2022年一元二次方程知识点总结练习

1、学习必备欢迎下载一元二次方程的解法【知识点归纳与总结】一、概念：一元二次方程的一般形式为：ax2+bx+c=0, (a0)，它是只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2 的整式方程。二、基本思路与方法: 解一元二次方程的基本思想方法是通过“ 降次 ” 将它化为两个一元一次方程。一元二次方程有四种解法：1、直接开平方法；2、配方法； 3、公式法； 4、因式分解法。1 用直接开平方法解形如(x-m)2=n (n 0) 的方程，其解为x=m. 例 1解方程（ 1）75(3x+1)2=7（2）9x2-24x+16=11 2配方法：用配方法解方程ax2+bx+c=0 (a 0) 先将常数c 移到方程右边

2、：ax2+bx=-c 将二次项系数化为1：x2+bax=-ca方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x2+bax+(b2a)2=-ca+(b2a)2方程左边成为一个完全平方式：(x+)2=当 b2-4ac0 时， x+= x=(这就是求根公式) 例 2用配方法解方程3x2-4x-2=0 3公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式=b2-4ac 的值，当 b2-4ac0 时，把各项系数a, b, c的值代入求根公式x=(b2-4ac 0) 就可得到方程的根。例 3用公式法解方程2x2-8x=-5 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - -

3、第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载4因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。例 4用因式分解法解下列方程：(1) (x+3)(x-6)=-8(2) 2x2+3x=0 (3) 6x2+5x-50=0(4)x2-2(+)x+4=0 小

4、结：一般解一元二次方程，最常用的方法还是因式分解法，在应用因式分解法时，一般要先将方程写成一般形式，同时应使二次项系数化为正数。直接开平方法是最基本的方法。公式法和配方法是最重要的方法。公式法适用于任何一元二次方程（有人称之为万能法），在使用公式法时，一定要把原方程化成一般形式，以便确定系数，而且在用公式前应先计算判别式的值，以便判断方程是否有解。配方法是推导公式的工具，掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以一般不用配方法解一元二次方程。但是，配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用，是初中要求掌握的三种重要的数学方法之一，一定要掌握好。（三种重要的数学方法：换元法，配方法，待定系

5、数法）。例 5用适当的方法解下列方程。（1）4(x+2)2-9(x-3)2=0 （2）x2-5x+6=0 （3）2x2-3x=4 （4）4x2-x+6=0 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载分析：（ 1）首先应观察题目有无特点，不要盲目地先做乘法运算。观察后发现，方程左边可用平方差公式分解因式，化成两个一次因式的乘积。（2）

6、可用十字相乘法将方程左边因式分解。（3）化成一般形式后利用公式法解。（4）利用公式法解。一元二次方程根的判别式一、知识要点：1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a 0)的根的判别式 =b2-4ac。0时，方程有两个不相等的实数根。=0时，方程有两个相等的实数根。0时，方程没有实数根。判断 2x2+x+4=0 ，4x2+3x-5=0 ，x2+5x+2=0 ，2x2+x+3=5 有没有实数根。以上定理也可以逆向应用。在应用判别式之前，要把方程化为一般形式，以便正确找出a、b、c 的值。注意：（ 1）根的判别式是指=b2-4ac，不是 =，（ 2）使用判别式之前一定要先把方程变为一元二次方程的一般

7、形式。2.根的判别式有以下应用：不解一元二次方程，判断根的情况。根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围。证明字母系数方程有实数根或无实数根。注意：如果说方程有实数根，即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情况，此时b2-4ac0 ，切勿丢掉等号。根的判别式b2-4ac 的使用条件，是在一元二次方程中，而非别的方程中，因此，要注意隐含条件a 0. 二、例题精讲：例 1不解方程，判断下列方程的根的情况：(1)2x2+3x-4=0(2)3x2+2=2x (3) x2+1=x(4)ax2+bx=0(a 0) (5)ax2+c=0(a 0) 精品学习资料 可选择p d f - - - - - -

8、- - - - - - - - 第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载例 2求证方程 (m2+1)x2-2mx+(m2+4)=0 没有实数根。例 3已知关于x 的方程 kx2-4kx+k-5=0 有两个相等的实数根，求k 的值并解这个方程。一元二次方程的应用一、握手问题1、某小组同学元旦互赠贺年卡一张，全组共赠贺年卡90 张，这个小组有几位同学？2、某校开展足球比赛， 每个班组织一个班队，在第一轮比赛中， 每个班队

9、都要与其他班队比赛一场，一共进行了120 场比赛，这个学校共有多少个班级？3、20xx年中山市“光彩杯”中学生足球赛共进行了56 场比赛（实行主客场制） ，问有多少球队参加比赛？二、面积问题4、利用长为 18 米的墙的一边， 另三边用长为35 米的竹篱笆围成一个面积为150 平方米的长方形养鸡场。求鸡场的长与宽各多少？5、如图所示要建一个面积为150m2的长方形养鸡场 , 为了节约材料 , 鸡场的一边靠着原有的一条墙, 墙长为 25m,另三边用竹篱笆围成 , 已知篱笆总长为35m. (1) 求鸡场的长与宽各为多少米? (2) 题中的墙长度25m对题目的解起着怎样的作用? 精品学习资料 可选择p

10、 d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载（第 3 题）6、学校课外生物小组的试验园地是长18 米、宽 12 米的矩形， 为便于管理， 现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道（如图），要使种植面积为196 平方米，求小道的宽7、 如图所示 , 某小区规划在一个长为40米, 宽为 26 米的矩形场地abcd上修建三条同样宽的道路, 使其中两条与ab平行 ,另

11、一条与ab垂直 , 其余部分种草 ,若使每一块草坪的面积都为144 米2, 求道路的宽度 ? 8、在一幅长 80cm，宽 50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，求金色纸边的宽 . 9、把一个正方形的一边增加2cm ，另一边增加1cm，所得的长方形面积比正方形面积增加14cm2, 那么原来正方形的边长应是多少？10、如图 , 从一块长 80 厘米， 宽 60 厘米的铁片中间截去一个小长方形，使剩下的长方框四周的宽度一样，并且小长方形的面积是原来铁片面积的一半，求这个宽度. 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - -

12、 - - - - - - 第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载11、墙的一边，再用13 米长的铁丝挡三边围成一个面积是20 平方米的长方形，问长方形长和宽各是多少才能刚好合适？三、体积问题：12、有一块长25 厘米、宽 15 厘米的长方形铁片，如果在铁成的四个角上截去四个相同的小正方形，然后把四边折起来，做成一个底面积为231 平方厘米的无盖长方体盒子，求截去的小正方形的边长应是多少厘米？13、如图 22.2.1

13、，一块长和宽分别为60 厘米和 40 厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形， 折成一个无盖的长方体水槽，使它的底面积为800 平方米 .求截去正方形的边长 . 四、增长率问题：14、某化服厂去年4 月份生产化肥500 吨，因管理不善，5 月份的化肥产量减少了10%，从 6 月份起强化了管理，产量逐月上升， 7 月份产量达到648 吨，求该厂6、7 月份的月平均增长率。15、某商厦 10 月份的营业额是50 万元，第四季度的总营业额是182 万元，后两个月中，每月的平均增长率是多少？16、某商店四月份电扇的销售量为500 台，随着天气的变化，六月份电扇的销售量为720 台，问五月

14、份、六月份平均每月电扇销售量的增长率是多少？精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 8 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 8 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载17、某商店 4 月份销售额为50 万元 , 第二季度的总销售额为182 万元 , 若 5、6 两个月的月增长率相同, 求月增长率 . 18、某电脑公司2000 年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为600 万元，占全年经营总收入的40% ，该公

15、司预计20xx年经营总收入要达到2160 万元，且计划从2000 年到 20xx年，每年经营总收入的年增长率相同，问20xx年预计经营总收入为多少万元？19、某型号的手机连续两次降价，每个售价由原来的1 185 元降到了 580 元. 求平均每次降价的百分率。20、某工厂计划经过两年的时间将某种产品的产量从每年144 万台提高到169 万台，求每年平均增长的百分率。五、利润问题：21、将进货单价为40 元的某种商品按50 元售出时，就能卖出500 个，已知这种商品每个涨价1 元，其销售量就减少10 个，为了赚得 8000 元的利润，售价应定为多少？这时应进货多少个？22、将进货单价为40 元的

16、商品按50 元售出时，就能卖出500 个. 已知这种商品每个涨价1 元，其销售量就减少10 个，问为了赚得 8000 元的利润，售价应定为多少？这时应进货多少个？23、某商店进了一批服装，进价为每件50 元.按每件 60元出售时，可销售800 件；若单价每提高1 元，则其销售量就减少20件.今商店计划获利12000 元，问销售单价应定为多少元？此时应进多少件服装？精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 8 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 8 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载24、某百货商店服装柜在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出20 件，每件盈利40 元.为了迎接