37换元法与分部积分法

1、第第三节三节 定积分的换元定积分的换元法和分部积分法法和分部积分法1.1. 换元公式换元公式2.2. 分部积分公式分部积分公式3.3. 小结小结1/24根据根据微积分基本公式微积分基本公式定积分法，定积分法，不定积分法不定积分法且使用方法与相应的不定积分法类似。且使用方法与相应的不定积分法类似。2/25一、换元公式一、换元公式, 1 ,bacf ）设（设（ dxxxf)()( )1(则则有有, 2 ,1 c ）（. ,) , ( , 3ba 上单调且上单调且在在）（ )()( xdxf )()()()( duufxu baduuf )(或或 abduuf ; )( batxdxxf)( )(

2、)2( )()(11 )()(batdtf 或或 )()(dtttf . )()(dtttf定理定理3/25证证设设)(xf是是)(xf的的一一个个原原函函数数，);()()( afbfdxxfba 则则),()( tft 令令dtdxdxdft )( 则则)()(txf ),()(ttf )()()()( dtttf)(t 是是)()(ttf 的的一一个个原原函函数数. )()( ff )()(afbf badxxf)(或或)()(bfaf abdxxf.)(证证毕毕4/25注意注意:（2）不引入新的变量记号，积分限不变；引入新的不引入新的变量记号，积分限不变；引入新的变量记号，积分限跟着变

3、变量记号，积分限跟着变。例例1 1 205sincos xdxxxu cos 1066u .61 015duu 205sincos xdxx或或为为积积分分变变量量以以xcos 205coscos xxd206|cos61 x .61 （1）换元前后换元前后，上限对上限上限对上限、下限对下限下限对下限；5/25例例2 2 053sinsindxxx 023sincosdxxx变变形形去去绝绝对对值值 223sincosdxxx 2023sinsin xdx凑分凑分 223sinsinxdx 2025sin52 x 225sin52x.54 2023sincos dxxx6/25例例3 3 43

4、)ln1(lneexxxdx凑凑分分 43)ln1(ln)(lneexxxd 432)ln(1ln2eexxd 43)lnarcsin(2eex .6 43)ln1(ln)(lneexxxd7/25例例4 4 aadxxax022)0(1去根式去根式0, ,sin2 ttax 20cossincosdtttt 20cossin)sin(cos)cos(sin21 dttttttt 20cossinln21221 tt.4 2022)sin1(sincos dttatata 20cossinsincos121dttttt8/25例例 5 5 证证明明：设设)(xf在在,aa 上上连连续续， 若若

5、)(xf为为偶偶函函数数，则则 aaadxxfdxxf0)(2)(； 若若)(xf为为奇奇函函数数，则则 aadxxf0)(. 证证,)()()(00 aaaadxxfdxxfdxxf 0)(atxdttf adxxf0)( adxxf0)( adxxf0)( adxxfxf0)()( 为为偶偶函函数数；)( ,)(20 xfdxxfa 为为奇奇函函数数。)( , 0 xf证证毕毕。9/25奇函数奇函数例例6 6 计算计算解解.11cos21122 dxxxxx原式原式 1122112dxxx 11211cosdxxxx偶函数偶函数 1022114dxxx 10222)1(1)11(4dxxx

6、x 102)11(4dxx 102144dxx.4 单位圆的面积单位圆的面积10/25例例 7 7 若若)(xf在在1 ,0上上连连续续，证证明明 （1） 2200)(cos)(sindxxfdxxf; （2） 00)(sin2)(sindxxfdxxxf. 由由此此计计算算 02cos1sindxxxx. 证证（1） 20)(sindxxf 0222sin dttftx 20)(cosdttf;)(cos20 dxxf11/25（2） 0)(sindxxxftx 0)(sin)(dttft 0)sin()( dttft 0)(sindttf 0)(sindtttf.)(sin2)(sin00

7、 dxxfdxxxf 02cos1sindxxxx 02cos1sin2dxxx 02)(coscos112xdx 0)arctan(cos2x.42 12/25* *例例8 8 计算计算解解.tan11202002 dxxixui 2 )(cot11022002 duu 202002cot11 duu 202002tan/111 dxx 2020022002tan1tan dxxx 2020022002tan11)1(tan dxxx.4 ii 2 13/250 ( ),( )( )a ttaf xtaf x dxf x dx 例例 证证明明若若是是一一个个以以 为为周周期期的的连连续续函函

8、数数 则则对对任任意意的的实实数数有有222222002sin2sin4sinxdxxdxxdx 00( )( )()nttf x dxnf x dxn 为为正正整整数数推论：推论：,利利用用定定积积分分的的换换元元法法 可可以以证证明明：1. ;连续的奇函数原函数必为连续的奇函数原函数必为偶函数偶函数2. ;连续的偶函数原函数仅有连续的偶函数原函数仅有一个为奇函数一个为奇函数 ;dxxc 但周期函数原函数不一定是但周期函数原函数不一定是周期函数 如 非周期周期函数 如 非周期，、设设 ,1)()( bacxvxu 二、分部积分公式二、分部积分公式则则 badxxvxu )()(微微积积分分基

9、基本本公公式式badxxvxu )()(不不定定积积分分的的分分部部积积分分法法 badxxvxuxvxu )()()()( baba dxxvxuxvxu )()( )()(微积分基本公式微积分基本公式 babadxxvxuxvxu. )()( )()(得得分部积分公式分部积分公式，、设设 ,1)()( bacxvxu 则则 badxxvxu )()( baxvxu)()( badxxvxu . )()(14/25 定积分的分部积分公式的用法与不定积分的分部定积分的分部积分公式的用法与不定积分的分部积分公式的用法类似积分公式的用法类似。例例9 9 计算计算.arcsin210 xdx解解 2

10、10arcsin xdx 210arcsin xx 21021xxdx621 12 为积分变量为积分变量换元：以换元：以x)1(112120221xdx 12 21021x . 12312 消反三角函数，可用分部积分法。消反三角函数，可用分部积分法。15/25另解另解 210arcsinxdx 60sin tt分分部部积积分分 60sin tdt216 60cos t . 12312 60sinarcsinsin tdttxxt则则换换元元：例例9 9 计算计算.arcsin210 xdx16/25例例1010 402cos1 xxdx半半角角公公式式 xdxtan240 分分部部积积分分 4

11、0tan21 xxxdxtan2140 40secln218 x.42ln8 402cos2 xxdx17/25例例1111 102)2()1ln(dxxx 1021)1ln(xdx102)1ln( xx 10)1ln(21xdx32ln dxxx 101121xx 2111 10)2ln()1ln(32lnxx . 3ln2ln35 18/25例例1212 求求 2 0 2.cos xdxex 2 0 2cos xdxex 2 0 2sin xdex202 sin xex 2 0 2sin xxde 2 0 2sin2 xdxeex 2 0 2cos2 xdeex 22 0 202)cos

12、cos(2 xxxdexee 2 0 2cos42 xdxeex).2(51cos202 exdxex解解19/25例例1313 求求及及 sin20 xdxinn解解 20 sin dxxn 20cos xdxinntx 2 02cos dttn 20cos tdtn.nnii ，又又2 0 i; 1 1 i分分部部积积分分 ni xxdnoscsin201 220101sincos cossin xxdxxnn时时 2 n020/25 2022cossin)1( xdxxnnnnninini)1()1(2 21 nninni得递推公式得递推公式 )( nnii为为偶偶数数；nnn ,2!

13、!)!1( 为为奇奇数数。nnn ,! !)!1( )231(4 ninnnnx2sin1 21/25* *例例1414 设设 求求解解 21,sin)(xdtttxf.)(10 dxxxf因为因为ttsin没有初等形式的原函数（没有初等形式的原函数（积分正弦积分正弦)， 无法直接求出无法直接求出)(xf，所以采用分部积分法，所以采用分部积分法 10)(dxxxf 102)()(21xdxf 1 0 2)(21xfx 102)(21xdfx)1(21f 102)(21dxxfx 1 0 222 2sin 21dxxxxx 1022)(sin21xdx 102cos21x ).11(cos21 102sin221dxxx22/25三、小结三、小结1、使用定积分的换元法时要注意积分限的对、使用定积分的换元法时要注意积分限的对应。应。3、定积分分部积分公式的用法与不定积分分、定积分分部积分公式的用法与不定积分分部积分公式的用法类似。部积分公式的用法类似。2、不引入新的变量记号，积分限不变；引入新的变量记号，积分限跟着变。23/25*思考题思考题指出求指出求 2221xxdx的解法中的错误，并写出正确的解的解法中的错误，并写出正确的解法法. 解解 令令,sectx ,4332: t,sectantdttdx 2221xxdxtdtttttansectansec14332