第十二章第二节二重积分的应用

1、高等数学高等数学第第1页页2021-11-22贵州航天职业技术学院第十二章第十二章 多元函数积分学多元函数积分学第一节、第一节、二重积分二重积分第二节、二重积分的应用第二节、二重积分的应用第三节、三重积分第三节、三重积分第四节、曲线积分第四节、曲线积分第五节、格林公式第五节、格林公式第六节、曲面积分第六节、曲面积分第第2页页第十二章多元函数积分学第十二章多元函数积分学2021-11-22贵州航天职业技术学院 周学来二、平面薄片的面积和质量二、平面薄片的面积和质量 一、立体体积一、立体体积 12.2 12.2 二重积分的应用二重积分的应用三、三、平面薄片的重心平面薄片的重心 小结小结三、三、平面

2、薄片的转动惯量平面薄片的转动惯量 1212.2 .2 二重积分的应用二重积分的应用上页下页第十二章多元函数积分学第十二章多元函数积分学2021-11-22第第3页页一、立体体积一、立体体积:zyxod( , )dvf x y d 二、平面薄片面积和质量二、平面薄片面积和质量:dd xyod dxdy1求平面薄片的面积求平面薄片的面积1212.2 .2 二重积分的应用二重积分的应用上页下页第十二章多元函数积分学第十二章多元函数积分学2021-11-22第第4页页求平面薄片的质量求平面薄片的质量d ( , )dmx y d xyo( , )dmx y d 1212.2 .2 二重积分的应用二重积分

3、的应用上页下页第十二章多元函数积分学第十二章多元函数积分学2021-11-22第第5页页例例1. 设平面薄片设平面薄片d是由是由 x+ y =2，y =x 和和 x 轴所围成的区域，轴所围成的区域，它的密度它的密度 ，求该薄片的质量，求该薄片的质量.22( , )x yxy 解解: 先解方程组先解方程组,2,xyxy 得两曲线的交点为得两曲线的交点为(1,1)，d可用不等式表示为可用不等式表示为2,01.yxyy xyo2xyxy 2211d11xy 1212.2 .2 二重积分的应用二重积分的应用上页下页第十二章多元函数积分学第十二章多元函数积分学2021-11-22第第6页页( , )dm

4、x y dxdy 1323017(2)2d33yyyy 213201d3yyxy xy xyo2xyxy 2211d3.4 12220d()dyyyxyx 1212.2 .2 二重积分的应用二重积分的应用上页下页第十二章多元函数积分学第十二章多元函数积分学2021-11-22第第7页页例例2. 设平面薄片设平面薄片d为为:2sin4sin ,r1( , ),x yy 密密度度解解:1( , )d d d d .ddmx yx yx yy 区域区域d为为0,2sin4sin .r 求该平面薄片质量求该平面薄片质量.xyod4sinr 2sinr 4sin02sin1ddsinr rr 4sin0

5、2sin1dsinr 02d2. 1212.2 .2 二重积分的应用二重积分的应用上页下页第十二章多元函数积分学第十二章多元函数积分学2021-11-22第第8页页例例3 . 设平面薄片设平面薄片 面密度面密度2214,0,0,xyxy22( , )x yxy 解解:( , )ddmx y 15.8 求该薄片的质量求该薄片的质量m.xyod2r 1r 22()d ddxyx y 232014ddrr 1212.2 .2 二重积分的应用二重积分的应用上页下页第十二章多元函数积分学第十二章多元函数积分学2021-11-22第第9页页),(yx三、平面薄片的重心三、平面薄片的重心xd xyoy( ,

6、 )ydmydmyx y d ( , )dmx y d ( , )xdmxdmxx y d 1212.2 .2 二重积分的应用二重积分的应用上页下页第十二章多元函数积分学第十二章多元函数积分学2021-11-22第第10页页当薄片是均匀的，重心称为当薄片是均匀的，重心称为形心形心.,1 dxdax .1 dyday dda 其中其中,),(),( dddyxdyxxx .),(),( dddyxdyxyy ( , )ydmmyyx y d ( , )xdmmxxx y d 1212.2 .2 二重积分的应用二重积分的应用上页下页第十二章多元函数积分学第十二章多元函数积分学2021-11-22第

7、第11页页解解先求区域先求区域 d的面积的面积 a， 20t， ax 20 adxxya20)( 20)sin()cos1(ttadta 2022)cos1(dtta.32a d2 a a ( )y xo1212.2 .2 二重积分的应用二重积分的应用上页下页第十二章多元函数积分学第十二章多元函数积分学2021-11-22第第12页页 所所以以形形心心在在ax 上上，即即 ax , dydxdyay1 )(0201xyaydydxa adxxya2022)(61 203cos16dtta5.6a 1212.2 .2 二重积分的应用二重积分的应用上页下页第十二章多元函数积分学第十二章多元函数积分

8、学2021-11-22第第13页页四、平面薄片的转动惯量四、平面薄片的转动惯量22( , ),xdiy dmyx y dxd xyoy薄片绕薄片绕 x 轴转动轴转动,),(2 dxdyxyi 22( , ),ydix dmxx y d薄片绕薄片绕 y 轴转动轴转动2( , ),ydixx y d 1212.2 .2 二重积分的应用二重积分的应用上页下页第十二章多元函数积分学第十二章多元函数积分学2021-11-22第第14页页解解aboyx,2dxdyxidy 对对 y 轴的转动惯量为轴的转动惯量为 babydxxdy0)1(02 .1213 ba dxdyyidx 2 .1213 ab 对对 x 轴的转动惯量为轴的转动惯量为(1)yxab 1212.2 .2 二重积分的应用二重积分的应用上页下页第十二章多元函数积分学第十二章多元函数积分学2021-11-22第第15页页几何应用：立体体积，平面面积几何应