计算方法的课后答案

1、计算方法习题答案第一章 数值计算中的误差1. 什么是计算方法(狭义解释)答：计算方法就是将所求的的数学问 题简化为一系列的算术运算和逻辑运算， 以便在计算机上编程上机，求出问题的数 值解，并对算法的收敛性、稳定性和误差 进行分析、计算。2 .个实际问题利用计算机解决所采取的 五个步骤是什么答：一个实际问题当利用计算机来解决 时，应采取以下五个步骤：实际问题建立数学模型构造数值算 法f编程上机f获得近似结果 4.利用秦九韶算法计算多项式P(x) x X3 X5 4 在X 3处的值，并编程获得解。解： P(x) x5 Ox4 x3 Ox2 x 4，从而10-101-4-3-39-2472-2191

2、-38-2473-223所 以 ， 多 项 式 P（x） x x3 x5 4 在 x 3 处 的 值 P（ 3） 223 。5叙述误差的种类及来源。 答：误差的种类及来源有如下四个方 面：（1）模型误差： 数学模型是对实 际问题进行抽象，忽略一些次要因素简化 得到的，它是原始问题的近似，即使数学 模型能求出准确解，也与实际问题的真解 不同，我们把数学模型与实际问题之间存 在的误差称为模型误差。（2）观测误差： 在建模和具体运 算过程中所用的一些原始数据往往都是 通过观测、实验得来的，由于仪器的精密 性，实验手段的局限性，周围环境的变化 以及人们的工作态度和能力等因素，而使 数据必然带有误差，这

3、种误差称为观测误 差。（3）截断误差： 理论上的精确值 往往要求用无限次的运算才能得到，而实 际运算时只能用有限次运算的结果来近 似，这样引起的误差称为截断误差（或方法误差）（4）舍入误差：在数值计算过程 中还会用到一些无穷小数，而计算机受机 器字长的限制，它所能表示的数据只能是 一定的有限数位，需要把数据按四舍五入 成一定位数的近似的有理数来代替。这样 引起的误差称为舍入误差。6. 掌握绝对误差（限）和相对误差（限） 的定义公式。答：设X*是某个量的精确值，X是其近似 值，则称差e X* X为近似值X的绝对误差（简 称误差）。若存在一个正数 使| e| |x* x|,称这个数 为近似值x的绝

4、对误差限（简称 误差限或精度）。把绝对误差e与精确值X*之比er2 y称为近似值X的相对误差，称 XX为近似值X的相对误差限|可，由于真值） 是未知的，所以常常用er J e来表示相对XX误差，于是相对误差可以从绝对误差求 出。7. 近似值的规格化表示形式如何答：一般地，对于一个精确值x*，其近 似值x的规格化形式为x 0.X1X2 Xp 10m，其中 Xi 0,Xi 0,1,2, 9（i 1,2, p）， p 为正整数，m 为整数。8. 有效数字的概念是什么掌握有效数字与 误差的关系。答：若近似值x的（绝对）误差限是它 的某一位的半个单位，也就是说该近似值 准确到这一位，且从该位起直到前面第

5、一 个非零数字为止的所有数字都称为有效 数字。若近似值x的（绝对）误差限为 e |x* x 2 10mn，则称x为具有n位有效数字的 有效数，或称它精确到i0mn位，其中的每一 位数字xi,x2, x”都是x的有效数字。设精确值x*的近似值x的规格化形 式为x 0.xix2 xp 10m，若x具有n位有效数字， 则其相对误差限为er 21- 101n ；反之，若x的 2x1相对误差限为er2(X11)101n，则x至少有n位有效数字9 下列各数都是对真值进行四舍五入后获 得的近似值，试分别写出它们的绝对误差 限，相对误差限和有效数字的位数。（1） x1 0.024（2） x2 0.4135（3

6、） x3 57.50（4）x4 60000（5）x5解: （ 1）Xi三位有效数字。（2）有四位有效数字（3）X2X3有四位有效数字（4）X4X4105 -0.0005 ；0.00005 ；O.O。5 ；0.5 ；erer0.0021 ；有0.000121 ；0.000087 ；0.0000084 ；有五位有效数字。（5）X5X50.5 ；0.000000625 ；有六位有效数字10 为了使19的相对误差，问至少应取 几位有效数字解：由19的首位数是4.设近似数x有n 位有效数字，由定理可知，相对误差er(x*)占101n 0.001，解得n 3.097，即取4位有效数字，近似数的相对误差不超

7、过 %11 .已知 y P(x) x2 x 1150,x* 100,x 33 ,计算 y*P()33解:及y P(33)，并求x和y的相对误差y*p(100)(型)2 (竺)11505.55555333y P(33)(33)2(33) 115028e(x)x x 0.333e(x)e(x)x0.0101e(y) y y 22.44444er(y)|e(y)0.80158712 写出误差估计的一般公式(以二元函 数z f(x,y)为例)。解:二元函数z f(x,y)的绝对误差：e(z)|(x,y) e(x)|(x,y) e(y)xy二元函数的相对误差：曲 f 劭 f |eCye (z)|(x,y

8、)|(x,y)zxzyz|(x,y) er (X) XZ Wy）er（y）13用电表测得一个电阻两端的电压和流 过的电流范围分别为V 220 2V , I 10 0.1A，求 这个电阻的阻值R，并估算其绝对误差和相对误差。解:e(V)e(I) 0.1，又R 代所以:e(R)Re(V) |(v,i) e(I)14 若 X*|v|(Ver(R)e(V)e(R)R1.03 0.01, X2|(v,d e(I)1.99 10 2。0.450.。1，1c 2202 -10 100计算y0.10.422X1-eX22的近似值，并估计e（y）及其上界(X1X1 )(X1X1)1(eX；2eX2)2.0610

9、0.01,（X2X）解:210.45y (1.03)e2e(y)y* y(x1eX2) (x1eX2)(x； xj(x； X1) 1(eX2 eX2)12 2215 已测得某场地长为I 110m，宽d的值为d 80m，已知 |e(l) |l* l 0.2m , |e(d) d* d 0.1m，试求 面积s Id的绝对误差限和相对误差限。解：由 S Id , £ 丨,e(l) I* I 0.2m ,Id 77e(d) d d 0.1mss旳7kI,d)e(I)-kI,d)e(d)s-|(I,d) e(I)专 |(I，d) e(d)110 0.280 0.130er(s)e(s)s33.

10、4 10 o16掌握二元函数的加、减、乘、除和开 方运算的绝对误差和相对误差估计公式。解：(1)加、减运算:由于x y /x 1x y/y 1, x y/x1, xy / y1,，所以e x ye x e y ,er x y x/ x yerx y/x yer y ,e xy ex e y ,er x yx/ x y er x y/ x y ery，从而有|er xy | |x/xy | erx |1 y/ x y| |er y |(2) 乘法运算:由于xy y, xyx，xy所以e xyye xxe y , er xyer x er y，从而|exy|y|ex |x|ey|(3) 除法运算:

11、x -,(-)y yX 1Xxe()e(x) e(y),巳(一)q (x) e(y)y yy7y(4) 乘方及开方运算:由于斗nxn 1 , 所以 exn nxn 1ex,er xn ner x17求方程X2 56x 1 0的两个根，使它至少具 有4位有效数字( <783 27.982 )。解:Xi56一匚564 1 128 27.98255.782Xi-0.01786355.78219 求方程位有效数字X216x 1 0的较小正根，要求有3解:16Xi(16)_4 1 18 7.937 15.937-10.062747x115.937所以较小正根为x20.062747。20 设 In

12、；xneXdx,n 0,1,2, ,104 o(1) 证明：In e nIn 1,n 0,1,2, ,104 ；(2) 给出一个数值稳定的算法，并证明 算法的稳定性。(1)证明:11 1 n xn xn 1 xIn x e dx x de e nx e dx e nln 勺n ooo(2 )1 n 1(e 1 n )Qi 111InI n 1nen 2*1I 0I 0neneon当n无限大时，en越小，所以该算法稳定。21 用递推算法计算积分并验证算法的数值稳定性解：In1 xnI ndx,01 4x0,1,2 ,10 ,Ile2QioI210IoIlI2,n n 1 n 1.4x x x ,

13、1 ,dx ( 1 4x4，则Io1-eo414101 n 111 xdxdx)01 4x14n1II n 14所以该算法是稳定的。22设计一个计算f(x) x12 3x 24伶36的最小计算 量的算法。12 c 2436244 小 12121224用牛：f (x) x 3x 16x x x x x x 3 x x 16 x x23什么是数值稳定的算法数值计算应遵 循的六条规则是什么答：一个算法如果原始数据有误差（扰 动），而计算过程中舍入误差不增长或增 长可以控制，则称此算法是数值稳定的。 否则，称此算法是数值不稳定的。数值计算应遵循的六条规则是：（1）选用数值稳定的算法（计算公式）；（2）

14、尽量避免两个相近数相减；（3）尽量避免用绝对值很大的数作乘 数；（4）尽量避免用绝对值很小的数作除数；（5）防止大数“吃掉” （或“淹没” ） 小数（即合理安排运算顺序） ；（ 6） 简化计算步骤，减少运算次数。第二章 非线性方程的数值解法1叙述零点定理的内容。答：设函数f(x)在闭区间ab上连续且 f(a) f(b) 0，则存在 x* (a,b)使 f(x*) 0，即 f(x)在区 间(a,b)内存在实的零点，称区间a,b为方程的 有根区间。2方程求根的两个步骤是什么确定方程有 根区间的方法有哪些答：第一步 确定方程 f(x) 0的有根区 间。第二步 近似根的精确化。 确定方程有根区间的方法

15、有两种： 作图法和逐步搜索法。 3利用作图法确定方程f(x) x3 x 1 0的有根区间。3解(X) X X 1:(0,2)内至少有一个根，取步长h 0.5向右进行 根的搜索，即计算f (0.5), f (1.0), f(1.5)的值得到 f(0.5) 0, f(1.0) 0, f (1.5) 0， 从而，原方程的有根区 间缩小为(1,1.5)4.利用逐步搜索法确定方程f(x) x3 3x2 4x 3 0 的有根区间。解：由于f(0)3 0,f( 1) 5 0,于是，方程在 (10)内至少有一个实根，所以，从x 1，取 步长h 0.5向右进行根的搜索，即计算f( 0.5)得 到f( 0.5)

16、8 0，从而，原方程的有根区间缩小 为(1,寸)。5 .确定方程x3 4x2 10 0的有根区间。解：由于函数f(x) x3 4x2 10的定义域为，用逐步搜索法：由于f(0)10 0,f (2) 14 0 ,于是，方程在(0,2)内至少有一个实根，所以， 从x 0,取步长h 0.5向右进行根的搜索，即计 算 f(0.5), f(1.0), f(1.5)的值得到 f(0.5) 0, f(1) 0,f(1.5) 0，从 而原方程的有根区间缩小为(1,1.5)6.二分发的基本思想是什么解：二分发的基本思想是将方程心)0的有根区间逐步分半，通过判别f(x)在端点的 符号以及零点定理来缩小有根区间，使

17、在 足够小的区间内使方程f(x) 0有且仅有一个 根，并满足给定的精度要求为止。7 .以方程f(x) 0的有根区间为a,b为例 (f(a) 0,f(b) 0)，简述二分法的具体作法。解：第一步：将有根区间a,b分半， 用区间a,b的中点 将a,b分为两个相等区2间，计算中点的函数值f(专)。若f(专)0， 则X*宁就是方程f(x) 0的根；否则，若 f(专)0，由于f(x)在左半区间a，¥内不变 号,所以方程的有根区间变为节,b。同理，b1a1若f(¥)0，则方程的有根区间变为a,专, 从而将新的有根区间记为am，且区间am 的长度仅为区间a,b的一半，即b, a,宁。第二

18、步：对压缩了的有根区间a, 又可施行同样的方法，即用中点口将区2 间a,bi再分为两半，然后通过根的搜索判定 所求的根位于哪半个区间，从而又确定一 个新的有根区间a2,b2，该区间的长度是区 间a,b的一半。如此反复可得出一系列有根区间 且具有关系a,b a,b,ak,bk，其中后一个区间长是前一个区间长的一半，因此区间 ak,bk的长度bk ak b2ka，当k 时，区间ak,bk的 长度必趋于零，即这些区间最终收缩于一 点X*，显然X*就是方程f(x) 0的根。&以方程f(x) 0的有根区间为a,b，精度要 求为，试写出利用二分法求该方程的近似 根所需二分次数k的计算公式。解：若事

19、先给定的精度要求为0，则ln b a只需x* Xk,即k爲，此时Xk就是满足给定精度要求的近似值，k为二分法的次 数。9. 用二分法求下列方程在给定的有限区间 及精度要求下的近似值及二分次数k （编程）(1)f(x) xeX20.5,1JD 0.0001解：xk0.852600k12(2)f (x)x3 3x2 4x 31,1.5JD0.00001解：xk1.499992k15(3)f (x) X3 4x2 101,2JD 0.0005解：xk 1.364746k10(4)f (x)x3x11,1.5JD 0.00005解：xk1.324707k1310若应用二分法求方程exxsin0i在区间

20、0,1上误差不超过2的近似值，应二分多少次2解：其近似根为0.437500 , 应分k 5次11迭代法的基本思想是什么 解：迭代法是一种逐次逼近法，首先给 定方程 f (x) 0的一个粗糙的初始近似根 x0， 然后用一个固定公式反复校正这个根的 近似值使之逐步精确化，直到满足预先给 定的精度要求为止。 12迭代法的具体做法如何解：(1)将方程 f (x) 0改写成等价形式 x (x), 在根 x* 的附近任取一个初始近似根 x0。(2)构造近似根序列：将X0代入(x)计 算得到Xi(X0), 一般Xi Xo ,再把Xi作为新的近 似根代入 (x) 得到 x2(x1) ，重复上述步骤即可。13.

21、 迭代法的几何意义是什么答：方程 X X 的求根问题在几何上就 是确定曲线y X与直线y X交点p*的横坐标 X*。设迭代初值为X0，曲线y X上以X0为横 坐标的点为Po， Xo为po点的纵坐标，过P0点 引平行于x轴的直线，并与直线y x相交于 Po，其横坐标为Xi X0，然后过点P0引平行 线于y轴的直线，并与曲线y X的交点记作 P，重复上述过程可得点列Pi,P2, ,Pk,他们横 坐标依次由迭代公式Xki Xk , k 0,1所确定。 如果点列Pl，P2，Pk，逐步逼近P*，则迭代过程 收敛，否则迭代过程发散。14. 叙述迭代过程收敛定理的内容。解：假设迭代函数满足下列两个条件(1)

22、 对任意的X a,b有a (x) b ；(2) 存在正数L 1，使对任意x a,b有 (x)| L 1。则(1 )对任意初值xo a,b迭代过程Xk1 (Xk)均收敛于方程x (x)的根x* ,即*lim xk x (k )。(2)误差事后估计公式为* 1X Xk 1 L*k 1 Xk。15 .试构造收敛的迭代公式求解下列方程：cosx si nxx(1) x 4；( 2) x 4 2。解：(1)将方程X cos改写为X ' 2S：X 2 , 从而得到迭代公式Xk1上皆k 0,1,2,。4(2)将方程x 4乞改写为xl n(4 x)，从而得到迭代公式Xki ln(4 Xk)k 0,1,

23、2,16. 判断迭代法解方程f(x) x ln(x 2) 0在0,2内 的根时所用的迭代过程的收敛性。解：将方程x ln(x 2) 0改写为x ln(x 2)，从 而得到迭代公式ln(Xk 2),k 0,1,2,。则(x) |n(x 2)为迭代函数。由丨(x) 1，由定理 x 2可得该迭代法是收敛的。17. 用迭代法计算s 4,6 ''6 06%的近似值。19. 牛顿法的基本思想是什么具体做法如 何解：基本思想：牛顿迭代法实质上是一 种线性化的方法，其基本思想是将非线性 方程f(x) 0逐步归结为某种线性方程来求解 的方法。具体做法：设已知方程f(x) 0有近似 根Xk ,将f

24、(x)在Xk作一阶泰勒展开，于是方程 f(x) 0可近似地表示为 f (xk) f (Xk)(x Xk) 0是一个 线性方程，设f (Xk) 0，则X Xk于是就有牛顿迭代公式XkXkf (Xk)f (Xk)0,1,2,20. 牛顿法的几何意义是什么解：牛顿迭代法实质上是用过点(Xk，f(Xk)的 切线与X轴交点的横坐标Xki来逐步逼近曲 线y f(X)与X轴交点的横坐标X*,所以牛顿法 又叫切线法。22 .试证:用牛顿法求方程(X 2)2(X 3) 0在1,3内 的根X* 2是线性收敛的。证明：由牛顿迭代公式Xk! Xk辿几0,1,2,f (Xk)可得，(X) X f(x) 以该迭代过程是线

25、性收敛的。23.用牛顿法求方程x3 a 0，导出求立方根 3 a的迭代公式，并讨论其收敛性。解：设3Xk aXk1 Xk 1XT()2x3 2a(X) ，f (x)2x2 3x 63x 4f(X) X,k 0,1,(3 a),显然，0，所0，得牛顿迭代公式为 牛顿迭代函数(X) J，3x ?1 ,所以该迭代公式收敛。26.正割迭代法的基本思想是什么具体做法如何几何意义是什么解：基本思想：用过两点(Xk,f(Xk),(Xki,f(Xki)的直线的斜率这个差商来代替牛 堆迭代公式中的倒数f (Xk)。具体做法：对方程f(x) 0经过k次迭 代后得到近似根Xki，Xk，从而取f (Xk)(f(Xk)

26、 f(Xki)(Xk Xk 1)于是牛顿迭代公式变为Xk 1Xk炷 (X f(Xk) f(Xk i)Xki)，此公式为正割法迭代公式几何意义：正割迭代法是用过两点 A(Xk,f(Xk)， B(Xki,f(XkJ)的直线与X轴交点的横坐 标Xk i来逐步逼近曲线f(X)与X轴交点的横坐 标X*，因此正割迭代法又叫割线法。27.简述正割迭代法与牛顿迭代法的区别。 解：牛顿迭代法在计算时只需要一个初 值X0，在计算Xki只用到前一步的值 Xk,但 要计算f (Xk)；而正割法在计算时需要两个 初值X。, Xi，在计算Xki时要用到前两次的迭 代值Xki , Xk，但不用计算导数。30.使迭代法加速的

27、方法有哪些并分别写 出它们的迭代公式。答：使迭代法加速的方法有艾特肯加 速公式和斯蒂芬森方法：艾特肯加速公式：校正：再校正：2 10,1,2,改进：22 11 2 2 1 20,1,2,0,1,2,斯蒂芬森方法: 迭代：，加速：12第三章 线性方程组的数值解法1线性方程组的数值解法有哪两大类并简 述他们的概念。答：线性方程组的数值解法有两大类：（ 1 ）直接法 ：直接法就是在没有舍入误差的情况下，经过有限步算术运 算可求得方程组精确解的算法。（ 2）迭代法： 迭代法就是用某种 极限过程去逐步逼近线性方程组精确解 的方法，即先给定一个初始解向量，然后 按新的迭代公式逐步求出解的更准确值 的方法。

28、2高斯消去法的基本思想是什么 答：高斯消去法的基本思想是用逐次消 去未知量的方法把原来方程组 AX b 化为与 其同解的三角形方程组，而求解三角形方 程组就容易了。3高斯主元素消去法是在何种情况下提出 来的答：用高斯消去法解线性方程组 AX b 的消元过程中，可能会出现以下两种情 况：第一是主元素全是 0 的情形，致使消 元过程无法进行下去；第二即使主元素不 为 0，但其绝对值很小时作除数可能会导 致其他元素数量级的严重增长和舍入误 差的传播，使计算结果不可靠。所以对于 一般矩阵来说，最好每一步选取系数矩阵 中绝对值大的元素作为主元素。2)4用高斯顺序消去法， 完全主元素消去法 和列主元素消去

29、法解下列方程组，并写出 高斯顺序消去法的程序。2x1x22 x3 55x1x2x3 8 ；x13x24x3 41)3x1 x 2 4x3 7x1 2 x 2 2x3 1 。2 x1 3 x2 2 x3 0 解：（1）将方程组的增广矩阵进行初等变 化，并利用高斯顺序消去法得：2 1 2 52 1 2 52 1 2 5x115 - 1 1 80 - 7 - 8 - 90 7 8 9x21；1 - 3 - 4 - 40 - 7 -10 - 130 0 2 4x32利用完全主元素消去法得：2 1 255-1185-11851-185 -1 182125078908791-3-4-41-3 -4-402

30、34032451-18X110879X32005-5X21利用列主元素消去法得：21255 -1185 -1185-118x115-118212507890789x211-3-4 -41-3-4-402340 0 510x3 2(2)将方程组的增广矩阵进行初等变化， 并利用高斯顺序消去法得：3 -1 473-1473-147-1 2 -2-105-2405-242-3 -2001220021x12X21 ；1X32利用完全主元素消去法得:3 -1474-137-1 2 -2-1-22-1-12-3 -20-2-3204-13703150-1114-13703150-1114-10315X3X2

31、x12利用列主元素消去法得:3 -1 473-1473-147x21 o1X32-1 2 -2-105-2405-242-3 -20012200215.用矩阵的三角分解法解下列方程组，并 掌握三角分解法的编程思路。(1)-2-44188x15-16x28 ；(2)-62-20 x37123%14252X218 。315X320解:(11)对系数矩阵A作如下的.三角分解:-2 4810 0 u11 u12U13-4 18-16l 21 100U 22U 23。-6 2-201311 32 100U 33根据矩阵的乘法可得:1 Un2U112，1 U124U124 ，1 U138U138 ；1 2

32、1 U11 41212 1I21 U121 u2218 U2210，121 U131U2316U2332 -131U1161313 ，131 U121 32 1U2221321，131 U13132U23；1 U3320U33761 0 0248于是有A2 1 0010-32LU则原方程组可3 -1 100-76表示为100248210010-32x3-1100-76X31 0 0 y,2 10y23 -1 1 ya2485010-32X2200-76X310291190 ，得 X U °53858。解方程组Ly b ,即752。解方程组Ux y，即10(2)对系数矩阵a作如下的三角

33、分解:100u11l211001 311 3210U12U13u 22 U 23。0u 33根据矩阵的乘法可得:1 u111 u1111 U122121 u1121212，1 21U121121 U131U232U234131 U12132U2211325，于是有10 012A21 0013-5 100U12 2 ，1U133U133 ；U 225U221131U1131313131 U131 32U231U335 U3324。3-4 LU，则原方程组可表-24示为1 0 0123x12 1001-4x23 -5 100-24x31418。解方程组Ly b，即2014141 0 0 yi心2

34、1 0 y218 ,得y 10。解方程组Ux y，即3 -5 1 y32072123 x101-4 x200 -24 x31410 ,726 用追赶法解下列方程组2 -1x11(1)-12 -10x20 -12 - 1 x3(2)0 0-12x42-100X1-1 3 -10X22-100 -1 2-1 00-1 2-10 0-120 -24 -3 X300 - 3 5X4解：（1 ）由A LU得:1 0 0 0 1 12 2 0 0 0 10 3 3 0 0 00 0 4 4 0 0于是有 1 2, 1 1 11, 21,1,ux-31-2000-132000-143000-153yy14y

35、2yLy而X1-52-5 1-54 1-51635LU得1000112200010330000044001251,312,31212'34L 543516。2000142228-6TLy而00-3Ux y为12101516X1X2X3X434解得x351423574359734357 设定义式 X1，x ,X2，Xp 解：XX1,X2,T,XnRn掌握常用向量范数的X1max Xi22 X12X2X2XnXimax X1 , X2,2Xn,Xn1Xi2f（又叫最大范数）nP (i 1&已知解:1XiP )P。X 1,1,3,0 TX1X1，MX2，Wp。nXni 1计算Xi|X

36、max Xi max 为，x?, , Xn3 ；i n 丄X 2X12 X；x： ( Xi2)2 . 11 ；i 1n 丄1IIXIp (XiP)P (2 3P)P。i 19 设 A ij)nnRnn ,掌握常用矩阵范数的定义式mA。解:n| A1 max aij ；i 17nmaxj iaij10.max(ATA)；n1(aj)2i,j 1已知a-0 ,计算 Ai，A ,A2，Af。解:Ai maxaijnmaxj 1aijA2max(ATA)',7210；Afn 2(aj)2i,j 114 o12.解线性方程组的迭代法有哪三种方法 答：（1）雅可比迭代法（Jacobi）（2）高斯-

37、赛德尔迭代法（G-S（3）超松弛迭代法（SOR5x1 2x2 x31213设有方程组x1 4X2 2X3 202x1 3x210x33(1)写出用Jacobi迭代法解此方程组迭代 公式的分量形式和矩阵形式。2) Jacobi 迭代法是否收敛为什么解：该方程组可化为：x10.4x20.2x32.4从x20.25x10.5x35，x30.2x10.3x20.3而得到 Jacobi 迭代法的公式：x1(k1)0.4x(2k)0.2x3(k)2.4x2(k1)0.25x1(k)0.5x3(k)5其矩阵形式为x3(k1)0.2x1(k)0.3x(2k)0.3500X(k1)D 1 (UL)X(k)D 1

38、b其中D040001002100012U00 2 ，L - 100，i，b200002-3032)用 Jacobi 迭代法解此方程组是收敛521的。因为系数矩阵 A -1 4 2 是严格对角占2 - 3 10优阵，所以 Jacobi 迭代法收敛。20x1 2x2 3x 3 2414设有方程组 x1 8x2 x3 122x1 3x 2 15x3 30(1) 写出用G-S迭代法解此方程组迭代公 式的分量形式。(2) G-S迭代法是否收敛为什么x1 0.1x2 0.15x3 1. 2 解：该方程组可化为： x2 0.125x1 0.125 x3 1.5 ， 从x3 0.133 x1 0.2 x 2

39、2而得到 G-S 迭代法的公式：(k 1)x1(k 1)x2(k 1)x30.1x2( k) 0.15x3( k ) 1.20.125 x1(k 1) 0.125 x3( k ) 1.5 ，0.133x1(k 1) 0.2x2( k 1) 2（ 2）用 G-S 迭代法解此方程组是收敛的。20 2 3因为系数矩阵 A 1 8 1 是严格对角占优2 - 3 15阵，所以 G-S 迭代法收敛x1 8x2 0 x 3 715设有方程组x1 0 x2 9x3 89x1 x2 x 3 7怎样改变方程的顺序使 Jacobi 迭代法和G-S迭代法均收敛。9 x1 x2 x3 7 解：将方程组变化成x1 8x2

40、 0 x3 7 ，此x1 0 x2 9 x3 89 - 1 - 1时系数矩阵 A -1 8 0 为严格对角占优矩- 1 0 9阵，所以 Jacobi 迭代法和 G-S 迭代法均收 敛。16 设方程组a11X1a12X2b1 (an a220)迭代公式aXra?2 x?b?(k)1(kx-i(b1 a12x2a11(k)1(kx2(b2 a21x1a22(k 1,2,)。求证：i)1)由上述迭代公式产生的向量序列x(k)收敛的充要条件是a21a12a11 a22证A a11a12Aa21 a 22an0明03220321题设;，所以:aii0220aa?1012a21a 22a12a110：；2

41、1，所以由迭代法收敛的充要条件 a11 a22a21a12a11a22(B) 1，可得，上述迭代公式产生的向量序 列x(k)收敛的充要条件是18.简述迭代法的基本定理的内容。答：设有方程组X BX f，对于任意初 始解向量X(0)及任意f，迭代公式X(k 1) BX (k) f 收敛的充要条件是(B) 1。19设A为非奇异矩阵，则A的条件数的计 算公式如何掌握常用条件数的计算公式。解：Cond(A) | A IA 220.已知A -1-1 03 -1 ,求 4P , Cond(A)P (P1,2,)和(A)0-1 2的值lim Cond (An)o解:A 5 ；由(A At)1,4,16o所以

42、IAa 4 ；II Al5 o511848因为 ：A 11A-41214，所以115848Con d(A)1 5,Cond (A)216, Co nd (A)5 c)(A)1,2,421 .设(A) 4 o1 1An11 1 一 n(n为正整数)，计算An1 ,Con d(An),lim Cond (An)(n) o解:An11 n nn- n?Co nd (An)4n,lim Co nd (An)(n) o22 分析方程组需1.000 ：2囂的性态,并求其精确解；当右端项扰动为(2.000,2.000)t时，求其精确解，并计算解的相对误差解：由Cond（A） 20001，所以该方程组为病态方

43、程组。其精确解为（1,1）T ；当右端项扰动为时，其精确解为（2,0）T， 解的相对误差为e(X) |A| A1 e(b) 2000er(b)。第四章 插值法1 简述插值法方法的概念答：设函数y f(x)在区间a，b上有定义，且已知在点a Xo XiXn b上的函数值yo，yi,yn ,如存在一个简单函数p(x)使P(Xi) yi(i o,1, ,n)成立，则称P(x)为f(x)的插值函 数，点xo, xi,，xn称为插值节点，区间a,b称为 插值区间，满足的条件P(x,) y,(i 0,1, ,n)称为插 值条件，求插值函数P(x)的方法称为插值方 法。(简称插值法)。2. 求一个次数不高于

44、3的多项式P(x)使之满足插值条件：P(1)2,P(2)4,P(3)12, P (2)3.解：设 P(x) a0 a-ix a2x23a3X ，a0 a1 a2 a32a。2a1 4a2 8a3 4角军得.则根据条件得:a。aia0 3a1 9a227a3a1 4a 2 12a33a2159，a3所以:23P(x) 6 15x 9x 2x3. 已知数据表Xi-112f (Xi)-304求f(x)的2次插值多项式P(x)解：设P(X)ao a1X a2X2，则根据条件得:a。a1a23a。a1a2 0,ao2a14a24解得:所以:P(x) -x -x23267a03aia24 已知数据表Xi0

45、235f (Xi)1-3-42(1)写出f(x)的3次拉格朗日插值多项式La(x)；(2)写出f(x)的3次牛顿插值多项式N-(x) o解:(1)L-(x)yolo(x)yili(x)y2S(x) y3la(x)，其lo(x)(XX1)(xX2)(XX3)(XoX1)( XoX2)(XoX3)(xXo)(XX2)(XX3)；(X1Xo)(X1X2)(XX3)；J(X)(XXo)(XXj(xX3)(X2Xo )( X2xj( X2X3)(xXo)(XX1)(XX2)(X3Xo)(X3X1XX3X2) 0li(x)l-(x)所以:L-(x)丝x 115(2)N3(x)f(0) f 0,2 (x 0)f 0,2,3 (x 0)(x 2) f 023,5 (x 0)(x 2)(x 3)11 31 222XXX5315112x -x(x 2) -x(x 2)(x 3)351