函数的单调性与曲线的凹凸性2

1、机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第四节第四节 函数的单调性函数的单调性 与曲线的凹凸性（二）与曲线的凹凸性（二）一、曲线凹凸的定义一、曲线凹凸的定义二、曲线凹凸的判定二、曲线凹凸的判定三、曲线的拐点及其求法三、曲线的拐点及其求法四、小结四、小结 思考题思考题机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 一、曲线凹凸的定义【问题【问题】单调性不能反映曲线的弯曲方单调性不能反映曲线的弯曲方 向；如何研究曲线的弯曲方向向；如何研究曲线的弯曲方向? ?xyoxyo1x2x)(xfy 图形上任意弧段位图形上任意弧段位于所张弦的上方于所张弦的上方xyo)(xfy

2、1x2x图形上任意弧段位图形上任意弧段位于所张弦的下方于所张弦的下方abc机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 的的（或或凸凸弧弧）上上的的图图形形是是（向向上上）凸凸在在那那末末称称如如果果恒恒有有的的（或或凹凹弧弧）上上的的图图形形是是（向向上上）凹凹在在那那末末称称恒恒有有点点上上任任意意两两如如果果对对上上连连续续在在区区间间设设 )(,2)()()2(; )(,2)()()2(,)(2121212121ixfxfxfxxfixfxfxfxxfxxiixf 【定义【定义】;)(,)(,)(),(, ,)(的的或凸或凸内的图形是凹内的图形是凹在在那末称那末称的的或凸

3、或凸内的图形是凹内的图形是凹且在且在内连续内连续在在如果如果baxfbabaxf机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 二、曲线凹凸的判定xyo)(xfy xyo)(xfy abab递增递增)(xf abba0 y递减递减)(xf 0 y【定理【定理1 1】.,)(, 0)()2(;,)(, 0)()1(),(,),(,)(上的图形是凸的上的图形是凸的在在则则上的图形是凹的上的图形是凹的在在则则内内若在若在一阶和二阶导数一阶和二阶导数内具有内具有在在上连续上连续在在如果如果baxfxfbaxfxfbababaxf 【观察【观察】机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返

4、回 结束结束 【证【证】只证只证( (1) )如图如图o1x2x0 x1 2 x,21baxx 21 xx 且且0212 xxx 记记hxxxx 1002 并记并记hxx 01 则则hxx 02由拉氏中值定理可得由拉氏中值定理可得hhxfxfhxf)()()(1000 hx 0hx 0hhxfhxfxf)()()(2000 )1,0(21 hx10 hx20 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 两式相减得两式相减得)(2)()(000 xfhxfhxf hhxfhxf)()(2010 上上再再次次用用拉拉氏氏定定理理在在区区间间对对 ,)(12 xf hhfhhxfhx

5、f )()()()(212010 ),(12 0)(221 hf 即即0)(2)()(000 xfhxfhxf)(2)()(000 xfhxfhxf 亦即亦即)2(2)()(2121xxfxfxf 凹的凹的证完证完机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 【例【例1】.3的凹凸性的凹凸性判断曲线判断曲线xy 【解【解】,32xy ,6xy 时，时，当当0 x, 0 y为为凸凸的的；在在曲曲线线0 ,( 时，时，当当0 x, 0 y为为凹凹的的；在在曲曲线线), 0 .)0 , 0(点点是曲线由凸变凹的分界是曲线由凸变凹的分界点点【注意到【注意到】【注【注】定理中区间为非闭区间

6、时仍然成立定理中区间为非闭区间时仍然成立. .这样的点称为这样的点称为拐点拐点. .机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 三、曲线的拐点及其求法 )(0的的左左右右邻邻近近异异号号在在点点 xxf 1、【定义、【定义】【注意【注意】拐点处的切线必在拐点处穿过曲线（指拐点拐点处的切线必在拐点处穿过曲线（指拐点处可导时）处可导时）. .2、拐点的求法、拐点的求法【分析【分析】连续曲线上凹凸的分界点连续曲线上凹凸的分界点( 内点内点)称为曲线的拐点称为曲线的拐点.就就是是曲曲线线的的一一个个拐拐点点则则点点 ) )(,( 00 xfx机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回

7、返回 结束结束 所以要寻求拐点所以要寻求拐点, ,只要找出只要找出f (x)符号发生变化的分界符号发生变化的分界点即可点即可. .如果如果f (x)在区间在区间i i内具有二阶连续导数内具有二阶连续导数, ,则二则二阶导数值在由负变正或由正变负的过程中阶导数值在由负变正或由正变负的过程中, ,必在分界必在分界点处的值为零点处的值为零. .即即0)(0 xf此外此外 二阶导数不存在的点也可能是拐点（如下图）二阶导数不存在的点也可能是拐点（如下图）xyo原点既是角点、又是拐点，不可导原点既是角点、又是拐点，不可导可能的拐点可能的拐点)(,( 0)( 00 xfxxf点点使使 )(,( )(00 x

8、fxxf点点不存在的不存在的 【总结【总结】机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 【方法【方法】 ;)(,(,)( )1(000即为拐点即为拐点点点变号变号左右两旁左右两旁xfxxfx .)(,(,)( )2(000不是拐点不是拐点点点不变号不变号左右两旁左右两旁xfxxfx 【求拐点的步骤【求拐点的步骤】)( )1(xfd ，求定义域求定义域 )( 0)( )2(0 xxfxf不存在的点不存在的点的根，以及的根，以及解出解出 . )( )3(点点的符号，确定是否拐的符号，确定是否拐列表考察列表考察xf 设函数设函数f (x)在在x0的某去心邻域内二阶可导的某去心邻域内二

9、阶可导, ,且且x0是是可能的拐点可能的拐点, ,则则机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 【例【例2】 . 14334的拐点及凹、凸的区间的拐点及凹、凸的区间求曲线求曲线 xxy【解【解】),(: d,121223xxy ).32(36 xxy, 0 y令令.32, 021 xx得得x)0 ,( ),32()32, 0(032)(xf )(xf 00拐点拐点拐点拐点)1 , 0()2711,32(机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 ).,32,32, 0,0 ,(凹凸区间为凹凸区间为机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 【例

10、【例3】 4是否有拐点？是否有拐点？曲线曲线xy 【解【解】34xy 212xy 的根的根是是 0 0 yx但但 时时 0 x总有总有0 y凹的凹的 故故没没有有拐拐点点曲曲线线4xy xyo4xy 此例说明了此例说明了 的点的点 也可能不是拐点也可能不是拐点. .0)( xf)(,(00 xfx【结论【结论】机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 【例【例4 4】.3的拐点的拐点求曲线求曲线xy 【解【解】,0时时当当 x,3132 xy,9435 xy. , ,0均均不不存存在在是是连连续续但但不不可可导导的的点点yyx , 0,)0 ,( y内内但在但在;0 ,(上是

11、凹的上是凹的曲线在曲线在 , 0,), 0( y内内在在.), 0上是凸的上是凸的曲线在曲线在. )0 , 0(3的拐点的拐点是曲线是曲线点点xy . )()(,(,)(000的拐点，也可能不是的拐点，也可能不是是连续曲线是连续曲线也可能也可能点点不存在不存在若若xfyxfxxf 【注意【注意】机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 【凹凸性应用【凹凸性应用】 由曲线的凹凸定义证明不等式由曲线的凹凸定义证明不等式证明证明2ln)(lnlnyxyxyyxx ), 0,(yxyx 教材教材p1529(3)【证【证】令令0 ln)( ttttf则则1ln)( ttf01)( tt

12、f ), 0( ln)( 上是凹的上是凹的在在 tttf于是由凹弧定义于是由凹弧定义 ), 0(,yxyx 有有)2(2)()(yxfyfxf 即即2ln)(lnlnyxyxyyxx 得证得证【例【例5】机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 四、小结曲线的弯曲方向曲线的弯曲方向凹凸性凹凸性; ;改变弯曲方向的点改变弯曲方向的点拐点拐点; ;凹凸性的判定凹凸性的判定 f (x) 的符号的符号.拐点的求法：拐点的求法：1. .找出可能拐点；找出可能拐点；2. .判别判别. .一阶导数反映曲线的单调性；二阶导数反一阶导数反映曲线的单调性；二阶导数反映曲线的凹凸性映曲线的凹凸性凹凸性的应用凹凸性的应用:证明不等式证明不等式可能拐点可能拐点1. f (x) = 0的点；的点；2. f (x) 不不 存在的点存在的点.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 【思考题【思考题】设设)(xf在在),(ba内二阶可导，且内二阶可导，且0)(0 xf，其中其中)