计算导数教学课件

1、 2.3 2.3 计算导数计算导数一、复习一、复习1.解析几何中解析几何中,过曲线某点的切线的斜率的精确描述与过曲线某点的切线的斜率的精确描述与 求值求值;物理学中物理学中,物体运动过程中物体运动过程中,在某时刻的瞬时速在某时刻的瞬时速 度的精确描述与求值等度的精确描述与求值等,都是极限思想得到本质相同都是极限思想得到本质相同 的数学表达式的数学表达式,将它们抽象归纳为一个统一的概念和将它们抽象归纳为一个统一的概念和 公式公式导数导数,导数源于实践导数源于实践,又服务于实践又服务于实践.2.求函数的导数的方法是求函数的导数的方法是:(1)()( );yf xxf x 求函数的增量(2):()(

2、 );yf xxf xxx 求函数的增量与自变量的增量的比值0(3)( )lim.xyyfxx 求极限，得导函数说明说明:上面的方上面的方法中把法中把x换换x0即即为求函数在点为求函数在点x0处的处的 导数导数. 说明说明:上面的方法中把上面的方法中把x换换x0即为求函数在点即为求函数在点x0处的处的 导数导数. 3.函数函数f(x)在点在点x0处的导数处的导数 就是导函数就是导函数 在在x= x0处的函数值处的函数值,即即 .这也是求函数在点这也是求函数在点x0 处的导数的方法之一。处的导数的方法之一。 )(0 xf )(xf 0| )()(0 xxxfxf 4.函数函数 y=f(x)在点在

3、点x0处的导数的几何意义处的导数的几何意义,就是曲线就是曲线y= f(x)在点在点p(x0 ,f(x0)处的切线的斜率处的切线的斜率.5.求切线方程的步骤：求切线方程的步骤：（1）求出函数在点）求出函数在点x0处的变化率处的变化率 ，得到曲线，得到曲线 在点在点(x0,f(x0)的切线的斜率。的切线的斜率。)(0 xf （2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即).)()(000 xxxfxfy 1) 1 (x2) 2 (x0) 3 (xx导函数的概念：导函数的概念：的导函数为的函数，称是关于则值记为处都有导数，导数上的每一点在区间若一个函数)()()()

4、()(lim)(: )(,)(0 xfxfxxfxxfxxfxfxfxbaxfx12)(2)(:2xxfxxxf的导函数为例如请同学们求下列函数的导数:22)( ),3)( ),14)( ),yf xxyf xxyf xx1y 21 yx2yx表示表示y=x图象上每一点处的切线图象上每一点处的切线斜率都为斜率都为1这又说明什么这又说明什么?二、新课几种常见函数的导数根据导数的定义可以得出一些常见函数的导数公式.公式1: .)(0为为常常数数cc . 0lim)(, 0,)()(,)(:0 xycxfxyccxfxxfycxfyx证证公式2: .)()(1qnnxxnn 请注意公式中的条件是 ,

5、但根据我们所掌握的知识,只能就 的情况加以证明.这个公式称为幂函数的导数公式.事实上n可以是任意实数. qn *nn nnnxxxxfxxfyxxfy )()()(,)(:证证,)()()()(2221122211nnnnnnnnnnnnnnnnxcxxcxxcxxcxxcxxcx ,)(12211 nnnnnnnxcxxcxcxy.)(limlim)()(11221100 nnnnnnnnxxnnxxcxxcxcxyxxf;33)( :2133xxx 例例如如;222)()1(331222xxxxx ;212121)()(2112121xxxxx .535353)()1(5858153535

6、3xxxxx 公式3: .xxcos)(sin 要证明这个公式,必须用到一个常用极限. 1sinlim0 xxxxxxxfxxfyxxfysin)sin()()(,sin)(: 证证,2sin)2cos(2xxx ,22sin)2cos(2sin)2cos(2xxxxxxxxxy .cos1cos22sinlim)2cos(limlim)(sin)(000 xxxxxxxyxxfxxx 同理可证,公式4: .xxsin)(cosxxxxeeaaa)(ln)(:5公式xxaxxa1)(lnln1)(log:6公式xxxx22sin1)(cotcos1)(tan:7公式例例4求下列函数的导数求下列函数的导数12) 1 (xy 41)2(xy 53)3(xy )2sin()4(xyxxyxxxyxxxyxxysin)(cos)4(53)()()3(44)1()2(12)()1(5253535411125解1:1(1).222yxx 11切线方程即：y=（2）xy21) 1 (解：处的切线方程。求曲线在求已知例)1 , 1 ()2()1 ( ,5yxy 四、小结与作业四、小结与作业2.能结合其几何意义解决一些与切点、切线斜率能结合其几何意义解决一些与切点、切线斜率有关的较为综合性问题有关的较为综合性问题.1.会用定义求导数并熟记导数公式表。会用定义求