定积分的概念与性质55230

1、5.1 定积分的概念与性质定积分的概念与性质5.2 微积分学基本定理微积分学基本定理5.3 定积分的积分法定积分的积分法5.4 广义积分广义积分第第5章章 定积分定积分结束前页前页结束结束后页后页5.1.1 5.1.1 引入定积分概念的实例引入定积分概念的实例引例引例1 1 曲边梯形的面积曲边梯形的面积: :如图如图, ,由连续曲线由连续曲线y=f(x)，直，直线线x=a，x=b及及x轴围成的图形称为曲边梯形轴围成的图形称为曲边梯形. .下面我们求曲边梯形的面积下面我们求曲边梯形的面积(1)(1)分割分割 在在(a,b)内插入内插入n1个分点个分点bxxxxxann1210 , , . , ,

2、112110nniixxxxxxxx， 把区间把区间a,b分成分成n个小区间个小区间记每一个小区间记每一个小区间 的长度为的长度为1 (12)iiixxxin ， ，1,iixx abx( )yf x oy5.1 定积分的概念与性质定积分的概念与性质前页前页结束结束后页后页(2)近似近似 表示第表示第i个小曲边梯形的面积个小曲边梯形的面积,在小区间在小区间 内任取一点内任取一点 ,过点过点 作作x轴的垂线与曲线轴的垂线与曲线交于点交于点 ,以以 为底为底, 为高做矩形为高做矩形,以此以此矩形做为小曲边梯形面积的近似值矩形做为小曲边梯形面积的近似值,则则ia 1,(1,2, )iixxin 1(

3、)iiiixx i (,()iiipfix ()if ()iiiaxf a( )yf x mnoy(3)求和求和将所有矩形面积求和将所有矩形面积求和1122 ()()()nnnafxfxfx1()niiifx xb过每个过每个分点分点xi(i=1,2,n)作作y轴的平行线，将轴的平行线，将曲边梯形曲边梯形分割成分割成n个小曲边梯形个小曲边梯形.前页前页结束结束后页后页(4)取极限取极限 记记 为所有小区间中长度的最大者为所有小区间中长度的最大者,即即 ,当当 时时,总和的极限就是曲边梯形面积总和的极限就是曲边梯形面积a,即即 1maxii nx 0 01lim()niiiafx 解解 (1)

4、分割分割引例引例2 变力做功变力做功. ,)( 做的功，求变力区间为连续函数，质点的位移的是位移已知变力设某质点作直线运动，fbassf在在 插入插入n个分点个分点0121 innassssssb , a b则则 即是曲边梯形面积的近似值即是曲边梯形面积的近似值.na前页前页结束结束后页后页将闭区间将闭区间a,b分成分成n个小区间个小区间:011211 , ,iinns ss sssss1 (1,2, )iiisssin 小区间的长度小区间的长度(2)近似近似 在每一个小区间在每一个小区间 上任取一点上任取一点 ,把把 做为做为质点在小区间上受力的近似值质点在小区间上受力的近似值,于是于是,力

5、力f在小区间在小区间 上对质点所做的功的近似值为上对质点所做的功的近似值为1,iiss i ()if 1,iiss () (1,2, )iiiwfsin 前页前页结束结束后页后页(3)求和求和11() nniiiiiwwfs 把各小区间上力把各小区间上力f所做的功的近似值加起来所做的功的近似值加起来,即得到即得到在区间在区间 上所做功的近似值上所做功的近似值,即即 ,a b(4)取极限取极限 把所有小区间的最大长度记为把所有小区间的最大长度记为 ,即即 ,则当则当 时时,和式的极限即为变力在区间和式的极限即为变力在区间 上对质点上对质点所做的功所做的功,即即 max()is 0 ,a b01

6、lim() niiiw =fs 前页前页结束结束后页后页5.1.2 5.1.2 定积分的概念定积分的概念, , , :, :1,)( 1121101210nniinnxxxxxxxxnbabxxxxxanbabaxf个小区间分成把区间个分点中任意插入上有界，在在设函数定义定义),(1iiiixx上任取一点在每一个小区间各个小区间的长度为, 11iiiiixxxxxniiixf1)( )(简称积分和式作和式前页前页结束结束后页后页，记作上的在区间数相等，则称此极限为函述和式的极限都存在且时，上任意取法，只要当上点和小区间任一分法，如果对区间记 ,)( 0,.,max12baxfxxbaxxxii

7、ini定积分(简称积分)01( )dlim(),nbiiaif xxfx 其中其中f(x)叫做被积函数，叫做被积函数，f(x)dx叫做被积表达式，叫做被积表达式，x 叫叫做积分变量，做积分变量，a叫做积分下限，叫做积分下限，b叫做积分上限叫做积分上限，a,b叫做积分区间叫做积分区间.前页前页结束结束后页后页 根据定积分的定义，前面所讨论的两个引例就可根据定积分的定义，前面所讨论的两个引例就可以用定积分概念来描述：以用定积分概念来描述： 曲线曲线 、x轴及两条直线轴及两条直线x=a,x=b所围所围成的曲边梯形面积成的曲边梯形面积a等于函数等于函数f(x)在区间在区间a,b上的定积上的定积分，即分

8、，即)0)()(xfxf.d )(xxfaba前页前页结束结束后页后页 如果函数如果函数f(x)在区间在区间a,b上的定积分存在，上的定积分存在，则称函数则称函数f(x)在区间在区间a,b上可积上可积. 质点在变力质点在变力f(s)作用下作直线运动，由起始位作用下作直线运动，由起始位置置a移动到移动到b，变力对质点所做之功等于函数，变力对质点所做之功等于函数f(s)在在a,b上的定积分，即上的定积分，即( )dbawf s s 可以证明可以证明:若函数若函数f (x)在在在区间在区间 a,b 上连续上连续, ,或只有有或只有有 限个第一类间断点限个第一类间断点, ,则则f (x)在在在区间在区

9、间 a,b 上可积上可积. .前页前页结束结束后页后页 关于定积分的概念，还应注意两点关于定积分的概念，还应注意两点: (1)定积分定积分 是积分和式的极限，是一个数值，是积分和式的极限，是一个数值，定积分值只与被积函数定积分值只与被积函数f(x)及积分区间及积分区间a,b有关，有关，而与积分变量的记法无关而与积分变量的记法无关.即有即有.d)(d)(d)( bababauufttfxxfxxfbad )(2)在定积分在定积分 的定义中，总假设的定义中，总假设 ，为了，为了 今后的使用方便，对于今后的使用方便，对于 时作如下规定：时作如下规定：xxfbad )(ba baba ，.d )(d

10、)( ,0d )( xxfxxfbaxxfbabaabba时当；时，当前页前页结束结束后页后页 如果在如果在a,b上上 ，此时，此时由曲线由曲线y=f(x)，直线，直线x=a，x=b及及x轴所围成的曲边梯形位于轴所围成的曲边梯形位于x轴的轴的下方，则定积分下方，则定积分 在几何在几何上表示上述曲边梯形的面积上表示上述曲边梯形的面积a的相反数的相反数.5.1.3 5.1.3 定积分的几何意义：定积分的几何意义： 如果在如果在a,b上上 ，则，则 在几何上表在几何上表示由曲线示由曲线y=f(x)，直线，直线x=a，x=b及及x轴所围成的曲边梯形的面积轴所围成的曲边梯形的面积.0)(xfbaxxfd

11、)( )0f x( )dbaf xxax( )yf x oybax( )yf x oyb前页前页结束结束后页后页 如果在如果在a,b上上f(x)既可取正值又可取负值，则定既可取正值又可取负值，则定积分积分 在几何上表示介于曲线在几何上表示介于曲线y=f(x)，直线，直线x=a，x=b及及x轴之间的各部分面积的代数和轴之间的各部分面积的代数和.baxxfd)(1324( )d()()baf xxaaaa 1234aaaax y= f (x)aboya4a3a2a1() dbaafxx前页前页结束结束后页后页性质性质1 1 两个函数代数和的定积分等于它们定积分的代数两个函数代数和的定积分等于它们定

12、积分的代数 和，即和，即 ( )( )d( )d( )dbbbaaaf xg xxf xxg xx5.1.4 定积分的基本性质定积分的基本性质 设下面函数设下面函数f (x)， fi (x)， g(x)在在a,b上可积上可积.推论推论 有限个函数的代数和的定积分等于各函数的定积有限个函数的代数和的定积分等于各函数的定积分的代数和，即分的代数和，即1212( )( )( )d ( )d( )d( )d .bnabbbnaaafxfxfxxfxxfxxfxx前页前页结束结束后页后页 如果积分区间如果积分区间a,b被分点被分点c分成区间分成区间a,c和和c,b, 则则( )d( )d( )dbcba

13、acf xxf xxf xx性质性质3 性质性质3表明定积分对积分区间具有可加性，这个表明定积分对积分区间具有可加性，这个性质可以用于求分段函数的定积分性质可以用于求分段函数的定积分. 当当c在区间在区间a,b 之外时，上面表达式也成立之外时，上面表达式也成立.性质性质2 2 被积函数的常数因子可以提到积分号外被积函数的常数因子可以提到积分号外. .).( d)(d)( 是常数kxxfkxxkfbaba前页前页结束结束后页后页211, 0,( ) ( )d .1, 0,2已已知知求求xxf xf xxxx利用定积分的几何意义，可分别求出利用定积分的几何意义，可分别求出011(1)d2，xx21

14、13( )d1.22所所以以f xx例例1202110( )d(1)d(1)d2，xf xxxxx解解20(1)d12，xx前页前页结束结束后页后页，则上恒有如果在区间1)(, xfba性质性质4.d1d)(abxxxfbaba，则上恒有如果在区间0)(, xfba性质性质5(0.)dbaf xx ，则上恒有如果在区间)()(,xgxfba推论推论1 ( )d( )d .bbaaf xxg xx|( )d |( ) d ().bbaaf xxf xxab推论推论2前页前页结束结束后页后页则上的最大值及最小值，在区间分别是函数及设,)( baxfmm性质性质6 (估值定理估值定理).( )(d)

15、()(baabmxxfabmba).(d)()( 42abmxxfabmba得及性质由性质),( )(bxamxfm证明证明bababaxmxxfxm，得推论由性质dd)(d 15mm前页前页结束结束后页后页.dsin3 6 的值试估计定积分xx，6323dsin632136xx.123dsin12 36xx即例例2，最小值，上，最大值，在216sin)6(233sin)3(36ff解解前页前页结束结束后页后页).( )(d)( baabfxxfba性质性质7(定积分中值定理定积分中值定理) ) 如果函数如果函数f(x)在闭区间在闭区间 a,b 上上连续，则在积分区间连续，则在积分区间 a,b

16、 上至少存在一个点上至少存在一个点 ，使下，使下式成立式成立证明证明 因为函数因为函数f(x)在闭区间在闭区间a,b上连续，根据闭区间上连续，根据闭区间上连续函数的最大值和最小值定理，上连续函数的最大值和最小值定理，f(x)在在a,b上一定有最大值上一定有最大值m和最小值和最小值m，由定积分的性，由定积分的性质质6，有，有 ()( )d()，bam baf xxm ba1 ( )d即即，bamf xxmba前页前页结束结束后页后页即数值即数值 介于介于f(x)在在a,b上的最大值上的最大值m和最和最小值小值m之间之间.根据闭区间上连续函数的介值定理根据闭区间上连续函数的介值定理,至少存在至少存

17、在一点一点 ,使得使得1()dbafxxba1( )( )d baff xxba ( )d( )() ()baf xxfbaab即即性质性质7的几何意义：的几何意义：在在 上至少存在一点上至少存在一点 ,使使得曲边梯形的面积等于同一底得曲边梯形的面积等于同一底边而高为边而高为 的矩形的面积的矩形的面积. , a b ( )f ab 前页前页结束结束后页后页 如果函数如果函数f(x)在闭区间在闭区间a,b上连续，我们称上连续，我们称 为函数为函数f(x)在在a,b上的平均值上的平均值.baxxfabd)(1 如已知某地某时自如已知某地某时自0至至24时天气温度曲线为时天气温度曲线为f(t), t

18、为时间，则为时间，则 表示该地、该日的平均气温表示该地、该日的平均气温.240d)(241ttf 如已知某河流在某处截面上各点的水深为如已知某河流在某处截面上各点的水深为h(x), (a为河流在该截面处水面之宽度为河流在该截面处水面之宽度)，则该河流，则该河流 在该截面处的平均水深为在该截面处的平均水深为 .ax 0axxha0d)(1前页前页结束结束后页后页5.2.1 变上限积分与对积分上限变量求导数变上限积分与对积分上限变量求导数 设函数设函数f(x)在区间在区间a,b上连续，则对于任意的上连续，则对于任意的x( )，积分，积分 存在，且对于给定的存在，且对于给定的x( ) 就有一个积分值

19、与之对应，所以上限为变量的积分就有一个积分值与之对应，所以上限为变量的积分 是上限是上限x的函数的函数.axb( )dxaf xx axb( )dxaf xx注意：积分上限注意：积分上限x与被积表达式与被积表达式f(x)dx中的积分变量中的积分变量x是是两个不同的概念，在求积时两个不同的概念，在求积时(或说积分过程中或说积分过程中)上限上限x是是固定不变的，而积分变量固定不变的，而积分变量x是在下限与上限之间是在下限与上限之间( )d .xaf tt5.2 5.2 微分学基本定理微分学基本定理变化的，因此常记为变化的，因此常记为前页前页结束结束后页后页上具有导数，且在的积分所确定的函数上连续，

20、则变上限在区间如果函数,)( d)()( ,)( babxattfxbaxfxa定理定理1).( )(d)(dd)( bxaxfttfxxxaxaxxattfttfd)(d)(=xxxxaxxxxattfttfttfttfd)(d)(d)(d)()() (0 xxxx，不妨设证明证明前页前页结束结束后页后页( )d( ) ( ,),xxxf ttfxx xx 由积分中值定理有由积分中值定理有).()( fxxfx即数的连续性，有根据导数的定义以及函，从而时，有当 0 xxxxx结论：变上限积分所确定的函数结论：变上限积分所确定的函数 对积分上限对积分上限x的导数等于被积函数的导数等于被积函数f

21、(t)在积分上限在积分上限x处的值处的值f(x).xattfd)(，)()(limlim)( 0 xffxxxx).(d)(dd)( xfttfxxxa即前页前页结束结束后页后页由上述结论可知：尽管不定积分与定积分概念的引入由上述结论可知：尽管不定积分与定积分概念的引入完全不同，但彼此有着密切的联系，因此我们可以完全不同，但彼此有着密切的联系，因此我们可以通通过求原函数来计算定积分过求原函数来计算定积分.,)(d)()( ,)( 上的一个原函数在是上连续，则在区间如果函数baxfttfxbaxfxa可以证明可以证明 原函数存在定理原函数存在定理前页前页结束结束后页后页.)()( cxxf上的任

22、一个原函数，则在是上连续，且在区间设函数,)()(,)( baxfxfbaxf定理定理2 微积分学基本定理微积分学基本定理 ( )d( )( )baf xxf bf a).()()(d )( afbfxfxxfbaba或记作5.2.2 微积分学基本定理微积分学基本定理证明证明的一个原函数，也是而的一个原函数，是)(d)()()()(xfttfxxfxfxa前页前页结束结束后页后页 ( )( ).令令有有xaf a ac ( )( )令令有有，xbf b bc 上式称为牛顿上式称为牛顿- -莱布尼茨公式，也称为微积分基本定理莱布尼茨公式，也称为微积分基本定理. .( )d( )( )所所以以，b

23、af ttf bf a( )( )d0( ).由由于于，所所以以aa af ttf ac( )( )( )( )( )( )d( )( )，ba bf bcf bf a bf ttf bf a ( )d( )( )即即，baf xxf bf a前页前页结束结束后页后页 牛顿莱布尼茨公式揭示了定积分与不定积牛顿莱布尼茨公式揭示了定积分与不定积分之间的内在联系分之间的内在联系,并提供了计算定积分的简便并提供了计算定积分的简便的基本方法，即求定积分的值，只要求出被积的基本方法，即求定积分的值，只要求出被积函数函数 f(x)的一个原函数的一个原函数f(x)，然后计算原函数在，然后计算原函数在区间区间a

24、,b上的增量上的增量f(b)f(a)即可即可.该公式把计算定积分归结为求原函数的问题，该公式把计算定积分归结为求原函数的问题，.前页前页结束结束后页后页.d102xx例例1 求求的一个原函数，是被积函数因为xx233 解解.31333d 0133103102xxx莱布尼茨公式，有根据牛顿例例2 求求.d11112xx莱布尼茨公式，有根据牛顿的一个原函数，是被积函数因为 11arctan 2xx 解解11112arctand11xxx2 前页前页结束结束后页后页. d)1ln(dd12xttx例例3 3 求求221dln(1)dln(1).dxttxx 解解例例4 4 求求.darctanlim

25、200 xxxtt002200darctan darctan ddlim lim()xxxxt tt txx x 解解01(arctan )lim2( )xx x 0arctan lim2xxx201111lim.212xx前页前页结束结束后页后页例例5 5计算计算20( )df xx，其中2 ,01( )5 ,12xxf xxx解解212001( )d( )d( )df xxf xxf xx12122201015172522xdxxdxxx例计算由曲线例计算由曲线 、直线、直线 x=2 与与x轴围成的图形轴围成的图形的面积的面积2yx22230018d33axxx解由定积分的几何意义，得解由

26、定积分的几何意义，得前页前页结束结束后页后页定理定理 设函数设函数f(x)在区间在区间a,b上连续，若上连续，若满足下列三个条件：满足下列三个条件：(1) ( ), ( )ab ，( ) xt5.3.1 定积分的换元积分法定积分的换元积分法 上述公式称为定积分的换元积分公式，简称换元公式上述公式称为定积分的换元积分公式，简称换元公式.(2)当当t在在与与之间变化时，之间变化时， 单调变化且单调变化且 连续，则连续，则( )d( )( )d baf xxft tt( ) t( ) t5.3 5.3 定积分的积分方法定积分的积分方法前页前页结束结束后页后页注意：注意：(1)定积分的换元法在换元后，

27、积分上，下限也要作定积分的换元法在换元后，积分上，下限也要作相应的变换，即相应的变换，即“换元必换限换元必换限”.(2)在换元之后，按新的积分变量进行定积分运算，不在换元之后，按新的积分变量进行定积分运算，不必再还原为原变量必再还原为原变量.(3)新变元的积分限可能新变元的积分限可能，也可能，也可能，但一定要求，但一定要求满足满足 ，即，即 对应于对应于 ， 对应于对应于 .ba)(,)(tax tbx 前页前页结束结束后页后页.dcossin204xxx例例1 求求，则时，当时，当1200txtx144200sincos dd所所以以xx xtt，则令txxtxddcossin解解.5151

28、105t442200sincos dsind(sin )xx xxx方法二方法二5201sin5x 5511 .55sinsin02注注: : 用第一类换元法即凑微分法计算一些定积分时，可用第一类换元法即凑微分法计算一些定积分时，可以不引入中间变量以不引入中间变量前页前页结束结束后页后页例例2 2 计算计算14d(1ln )exxx解解1144dd(1ln )(1ln )1lneexxxxx=14ln 1ln4ln2ex 注注 用第二类换元法计算定积分时，由于引用第二类换元法计算定积分时，由于引入了新的积分变量，因此，必须根据引入的入了新的积分变量，因此，必须根据引入的变量代换，相应地变换积分

29、限变量代换，相应地变换积分限 前页前页结束结束后页后页.d194xxxtttd )111(232例例3 求求，则令ttxxtxtd2d,2解解，时，当时，当3924txtx3223294d1112d21d1 tttttttxxxln4.7 1ln22322ttt前页前页结束结束后页后页. 0d)( ,)()2( ,d)(2d)( ,)() 1 ( 0aaaaaxxfaaxfxxfxxfaaxf则上连续，且为奇函数，在若则上连续，且为偶函数，在若证明例例4前页前页结束结束后页后页0( )d dd 在在，令令，af xxxtxtaaaaxxfttfttfxxf0000d)(d)( d)(d)(aa

30、aaaxxfxfxxfxxfxxf000d)()( d)(d)(d)(00( )d( )d( )daaaaf xxf xxf xx证明证明，有时，当时，则当00txatax，则是偶函数，即如果)()()() 1 (xfxfxf.d)(2d)( 0aaaxxfxxf前页前页结束结束后页后页，则是奇函数，即如果)()()()2(xfxfxf. 0d)( aaxxf 例例4表明了连续的奇、偶函数在对称区间表明了连续的奇、偶函数在对称区间a,a上上的积分性质，即偶函数在的积分性质，即偶函数在a,a上的积分等于区间上的积分等于区间0,a上积分的两倍；奇函数在对称区间上的积分等于零，上积分的两倍；奇函数在

31、对称区间上的积分等于零，可以利用这一性质，简化连续的奇、偶函数在对称区可以利用这一性质，简化连续的奇、偶函数在对称区间上的定积分的计算间上的定积分的计算.前页前页结束结束后页后页例例5 5 求求.d1)(arctansin1122xxxx, 0d1sin 1 , 11sin1122xxxxx上为奇函数，则有在区间其中,d1)(arctand1sind1)(arctansin11221121122xxxxxxxxxx解解上为偶函数，则有在区间而1 , 1122)(arctanxx前页前页结束结束后页后页xxxxxxd1)arctan(2d1)arctan(10221122.96d1)(arcta

32、nsin31122xxxx)(arctand)arctan(2 102xx,9632)(arctan3103x前页前页结束结束后页后页例例6 证明证明,dcosdsin2020 xxxxnn，则时，当时，当，则令02,20dd2txtxtxtx证明证明ttxxnnd2sindsin0220.dcosdcos2020 xxttnn前页前页结束结束后页后页5.3.2 分部积分法分部积分法，则有、上具有连续导数在区间设函数)( )( ,)(),( xvxubaxvxu() .uv u vuv,ddd)( ,bababaxuvxvuxuvba上的定积分分别求等式两端在d| d .所所以以bbbaaau

33、vxuvu v x()d | ,由由于于bbaauvxuv前页前页结束结束后页后页例例7 求求.de102xxxxxxxxxxde2121de 102102102e代入分部积分公式，得,21ddddee22xxvxuxvxu，；，令解解).1(414121eee21022x前页前页结束结束后页后页例例8 求求.darcsin210 xx2102210210d1arcsindarcsinxxxxxxx代入分部积分公式，得21022)1d(1121421xx, d11d,ddarcsin 2xvxuxvxux，令解解. 122821822102x前页前页结束结束后页后页例例 计算计算1lndeexx 1111lnd(ln )dln deeeexxxxx x11111111(ln )d( ln