空间直线及方程课件

1、空间直线及方程PPT课件第六节一、空间直线方程一、空间直线方程 二、线面间的位置关系二、线面间的位置关系 机动 目录 上页 下页 返回 结束 空间直线及其方程 第七七章 空间直线及方程PPT课件一、空间直线方程一、空间直线方程xyzo01111DzCyBxA02222DzCyBxA1 2 L因此其一般式方程1 1. 一般式方程一般式方程 直线可视为两平面交线，(不唯一)机动 目录 上页 下页 返回 结束 空间直线及方程PPT课件),(0000zyxM2. 对称式方程对称式方程故有说明说明: 某些分母为零时, 其分子也理解为零.mxx000yyxx设直线上的动点为 则),(zyxMnyy0pzz

2、0此式称为直线的对称式方程对称式方程(也称为点向式方程点向式方程)直线方程为s已知直线上一点),(0000zyxM),(zyxM例如, 当,0, 0时pnm和它的方向向量 , ),(pnms sMM/0机动 目录 上页 下页 返回 结束 空间直线及方程PPT课件3. 参数式方程参数式方程设得参数式方程 :tpzznyymxx000tmxx0tnyy0tpzz0机动 目录 上页 下页 返回 结束 空间直线及方程PPT课件例例1 1.用对称式及参数式表示直线解解: :先在直线上找一点.043201 zyxzyx632zyzy再求直线的方向向量2,0zy令 x = 1, 解方程组,得交已知直线的两平

3、面的法向量为是直线上一点 .)2,0, 1(故.s, ) 1, 1, 1 (1n)3, 1,2(2n21ns,ns21nns机动 目录 上页 下页 返回 结束 空间直线及方程PPT课件故所给直线的对称式方程为参数式方程为tztytx32 41t41x1y32z解题思路解题思路: 先找直线上一点;再找直线的方向向量.)3, 1,4(21nns312111kji机动 目录 上页 下页 返回 结束 空间直线及方程PPT课件2L1L二、线面间的位置关系二、线面间的位置关系1. 两直线的夹角两直线的夹角 则两直线夹角 满足21, LL设直线 两直线的夹角指其方向向量间的夹角(锐角)的方向向量分别为212

4、121ppnnmm212121pnm222222pnm),(, ),(22221111pnmspnms2121cosssss 1s2s机动 目录 上页 下页 返回 结束 空间直线及方程PPT课件特别有特别有:21) 1(LL 21/)2(LL0212121ppnnmm212121ppnnmm21ss 21/ss机动 目录 上页 下页 返回 结束 空间直线及方程PPT课件例例2. . 求以下两直线的夹角解解: 直线直线二直线夹角 的余弦为(请看P332 例2 )13411:1zyxL0202:2zxyxL cos22从而4的方向向量为1L的方向向量为2L) 1,2,2() 1(1)2()4(21

5、2221)4(1222) 1()2(2) 1,4, 1 (1s2010112kjis 机动 目录 上页 下页 返回 结束 空间直线及方程PPT课件当直线与平面垂直时,规定其夹角线所夹锐角 称为直线与平面间的夹角;L2. 直线与平面的夹角直线与平面的夹角当直线与平面不垂直时,设直线 L 的方向向量为 平面 的法向量为则直线与平面夹角 满足.2222222CBApnmpCnBmA直线和它在平面上的投影直),(pnms ),(CBAn ),cos(sinnsnsns sn机动 目录 上页 下页 返回 结束 空间直线及方程PPT课件特别有特别有: :L) 1(/)2(L0pCnBmApCnBmAns/

6、ns解解: : 取已知平面的法向量421zyx则直线的对称式方程为0432zyx直的直线方程. 为所求直线的方向向量. 132垂 ) 1,3,2(nn例例3. 求过点(1,2 , 4) 且与平面机动 目录 上页 下页 返回 结束 空间直线及方程PPT课件)1 ,2, 1(A,11231:1zyxLiL设直线解：解：,2上在因原点LO12:2zyxL相交,求此直线方程 .的方向向量为过 A 点及 的平2L面的法向量为则所求直线的方向向量方法方法1 利用叉积. ),2, 1( isi, n,1nss所以OAsn2121112kjikji333一直线过点 且垂直于直线 又和直线例例4.nOA2L2s

7、机动 目录 上页 下页 返回 结束 空间直线及方程PPT课件设所求直线与的交点为512231zyx12000zyx0000,2yzyx待求直线的方向向量方法方法2 利用所求直线与L2 的交点 .即故所求直线方程为 2L),(000zyxB则有2L) 1 , 2 , 1 (Anss1333123kji)523(3kji),(000zyxB机动 目录 上页 下页 返回 结束 空间直线及方程PPT课件0) 1()2(2) 1(3000zyx78,716,78000zxy512231zyx0000,2yzyx将代入上式 , 得由点法式得所求直线方程而) 1, 2, 1(000zyxAB)5,2,3(7

8、31L)715,76,79(AB2L) 1 , 2 , 1 (A),(000zyxB机动 目录 上页 下页 返回 结束 空间直线及方程PPT课件平面束平面束01111DzCyBxA02222DzCyBxA设有两不平行平面：机动 目录 上页 下页 返回 结束 1：2：则交线方程为xyzo1 2 LL01111DzCyBxA02222DzCyBxA空间直线及方程PPT课件11112222()0,(3)A xB yC zDA xB yC zD三元方程：机动 目录 上页 下页 返回 结束 111222,A B CA B C与121212,AA BB CC对于任意的不成比例.所以，对任意，不全为零. 从

9、而（3）表示一个平面.11112222111122220,(1):0,(2)()0,(3)A xB yC zDLA xB yC zDA xB yC zDA xB yC zD空间直线及方程PPT课件机动 目录 上页 下页 返回 结束 在L上任取一点P，则P点的坐标同时满足(1),(2)两个平面方程，因此也满足方程(3).所以，方程是(3)通过L的平面.反之，通过直线L的任意平面(2)除外)均包含在由方程(3)所表示的平面族内.11112222111122220,(1):0,(2)()0, (3)A xB yC zDLA xB yC zDA xB yC zDA xB yC zD通过直线L的所有平面

10、的全体称为平面束.方程（3）就是通过L的平面束方程.实际上,该平面束缺少了一个平面，就是平面(2).方程(3)可改写成：12121212()()()()0,(4)AA xBByCCzDD空间直线及方程PPT课件机动 目录 上页 下页 返回 结束 11112222111122220,(1):0,(2)()0,(3)A xB yC zDLA xB yC zDA xB yC zDA xB yC zD12121212()()()()0,(4)AA xBByCCzDD空间直线及方程PPT课件例例5 5.求直线0 xyz0 xyz解解: :过直线1010 xyzxyz 1010 xyzxyz 该平面与(1

11、)(1)( 1)( 1)0,(1)xyz 的平面束方程为其中是待定常数，机动 目录 上页 下页 返回 结束 在平面上的投影直线方程.垂直的条件是(1)(1)( 1)0 从而=-1， 将其带入到（1）式的投影方程100yzxyz 空间直线及方程PPT课件1. 空间直线方程空间直线方程一般式对称式参数式0022221111DzCyBxADzCyBxAtpzztnyytmxx000pzznyymxx000)0(222pnm 内容小结内容小结 机动 目录 上页 下页 返回 结束 空间直线及方程PPT课件,1111111pzznyymxxL：直线0212121ppnnmm,2222222pzznyymxxL：212121ppnnmm2. 线与线的关系线与线的关系直线夹角公式:),(1111pnms ),(2222pnms 021ss21LL 21/ LL021ss2121cosssss 机动 目录 上页 下页 返回 结束 空间直线及方程PPT课件, 0DzCyBxACpBnAm平面 :L L / 夹角公式：0CpBnAmsin,pzznyymxx3. 面与线间的关系面与线间的关系直线 L :),(CBAn ),(