，y y'=-x 得y' = -yx 参数方程所表示函数的导数：如下方程组，其中t为参数 x=(t) y=(t) 设函数(t)和(t)都可导，且函数(t)存在连续反

12、函数t=-1(t)，当-1(t)0时，这个反函数也可导；这时y是x的复合函数 y=-1(t)=f(x) 它可导，由复合函数求导法则知 y'x=dxdy =dt dydxdt =dtdxdtdy =)(')('xx 罗必塔法则：当xx0(或x)时，函数f(x)，g(x)同时趋向于零或 同时趋向于无穷大，这时分式)()(xgxf的极限可能存在，也可能不存在。我们称其为未定式，并记作00型或?，这类极限将无法用“商的极限等于极限的商”这一极限法则求出。 未定式00(罗必塔法则一)：lim0xx ?)()(xgxf=lim0xx ?)(')('xgxf=A(或无

13、穷大)。 若其中x时，结论仍然成立。使用罗必塔法则时，分子分母分别求导之后，应该整理化简，如果化简后的分式还是未定式，可以继续使用这个法则。 实用文档 文案大全 未定式?(罗必塔法则二)：lim0xx ?)()(xgxf=lim0xx ?)(')('xgxf=A(或无穷大)。 若其中x时，结论也成立。 未定式0·型及-型： 这两类未定式可转化为00 型或?型。 未定式00,0,1型：该类未定式可以通过对数转化为前面的未定式。 ? 微分的运算及法则 由微分的的概念dy=f'(x)dx可知，求一个函数的微分，只要求出导数f'(x)再乘以dx就得到微分dy，

14、因此不难由导数公式做出相应的微分公式。例，对于y=sinx，有y'=cosx，从而dy=cosxdx。 微分的法则：设u=u(x)，v=v(x)，则 d(cu)=cdu； d(u±v)=du±dv； d(uv)=udv+vdu； d(vu )=2vudvvdu? ? 不定积分的性质、基本公式及计算方法 由不定积分定义及微分知识，可直接推出不定积分的性质： 性质一：?dxxf)('=f(x)或d?dxxf)(=f(x)dx； 性质二：?dxxF)('=F(x)+c； 性质三：?dxxkf)(=k?dxxf)(k是不为0的常数)； 性质四：?dxxgxf

15、)()(=?dxxf)(±?dxxg)(。 不定积分的基本公式(均应加上常数C)： ?dx0=c； kdx?kx； xdx? ?11x?； dxx?lnx； xedx?xe； xadx? ?lnxaa； 实用文档 文案大全 cosxdx?sinx sinxdx?cosx?； tanxdx? ?lncosx?； cotxdx? ?lnsinx； secxdx?lnsectanxx?； cscxdx?lncsccotxx? 2secxdx?tanx； 2ccsxdx?cotx?； sectanxxdx?secx； csccotxxdx?cscx?； 21dxx?arctanx； 21dx

16、x?arcsinx； 221dxxa?1arctanxaa； 221dxxa?1ln2xaaxa?； 221dxxa?22lnxxa?； 221dxax?arcsinxa。 第一换元积分法：设函数u=(x)，且f(u)有原函数F(u)， du='(x)dx (即dx= du/'(x) =参见微分概念及计算 ?dxxxf)(')(=?duuf)(=F(u)+c= F(x)+c 注意：该公式有一个隐含的条件，即要求原积分公式中已含有'(x)，方可在换元时代入dx= du/'(x)并约去'(x)。 提示：该积分法的步骤是先找出适当的u=(x)，将函数转

17、化为关于u的积分公式，再求出关于u原函数，最后根据u与x的关系代入x。 第二换元积分法：设函数x=(t)单调可微且'(t)0， dx='(t)dt =参见微分概念及计算 ?dxxf)(=?dtttf)(')(=F(t)+c=F-1(x)+c 提示：该积分法的步骤是先找出适当的x=(t)，将函数转化为关于t的积分公式，再求出关于t原函数，最后根据x与t的关系代入x。 分部积分法：设函数u=u(x)，v=v(x)具有连续导数，则 实用文档 文案大全 ?dxuv'=uv-?dxvu' =解题时这个为u不行就换那个为u 提示：运用此公式有时可以使难求的不定积分?

18、dxuv'转化为易求的不定积分?dxvu'，从而得所求结果。 ? 定积分的性质及计算方法： 性质一：?badxxkf)(=k?badxxf)( （k为常数）； 性质二：?badx=b-a； 性质三：?badxxgxf)()(=?badxxf)(±?badxxg)(； 性质四：若把区间a，b分为两个区间a，c与c，b，则 ?badxxf)(=?cadxxf)(+?bcdxxf)( 注意：c有任意性，可在a，b之外； 性质五：若f(x)与g(x)在a,b上有f(x)g(x)，则 ?badxxf)(?badxxg)(； 性质六：若M，m分别是f(x)在a，b上的最大值和最小值，则 m(b-a) ?badxxf)(M(b-a) =估值定理 性质七：若f(x)在a，b上连续，则至少有一点(a,b)，使得 ?badxxf)(=f()(b-a) =定积分中值定理，求平均值。 牛顿莱布尼兹公式：若f(x)在a，b上连续，F(x)是f(x)的一个原函数，则 ?badxxf)(=F(x)ba=F(b)-F(a) 可见，计算定积分，先用不定积分的方法求出一个原函数，然后把上、下限a，b代入原函数作减法运算。 换元积分法：设函数x=(