求导的运算法则

1、第二节二、反函数的求导法则二、反函数的求导法则 三、复合函数求导法则三、复合函数求导法则 四、初等函数的求导问题四、初等函数的求导问题 一、四则运算求导法则一、四则运算求导法则 函数的求导法则 第二章 思路思路:xxfxxfxfx)()(lim)(0( 构造性定义 )求导法则求导法则其它基本初等其它基本初等函数求导公式函数求导公式0 xcosx1 )(c )sin(x )ln(x证明中利用了两个重要极限初等函数求导问题初等函数求导问题本节内容一、四则运算求导法则一、四则运算求导法则 定理定理1.具有导数都在及函数xxvvxuu)()()()(xvxu及的和、 差、 积、 商 (除分母为 0的点

2、外) 都在点 x 可导, 且)()( )()() 1 (xvxuxvxu)()()()( )()()2(xvxuxvxuxvxu)()()()()()()()3(2xvxvxuxvxuxvxu下面分三部分加以证明,并同时给出相应的推论和例题 .)0)(xv此法则可推广到任意有限项的情形.证证: 设, 则vuvu )() 1 ()()()(xvxuxfhxfhxfxfh)()(lim)(0hxvxuhxvhxuh )()( )()(lim0hxuhxuh)()(lim0hxvhxvh)()(lim0)()(xvxu故结论成立.wvuwvu)( ,例如例如,(2)vuvuvu )(证证: 设, )

3、()()(xvxuxf则有hxfhxfxfh)()(lim)(0hxvxuhxvhxuh)()()()(lim0故结论成立.)()()()(xvxuxvxuhhxuh )(lim0)(xu)(hxvhxv)( )(xu)(hxv推论推论: )() 1uc )()2wvuuc wvuwvuwvu )log()3xaaxlnlnaxln1( c为常数 )例例1. 解解:xsin41(21)1sin, )1sincos4(3xxxy.1xyy 及求 y)(xx)1sincos4(213xxx23( xx)1xy1cos4)1sin43( 1cos21sin2727)1sincos4(3xx)1sin

4、cos4(3xx)()( lim0 xvhxvh)()()()()()(xvhxvhxvxuxvhxuh)()(xvxu(3)2vvuvuvu证证: 设)(xf则有hxfhxfxfh)()(lim)(0hh lim0,)()(xvxu)()(hxvhxu)()(xvxuhhxu )( )(xu)(xvhhxv )( )(xu)(xv故结论成立.)()()()()(2xvxvxuxvxu推论推论:2vvcvc( c为常数 ) )(cscxxsin1x2sin)(sinxx2sin例例2. 求证,sec)(tan2xx证证: .cotcsc)(cscxxxxxxcossin)(tan x2cosx

5、x cos)(sin)(cossinxx x2cosx2cosx2sinx2secxcosxxcotcsc类似可证类似可证:,csc)(cot2xx.tansec)(secxxx )( xf二、反函数的求导法则二、反函数的求导法则 定理定理2. y 的某邻域内单调可导某邻域内单调可导, 证证: 在 x 处给增量由反函数的单调性知且由反函数的连续性知 因此,)()(1的反函数为设yfxxfy在)(1yf0 )(1yf且 ddxy或,0 x)()(xfxxfy,0 xyyx,00yx时必有xyxfx0lim)( lim0yyxyxdd 1 )(1yf11 )(1yf111例例3. 求反三角函数及指

6、数函数的导数.解解: 1) 设,arcsin xy 则,sin yx , )2,2(y)(arcsinx)(sinyycos1y2sin11211x类似可求得?)(arccosx,11)(arctan2xx211)arccot(xx211xxxarcsin2arccos利用利用0cosy, 则2) 设, )1,0(aaayx则),0(,logyyxa)(xa)(log1ya 1ayln1aylnaaxlnxxe)e( )arcsin(x211x )arccos(x211x )arctan(x211x )cotarc(x211xaaaxxln)(xxe)e(特别当ea时,小结小结:在点 x 可导

7、, lim0 xxuxuuf)(xyxyx0limdd三、复合函数求导法则三、复合函数求导法则定理定理3.)(xgu )(ufy 在点)(xgu 可导复合函数 fy )(xg且)()(ddxgufxy在点 x 可导,证证:)(ufy 在点 u 可导, 故)(lim0ufuyuuuufy)(（当 时 )0u0故有)()(xgufuy)(uf)0()(xxuxuufxy例如,)(, )(, )(xvvuufyxydd)()()(xvufyuvxuyddvuddxvdd关键关键: 搞清复合函数结构搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导由外向内逐层求导.推广：推广：此法则可推广到多个中间变量的情形此法则

8、可推广到多个中间变量的情形.例例4. 设, )1(ln2xxy.y求解解:y112x211xx11212xx222111xxxx例例5. 设, )cos(lnxey 求.ddxy解解:xydd)cos(1xe)sin(xexe)tan(xxee思考思考: 若)(uf 存在 , 如何求)cos(lnxef的导数?xfdd)cos(ln(xef ) )cos(lnxe)cos(ln)(xeuuf这两个记号含义不同例例6. 求下列导数:. )(sh)3(;)()2(;)() 1 (xxxx解解: (1)()(lnxexxeln)ln(xxx1x)()(lnxxxexxxeln)ln(xxxx)1ln

9、(x(2)(3)2)(shxxeex2 xexexch说明说明: 类似可得;sh)(chxxaxxealn)(thx)(xaxxxchshth2shxxeex;ch12x.lnaax四、初等函数的求导问题四、初等函数的求导问题 1. 常数和基本初等函数的导数 (p77-p78) )(c0 )(x1x )(sin xxcos )(cosxxsin )(tan xx2sec )(cot xx2csc )(secxxxtansec )(cscxxxcotcsc )(xaaaxln )(xexe )(log xaaxln1 )(ln xx1 )(arcsin x211x )(arccosx211x )

10、(arctan x211x )cot(arcx211x2. 有限次四则运算的求导法则 )(vuvu )( ucuc )( vuvuvuvu2vvuvu( c为常数 )0( v3. 复合函数求导法则)(, )(xuufyxydd)()(xuf4. 初等函数在定义区间内可导初等函数在定义区间内可导, )(c0 )(sin xxcos )(ln xx1由定义证 ,说明说明: 最基本的公式uyddxudd其它公式用求导法则推出.且导数仍为初等函数且导数仍为初等函数例例7. 求解解:,1111xxxxy.y21222xxy12xx1 y1212x)2( x112xx例例8. 设),0( aaaxyxaa

11、axa解解:1aaaxayaaaxln1axaaaxaln求.yaaxln例例9. 求解解:,1arctan2sin2xeyx.y1arctan) (2xy) (2sin xe2sin xe2cosxx221x1212xx2x21arctan2x2sin xe2cos x2sin xe112xx关键关键: 搞清复合函数结构 由外向内逐层求导例例10. 设求,1111ln411arctan21222xxxy.y解解: y22)1(1121x21xx) 11ln() 11ln(22xx111412x21xx1112x21xx2121xx221x21x231)2(1xxx例例11. 设 yxxxx2sec12csc41232,2tan2cotxxy解：解：2csc2xx2sec2x2121)121(23x求.y内容小结内容小结求导公式及求导法则注意注意: 1),)(vuuvvuvu2) 搞清复合函数结构 , 由外向内逐层求导 .1. 设),99()2)(1()(xxxxxf).0(f 求解解: 方法方法1 利用导数定义.0)0()(lim)0(0 xfxffx)99()2)(1(lim0 xxxx!99方法