2022年一轮复习配套讲义：第2篇第2讲函数的单调性与最值

1、第 2 讲函数的单调性与最值最新考纲 1理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义2会运用函数图象理解和研究函数的单调性. 知 识 梳 理1函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数 f(x)的定义域为 i，如果对于定义域i 内某个区间 d 上的任意两个自变量 x1，x2当 x1x2时，都有 f(x1)f(x2)， 那么就说函数 f(x)在区间 d 上是增函数当 x1x2时， 都有 f(x1)f(x2)， 那么就说函数 f(x)在区间 d 上是减函数续表图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义若函数 yf(x)在区间 d 上是增函数或减函数

2、，则称函数yf(x)在这一区间具有 (严格的 )单调性，区间 d叫做函数 yf(x)的单调区间2函数的最值前提设函数 yf(x)的定义域为 i，如果存在实数 m 满足条件(1)对于任意 xi，都有f(x)m；(3)对于任意 xi，都有精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 14 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 14 页 - - - - - - - - -(2)存在 x0i，使得 f(x0)m. f(x)m；(4)存在 x0

3、i，使得 f(x0)m. 结论m 为最大值m 为最小值辨 析 感 悟1函数单调性定义的理解(1)对于函数 f(x)，xd，若 x1，x2d 且(x1x2)f(x1)f(x2)0，则函数 f(x)在 d 上是增函数 () (2)函数 f(x)2x1 在(， )上是增函数 () (3)(教材改编 )函数 f(x)1x在其定义域上是减函数() (4)已知 f(x)x，g(x)2x，则 yf(x)g(x)在定义域上是增函数 () 2函数的单调区间与最值(5)函数 yf(x)在1， )上是增函数，则函数的单调递增区间是1， )() (6)(教材改编 )函数 y1x的单调递减区间是 (， 0)(0， )(

4、) (7)(2013 汕头模拟 )函数 ylg|x|的单调递减区间为 (0， )() (8)函数 f(x)log2(3x1)的最小值为 0.() 感悟 提升 1一个区别“函数的单调区间 ”和“函数在某区间上单调 ”的区别：前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者 “最大”区间的子集，如 (5)2两个防范一是注意函数的定义域不连续的两个单调性相同的区间，要分别说明单调区间，不可说成“在其定义域上 ”单调，如 (3)；二是若函数在两个不同的区间上单调性相同，则这两个区间要分开写，不能写成并集，如(6). 学生用书第 13 页考点一确定函数的单调性或单调区间【例 1】 (1)判断函数 f(x

5、)xkx(k0)在(0， )上的单调性(2)(2013 沙市中学月考 )求函数 ylog13(x24x3)的单调区间解(1)法一任意取x1x20，则 f(x1)f(x2) x1kx1 x2kx2(x1x2)kx1kx2(x1x2)精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 14 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 14 页 - - - - - - - - -k x2x1x1x2(x1x2) 1kx1x2. 当kx1x20 时，x1

6、x20,1kx1x20，有 f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f(x2)，此时，函数 f(x)xkx(k0)在(0，k上为减函数；当 x1x2 k时，x1x20,1kx1x20，有 f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f(x2)，此时，函数 f(x)xkx(k0)在k， )上为增函数；综上可知，函数 f(x)xkx(k0)在(0，k上为减函数；在 k， )上为增函数法二f(x)1kx2，令 f(x)0，则 1kx20，解得 xk或 xk(舍)令 f(x)0，则 1kx20，解得kxk.x0， 0 xk. f(x)在(0，k)上为减函数；在 ( k，)上为增函数，也称为 f(x)在(0，k

7、上为减函数；在 k， )上为增函数(2)令 ux24x3，原函数可以看作ylog13u 与 ux24x3的复合函数令 ux24x30.则 x1 或 x3. 函数 ylog13(x24x3)的定义域为(， 1)(3， )又 ux24x3 的图象的对称轴为x2，且开口向上，ux24x3 在(， 1)上是减函数，在 (3， )上是增函数而函数ylog13u 在(0， )上是减函数，ylog13(x24x3)的单调递减区间为 (3， )，单调递增区间为 (， 1)规律方法 (1)对于给出具体解析式的函数，证明或判断其在某区间上的单调性有两种方法：可以利用定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、定号、下

8、结论)求解；可导函数则可以利用导数解之(2)复合函数 yfg(x)的单调性规律是 “同则增，异则减 ”，即 yf(u)与 ug(x)若具有相同的单调性，精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 14 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 14 页 - - - - - - - - -则 yfg(x)为增函数，若具有不同的单调性，则yfg(x)必为减函数【训练 1】 试讨论函数 f(x)axx21，x(1,1)的单调性 (其中 a0)

9、解法一(定义法) 任取1x1x21，则 f(x1)f(x2)ax1x211ax2x221a x2x1x1x21x211 x221，1x1x21，|x1|1，|x2|1，x2x10，x2110，x2210，|x1x2|1，即1x1x21，x1x210，x2x1x1x21x211 x2210，因此，当 a0 时，f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f(x2)，此时函数在 (1,1)为减函数；当 a0 时，f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f(x2)，此时函数在 (1,1)为增函数法二(导数法 ) f(x)a x21 2ax2x212a x21x212当 a0 时，f(x)0；当 a0 时，f

10、(x)0. 当 a0时，f(x)在(1,1)上为减函数；当 a0 时，f(x)在(1,1)上为增函数考点二利用单调性求参数【例 2】 已知函数 f(x)ax1x1. (1)若 a2，试证 f(x)在(， 2)上单调递减(2)函数 f(x)在(， 1)上单调递减，求实数a 的取值范围(1)证明任设 x1x22，精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 14 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 14 页 - - - - - - -

11、- -则 f(x1)f(x2)2x11x112x21x21x1x2x11 x21. (x11)(x21)0，x1x20，f(x1)f(x2)0，f(x1)f(x2)，f(x)在(， 2)上单调递减(2)解法一f(x)ax1x1aa1x1，设 x1x20. 由于 x1x21，x1x20，x110，x210，a10，即 a0 时，它有两个减区间为 (，1)和(1，)，故只需区间 1,2是 f(x)和 g(x)的减区间的子集即可，则a 的取值范围是 0a1. 答案(1)c(2)d 学生用书第 14 页考点三利用函数的单调性求最值【例 3】 已知 f(x)x22xax，x1， )(1)当 a12时，求

12、函数 f(x)的最小值；(2)若对任意 x1， )，f(x)0 恒成立，试求实数a 的取值范围审题路线(1)当 a12时，f(x)为具体函数 求出 f(x)的单调性，利用单调性求最值(2)当 x1，)时， f(x)0 恒成立 转化为 x22xa0 恒成立解(1)当 a12时，f(x)x12x2，联想到 g(x)x1x的单调性，猜想到求f(x)的最值可先证明f(x)的单调性任取 1x1x2，则 f(x1)f(x2)(x1x2)12x112x2x1x22x1x212x1x2，1x1x2，x1x21，2x1x210. 又 x1x20，f(x1)f(x2)，f(x)在1， )上是增函数，f(x)在1，

13、 )上的最小值为 f(1)72. (2)在区间 1， )上，f(x)x22xax0 恒成立，则x22xa0，x1?a x22x ，x1，等价于 a 大于函数 (x)(x22x)在1， )上的最大值只需求函数 (x)(x22x)在1， )上的最大值精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 14 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 14 页 - - - - - - - - - (x)(x1)21在1， )上递减，当 x1 时， (x

14、)最大值为 (1)3. a3，故实数 a 的取值范围是 (3， )规律方法 求函数最值的常用方法：(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值；(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值；(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等 ”的条件后用基本不等式求出最值；(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值；(5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值【训练 3】对任意两个实数 x1， x2， 定义 max(x1， x2)x1，x1x2，x2，x1x2，若 f(x)x22， g(x)

15、x， 则 max(f(x)，g(x)的最小值为 _解析f(x)g(x)x22(x)x2x2，当 x22(x)x2x20 时，x1 或 x2；当2x1 时，x2x20，即 f(x)g(x)，所以 max(f(x)，g(x)x，2x1，x22，x1或x2，作出图象如图所示，由图象可知函数的最小值在a 处取得，所以最小值为f(1)1. 答案1 1求函数的单调区间：首先应注意函数的单调区间是其定义域的子集；其次掌握一次函数、二次函数等基本初等函数的单调区间求函数单调区间的常用方法：根据定义、利用图象、单调函数的性质及利用导数的性质2复合函数的单调性：对于复合函数yfg(x)，若 tg(x)在区间 (a

16、，b)上是单调函数，且yf(t)在区间(g(a)， g(b)或者(g(b)， g(a)上是单调函数，若 tg(x)与 yf(t)的单调性相同 (同时为增或减 )， 则 yfg(x)为增函数；若 tg(x)与 yf(t)的单调性相反，则yfg(x)为减函数简称：同增异减3函数的值域常常化归为求函数的最值问题，要重视函数的单调性在确定函数最值过程中的应用精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 14 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，

17、共 14 页 - - - - - - - - -易错辨析 1分段函数单调性的判定【典例】 (2013金华模拟 )f(x)ax，x1，4a2x2，x1，是 r 上的单调递增函数， 则实数 a 的取值范围是()a(1， ) b4,8) c(4,8) d(1,8) 错解由题意知a1，4a20，解得 1a8. 答案d 错因忽视函数在定义域两段区间分界点上的函数值的大小正解f(x)在 r 上单调递增，则有a1，4a20，4a22a，解得：4a8. 答案b 防范措施 对于分段函数的单调性，有两种基本的判断方法：一保证各段上同增(减)时，要注意上、下段间端点值间的大小关系；二是画出这个分段函数的图象，结合函

18、数图象、性质进行直观的判断研究函数问题离不开函数图象，函数图象反映了函数的所有性质，在研究函数问题时要时时刻刻想到函数的图象，学会从函数图象上去分析问题、寻找解决问题的方法【自主体验】(2013 日照模拟 )已知 f(x)3a1 x4a，x1，logax，x1，是(， )上的减函数，那么a 的取值范围是()a(0,1) b. 0，13c.17，13d.17，1解析当 x1 时，loga10，若 f(x)为 r 上的减函数，则 (3a1)x4a0 在 x1 时恒成立精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 14 页 - - - - -

19、 - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 14 页 - - - - - - - - -令 g(x)(3a1)x4a，则必有3a10，0a1，g 1 0，即3a10，0a1，3a14a0?17a13. 答案c 对应学生用书 p229 基础巩固题组(建议用时： 40 分钟) 一、选择题1下列函数中，在区间 (0， )上为增函数的是 ()ayln(x2) byx1 cy12xdyx1x解析函数 yln(x2)在(2，)上是增函数；函数yx1在1，)上是减函数；函数y12x在(0，)上是减函数；函数yx1x在(0,1)上是减

20、函数，在 (1，)上是增函数综上可得在(0，)上是增函数的是yln(x2)，故选 a. 答案a 2已知函数 f(x)2ax24(a3)x5 在区间 (， 3)上是减函数，则a 的取值范围是 ()a. 0，34b. 0，34c. 0，34d. 0，34解析当 a0 时，f(x)12x5 在(， 3)上是减函数；当 a0时，由a0，4 a34a3，得 0a34. 综上，a 的取值范围是 0a34. 答案d 3(2013 泉州月考 )已知函数 f(x)为 r 上的减函数，则满足f1xf(1)的实数 x 的取值范围是 ()a(1,1) b(0,1) 精品学习资料 可选择p d f - - - - -

21、- - - - - - - - - 第 9 页，共 14 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 14 页 - - - - - - - - -c(1,0)(0,1) d(， 1)(1， ) 解析由 f(x)为 r 上的减函数且 f1x1，x0，即|x|1，x0.1x0 或 0 x1，函数 f(x)logax 在区间 a,2a上的最大值与最小值之差为12，则 a_. 解析由 a1知函数 f(x)在a,2a上为单调增函数，则loga(2a)logaa12，解得 a4. 答案4 8设函数 f(x)xa，x1，2x，x1的最小值为 2，则实数 a 的取值范围是 _解析由题意知，当 x1 时，f(x)min2，故 1a2，a3. 答案3， ) 三、解答题9试讨论函数