空间曲面与曲线课件

1、空间曲面与曲线第四节一、几种常见的曲面及其方程一、几种常见的曲面及其方程二、二次曲面二、二次曲面 三、曲线三、曲线曲面与曲线 第七七章 空间曲面与曲线由两点间距离公式1. 空间一动点到定点的距离为定值，该动点轨迹叫球面。),(zyxM),(0000zyxM特别,当M0在原点时,球面方程为 设轨迹上动点为定值为R，定点xyzoM0M222yxRz表示上(下)球面 .Rzzyyxx202020)()()(2202020)()()(Rzzyyxx2222Rzyx定点叫球心，定值叫半径。空间曲面与曲线例例2. 研究方程042222yxzyx解解: : 配方得5, )0, 2, 1(0M此方程表示:说明

2、说明: : 如下形式的三元二次方程 ( A 0 )都可通过配方研究它的图形.其图形可能是的曲面. . 表示怎样半径为的球面.0)(222GFzEyDxzyxA球心为 一个球面球面, 或点点 , 或虚轨迹虚轨迹.5)2() 1(222zyx空间曲面与曲线xyzxyzol2、柱面、柱面. 平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成的轨迹叫做柱面柱面. 抛物柱面抛物柱面, 椭圆柱面椭圆柱面.xy2212222byax经过z 轴的平面平面.0 yx以上的柱面母线都平行于Z轴 CC 叫做准线准线, l 叫做母线母线.xyzoooClM1M222Ryx圆柱面圆柱面空间曲面与曲线xzy2l一般地,在三维

3、空间柱面,柱面,平行于 x 轴;平行于 y 轴;平行于 z 轴;准线 xoz 面上的曲线 l3.母线柱面,准线 xoy 面上的曲线 l1.母线准线 yoz 面上的曲线 l2. 母线表示方程0),(yxF表示方程0),(zyG表示方程0),(xzHxyz3lxyz1l空间曲面与曲线一条平面曲线3 3、旋转曲面、旋转曲面 绕其平面上一条定直线定直线旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面旋转曲面.该定直线称为旋转旋转轴轴 . .例如例如 :l l空间曲面与曲线建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:故旋转曲面方程为, ),(zyxM当绕 z 轴旋转时,0),(11zyf,), 0(111Czy

4、M若点给定 yoz 面上曲线 C: ), 0(111zyM),(zyxM1221,yyxzz则有0),(22zyxf则有该点转到0),(zyfozyxC空间曲面与曲线思考：思考：当曲线 C 绕 y 轴旋转时，方程如何？0),(:zyfCoyxz0),(22zxyf空间曲面与曲线例例3. 试建立顶点在原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为的圆锥面方程. 解解: 在yoz面上直线L 的方程为cotyz 绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为cot22yxz)(2222yxazcota令xyz两边平方L), 0(zyM空间曲面与曲线xy例例4. 求坐标面 xoz 上的双曲线12222czax分别绕 x轴和 z

5、轴旋转一周所生成的旋转曲面方程. 解解: :绕 x 轴旋转122222czyax绕 z 轴旋转122222czayx这两种曲面都叫做旋转双曲面.所成曲面方程为所成曲面方程为z空间曲面与曲线二、二次曲面二、二次曲面三元二次方程 适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅 就几种常见标准型的特点进行介绍 .研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法截痕法 其基本类型有: 椭球面、抛物面、双曲面、锥面的图形通常为二次曲面二次曲面. FzxEyxDxyCzByAx2220JIzHyGx(二次项系数不全为 0 )空间曲面与曲线zyx1 1. 椭球面椭球面),(1222222为正数cbaczbyax(1)范围

6、：czbyax,(2)与坐标面的交线：椭圆,012222zbyax,012222xczby 012222yczax空间曲面与曲线1222222czbyax与)(11czzz的交线为椭圆：1zz (4) 当 ab 时为旋转椭球面;同样)(11byyy的截痕）（axxx11及也为椭圆.当abc 时为球面.(3) 截痕:1)()(212221222222zcyzcxcbcacba,(为正数)z空间曲面与曲线2. 抛物面抛物面zqypx2222(1) 椭圆抛物面( p , q 同号)(2) 双曲抛物面（鞍形曲面）zqypx2222zyx特别,当 p = q 时为绕 z 轴的旋转抛物面.( p , q

7、同号)zyx空间曲面与曲线3. 双曲面双曲面(1)(1)单叶双曲面单叶双曲面by 1) 1上的截痕为平面1zz 椭圆.时, 截痕为22122221byczax(实轴平行于x 轴；虚轴平行于z 轴）1yy zxy),(1222222为正数cbaczbyax1yy 平面 上的截痕情况:双曲线: 空间曲面与曲线虚轴平行于x 轴）by 1)2时, 截痕为0czax)(bby或by 1)3时, 截痕为22122221byczax(实轴平行于z 轴;1yy zxyzxy相交直线: 双曲线: 0空间曲面与曲线(2) 双叶双曲面双叶双曲面),(1222222为正数cbaczbyax上的截痕为平面1yy 双曲线

8、上的截痕为平面1xx 上的截痕为平面)(11czzz椭圆注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别: 双曲线zxyo222222czbyax单叶双曲面11双叶双曲面空间曲面与曲线4. 椭圆锥面椭圆锥面),(22222为正数bazbyax上的截痕为在平面tz 椭圆在平面 x0 或 y0 上的截痕为过原点的两直线 .zxyo1)()(2222t byt axtz ,xyz空间曲面与曲线内容小结内容小结1. 空间曲面三元方程0),(zyxF 球面2202020)()()(Rzzyyxx 旋转曲面如, 曲线00),(xzyf绕 z 轴的旋转曲面:0),(22zyxf 柱面如,曲面0),(yxF表示母线平行 z

9、轴的柱面.又如,椭圆柱面, 双曲柱面, 抛物柱面等 .空间曲面与曲线2. 二次曲面三元二次方程),(同号qp 椭球面1222222czbyax 抛物面:椭圆抛物面双曲抛物面zqypx2222zqypx2222 双曲面: 单叶双曲面2222byax22cz1双叶双曲面2222byax22cz1 椭圆锥面: 22222zbyax空间曲面与曲线设有两块曲面S1, S2, 它们的方程依次为:S1: F (x, y, z) = 0S2: G (x, y, z) = 0S1 , S2的交线C上的点一定同时满足这两个方程,而不在交线上的点绝不会同时满足这两个方程.因此0),(0),(zyxGzyxF即为交线

10、C的方程, 称为空间曲线C的一般方程.(2)二、空间曲线及其方程二、空间曲线及其方程1. 空间曲线的一般方程2SL0),(zyxF0),(zyxG1S空间曲面与曲线2. 空间曲线的参数方程将曲线C上动点的坐标x, y, z都表示成一个参数t的函数.x = x (t)y = y (t) (3)z = z (t)当给定 t = t1时, 就得到C上一个点(x, y, z), 随着 t的变动便可得曲线C上的全部点. 方程组(2)叫做空间曲线的参数方程空间曲线的参数方程.空间曲面与曲线例例6: 如果空间一点 M 在圆柱面 x2 + y2 = a2 上以角速度 绕 z 轴旋转, 同时又以线速度v 沿平行

11、于z 轴的正方向上升(其中,v都是常数), 那末点M 构成的图形叫做螺旋线螺旋线, 试建立其参数方程. 解解: 取时间t为参数, 设当t = 0时, 动点位于x轴上的一点 A(a, 0, 0)处, 经过时间t, 由A运动到M(x, y, z), M在xOy面上的投影为M (x, y, 0).xyzhAOMtM空间曲面与曲线(1) 动点在圆柱面上以角速度 绕z轴旋转, 所以经过时间t, AOM = t. 从而x = |OM | cosAOM = acos ty = |OM | sinAOM = asin t(2) 动点同时以线速度v沿 z 轴向上升. 因而z = MM = vt 得螺旋线的参数方

12、程x = acos ty = asin tz = vt 注注: 还可以用其它变量作参数.xyzAOMtM空间曲面与曲线yxzAOMtM例如例如: 令 = t. 为参数; 螺旋线的参数方程为:x = acos y = asin z = b . vb 这里这里当从 0变到 0 + 是, z由b 0变到 b 0+ b ,即M点上升的高度与OM 转过的角度成正比.特别, 当 = 2 时, M点上升高度h = 2 b, h在工程上称 h = 2 b为螺距.空间曲面与曲线3. 空间曲线在坐标面上投影设空间曲线C的一般方程F (x, y, z) = 0G (x, y, z) = 0(4)由方程组(4)消去z后得方程 H (x, y) = 0 (5)方程(5)表示一个母线平行于z 轴的柱面, 曲线 C 一定在柱面上.xyzooC空间曲线 C 在 x O y 面上的曲线必定包含于:投影H (x, y) = 0z = 0空间曲面与曲线注注: 同理可得曲线在yOz面或xOz面上的投影曲线方程.空间曲面与曲线例例7: 已知两个球面的方程分别为:x2 + y2 + z2 = 1和 x2 + (y 1)2 + (z1)2 = 1 求它们的交线C在xOy面上的投影曲线的方程.解: 联立两个方程消去 z ,得01)21(4222zyx1)21(4222yx两球面的交线C 在 x O y 面上的投影曲线方程