2022年一轮复习配套讲义：第7篇第2讲空间几何体的表面积与体积

1、第 2 讲空间几何体的表面积与体积最新考纲 1了解球体、柱体、锥体、台体的表面积的计算公式2了解球体、柱体、锥体、台体的体积计算公式.知 识 梳 理1柱、锥、台和球的侧面积和体积面积体积圆柱s侧2 rh vsh r2h圆锥s侧 rl v13sh13 r2h 13 r2l2r2圆台s侧(r1r2)l v13(s上s下s上s下)h13 (r21r22r1r2)h直棱柱s侧ch vsh正棱锥s侧12chv13sh正棱台s侧12(cc)hv13(s上s下s上s下)h球s球面4 r2v43 r32.几何体的表面积(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、

2、扇形、扇环形；它们的表面积等于侧面积与底面面积之和辨 析 感 悟1柱体、锥体、台体与球的面积(1)圆柱的一个底面积为s，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2 s.() (2)设长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为3 a2.() 2柱体、锥体、台体的体积精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 17 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 17 页 - - - - - - - - -

3、(3)(教材练习改编 )若一个球的体积为4 3 ，则它的表面积为12.( ) (4)(2013 浙江卷改编 )若某几何体的三视图 (单位： cm)如图所示，则此几何体的体积等于24 cm3.() (5)在abc 中，ab2，bc3，abc120 ，使 abc 绕直线 bc 旋转一周所形成的几何体的体积为 9.( ) 3柱体、锥体、台体的展开与折叠(6)将圆心角为23，面积为 3 的扇形作为圆锥的侧面，则圆锥的表面积等于4.( ) (7)(2014 青州模拟改编 )将边长为 a 的正方形 abcd 沿对角线 ac 折起，使 bda，则三棱锥 dabc 的体积为312a3.() 感悟 提升 两点注

4、意一是求几何体的体积，要注意分割与补形将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解二是几何体展开、折叠问题，要抓住前后两个图形间的联系，找出其中的量的关系. 学生用书第 109 页考点一空间几何体的表面积【例 1】 (2014 日照一模 )如图是一个几何体的正视图和侧视图，其俯视图是面积为8 2的矩形则该几何体的表面积是()a8 b2082 c16 d248 2 解析由已知俯视图是矩形，则该几何体为一个三棱柱，根据三视图的性质，俯视图的矩形宽为2 2，由面积 8 2，得长为 4，则该几何体的表面积为s212222 24224208 2. 精品学习资料 可选择p d f - - -

5、- - - - - - - - - - - 第 2 页，共 17 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 17 页 - - - - - - - - -答案b 规律方法 (1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和【训练 1】

6、 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为_解析如图所示：该几何体为长为 4，宽为 3，高为 1 的长方体内部挖去一个底面半径为1，高为 1 的圆柱后剩下的部分s表(413431)22 112 1238. 答案38 考点二空间几何体的体积【例 2】 (1)(2013 新课标全国卷 )某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()a168 b88c1616 d816(2)(2014 福州模拟 )如图所示，已知三棱柱abca1b1c1的所有棱长均为 1，且 aa1底面 abc，则三棱锥 b1abc1的体积为 ()a.312b.34c.612d.64精品学习资料 可选择p d f - -

7、- - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 17 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 17 页 - - - - - - - - -解析(1)由三视图可知该几何体由长方体和圆柱的一半组成其中长方体的长、宽、高分别为4,2,2，圆柱的底面半径为2、高为 4.所以 v2241222 4168.故选 a. (2)三棱锥 b1abc1的体积等于三棱锥ab1bc1的体积，三棱锥ab1bc1的高为32，底面积为12，故其体积为131232312. 答案(1)a(2)a 规律方法 (1

8、)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系， 利用相应体积公式求解； (2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解【训练 2】 如图所示，已知e，f 分别是棱长为a 的正方体 abcda1b1c1d1的棱 a1a，cc1的中点，求四棱锥 c1b1edf 的体积解法一连接 a1c1，b1d1交于点 o1，连接 b1d，ef，过 o1作 o1hb1d 于 h. efa1c1，且 a1c1?平面 b1edf，ef? 平面 b1edf. a1c1平面 b1edf. c1到平面 b1edf 的距离

9、就是 a1c1到平面 b1edf 的距离平面 b1d1d平面 b1edf，且平面 b1d1d平面 b1edfb1d，o1h平面 b1edf，即 o1h 为棱锥的高b1o1hb1dd1，精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 17 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 17 页 - - - - - - - - -o1hb1o1 dd1b1d66a. o1h13122a3a66a16a3. 法二连接 ef，b1d. 设 b1到平面

10、c1ef 的距离为 h1，d 到平面 c1ef 的距离为 h2，则 h1h2b1d12a. 由题意得，13 sc1ef (h1h2)16a3. 考点三球与空间几何体的接、切问题【例 3】 (1)(2013 福建卷)已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、侧视图、俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为2 的正方形，则该球的表面积是_ (2)(2013 辽宁卷 )已知直三棱柱 abca1b1c1的 6 个顶点都在球 o 的球面上，若ab3，ac4，abac，aa112，则球 o 的半径为(a.3 172b210 c.132d3 10 审题路线(1)正方体内接于球 ? 正方

11、体的体对角线长等于球的直径? 求得球的半径 ? 代入球的表面积公式(注意只算球的表面积 )(2)bc 为过底面 abc的截面圆的直径 ? 取 bc 中点 d，则球心在 bc 的垂直平分线上，再由对称性求解解析(1)由三视图知，棱长为2 的正方体内接于球，故正方体的体对角线长为2 3，即为球的直径所以球的表面积为s42 32212.精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 17 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 17 页 - -

12、 - - - - - - -(2)因为在直三棱柱中ab3，ac4，aa112，abac，所以 bc5，且 bc 为过底面 abc 的截面圆的直径，取 bc 中点 d，则 od底面 abc，则 o 在侧面 bcc1b1内，矩形 bcc1b1的对角线长即为球的直径，所以 2r1225213，即 r132. 答案(1)12 (2)c 学生用书第 110 页规律方法解决球与其他几何体的切、接问题，关键在于仔细观察、分析，弄清相关元素的关系和数量关系，选准最佳角度作出截面 (要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系 )，达到空间问题平面化的目的【训练 3】 (2013新课

13、标全国卷 )如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为()a.5003cm3b.8663cm3c.1 372 3cm3d.2 048 3cm3解析作出该球的轴截面，如图所示，依题意be2 cm，aece4 cm，设 dex，故 ad2x，因为 ad2ae2de2，解得 x3(cm)，故该球的半径 ad5 cm，所以 v43 r35003(cm3)答案a 考点四几何体的展开与折叠问题【例 4】 (1)如图所示，在边长为4 的正方形纸片 abcd 中，ac 与 bd 相交于

14、 o，剪去 aob，将剩余部分沿 oc，od 折叠，使 oa，ob 重合，则以 a，b，c，d，o 为顶点的四面体的体积为 _精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 17 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 17 页 - - - - - - - - -(2)如图所示，在直三棱柱abca1b1c1中， abc 为直角三角形， acb90 ，ac4，bccc13.p 是 bc1上一动点，则 cppa1的最小值为 _(其中 pa1表

15、示 p，a1两点沿棱柱的表面距离 )解析(1)折叠后的四面体如图所示oa，oc，od 两两相互垂直，且oaocod2 2，体积 v13socd oa1312(2 2)38 23. (2)由题意知，把面 bb1c1c 沿 bb1展开与面 aa1b1b 在一个平面上，如图所示，连接a1c 即可则 a1、p、c 三点共线时， cppa1最小，acb90 ，ac4，bcc1c3，a1b1ab42325，a1c1538，a1c823273.故 cppa1的最小值为73. 答案(1)8 23(2) 73 规律方法 (1)有关折叠问题，一定要分清折叠前后两图形(折前的平面图形和折叠后的空间图形)各元素间的位

16、置和数量关系，哪些变，哪些不变(2)研究几何体表面上两点的最短距离问题，常选择恰当的母线或棱展开， 转化为平面上两点间的最短距离问题【训练 4】 如图为一几何体的展开图，其中abcd 是边长为 6 的正方形， sdpd6，crsc，aqap，点 s，d，a，q 共线，点 p，d，c，r共线，沿图中虚线将它们折叠起来，使p，q，r，s四点重合，则需要 _个这样的几何体，可以拼成一个棱长为6 的正方体精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 17 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - -

17、- - - - - - - - - 第 7 页，共 17 页 - - - - - - - - -解析由题意知，将该展开图沿虚线折叠起来以后，得到一个四棱锥pabcd(如图所示 )，其中 pd平面 abcd，因此该四棱锥的体积v1366672，而棱长为6 的正方体的体积v666216，故需要216723 个这样的几何体，才能拼成一个棱长为6 的正方体答案3 1对于基本概念和能用公式直接求出棱柱、棱锥、棱台与球的表面积的问题，要结合它们的结构特点与平面几何知识来解决2求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面，例如三棱锥的三条侧棱两两垂直，我们就选择其中的一个侧面作为底面，另一条侧棱作为高

18、来求体积3与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径 . 方法优化 5特殊点在求解几何体的体积中的应用【典例】 (2012 山东卷 )如图，正方体 abcda1b1c1d1的棱长为 1，e，f 分别为线段 aa1，b1c 上的点，则三棱锥 d1edf 的体积为 _精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共

19、17 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 17 页 - - - - - - - - -一般解法 三棱锥 d1edf 的体积即为三棱锥fdd1e 的体积因为 e，f 分别为 aa1，b1c 上的点，所以在正方体abcda1b1c1d1中edd1的面积为定值12，f 到平面 aa1d1d 的距离为定值1，所以1312116. 优美解法 e 点移到 a 点，f 点移到 c 点，则131211116. 答案16反思感悟 (1)一般解法利用了转化思想，把三棱锥d1edf 的体积转化为三棱锥fdd1e

20、 的体积，但这种解法还是难度稍大，不如采用特殊点的解法易理解、也简单易求(2)在求几何体体积时还经常用到等积法、割补法【自主体验】如图，在三棱柱 abca1b1c1中，侧棱 aa1与侧面 bcc1b1的距离为 2，侧面 bcc1b1的面积为 4，此三棱柱 abca1b1c1的体积为 _解析补形法将三棱柱补成四棱柱，如图所示记 a1到平面 bcc1b1的距离为 d，则 d2. 则 v三棱柱12v四棱柱12424. 答案4 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 17 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d

21、f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 17 页 - - - - - - - - -对应学生用书 p309 基础巩固题组(建议用时： 40 分钟) 一、选择题1(2013 广东卷 )某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是()a4 b.143c.163d6 解析由四棱台的三视图可知该四棱台的上底面是边长为1 的正方形；下底面是边长为2 的正方形，高为 2.由棱台的体积公式可知该四棱台的体积v13(12122222)2143，故选 b. 答案b 2(2013 湖南卷 )已知棱长为 1 的正方体的俯视图是一个面积为1 的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能

22、等于 ()a1 b. 2 c.212d.212解析由俯视图的面积为1 可知，该正方体的放置如图所示，当正视图的方向与正方体的侧面垂直时，正视图的面积最小，其值为1，当正视图的方向与正方体的对角面bdd1b1或 acc1a1垂直时，正视图的面积最大，其值为2，由于正视图的方向不同，因此正视图的面积s1，2故选 c. 答案c 3(2014 许昌模拟 )如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1 的正方形，俯视图是一个直径为 1 的圆，那么这个几何体的表面积为()精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 17 页 - - -

23、- - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 17 页 - - - - - - - - -a4 b.32 c3 d2解析由三视图可知，该几何体是一个圆柱，s表2 122 1132. 答案b 4. 如图，在多面体 abcdef 中，已知 abcd 是边长为 1 的正方形，且 ade，bcf 均为正三角形， efab，ef2，则该多面体的体积为 ()a.23b.33c.43d.32解析如图，分别过点 a，b 作 ef 的垂线，垂足分别为g，h，连接 dg，ch，容易求得 eghf12，aggdbhhc32， sagd

24、sbhc1222124， vveadgvfbhcvagdbhc2veadgvagdbhc132412224123.故选 a. 答案a 5(2012 新课标全国卷 )平面 截球 o 的球面所得圆的半径为1，球心 o 到平面 的距离为2，则此球的体积为 ()a.6 b4 3 c4 6 d6 3解析精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 17 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 17 页 - - - - - - - - -如图，

25、设截面圆的圆心为o，m 为截面圆上任一点，则oo2，om1，om2213，即球的半径为3，v43(3)34 3.答案b 二、填空题6(2013 辽宁卷 )某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是_解析由三视图可知该几何体是一个圆柱内部挖去一个正四棱柱，圆柱底面圆半径为2，高为 4，故体积为 16 ；正四棱柱底面边长为2，高为 4，故体积为 16，所以几何体的体积为16 16. 答案16 16 7(2013 陕西卷 )某几何体的三视图如图所示，则其体积为_解析该几何体为一个半圆锥，故其体积为v1312 12223. 答案38(2013 江苏卷 )如图，在三棱柱 a1b1c1abc 中，d，e

26、，f 分别是 ab，ac，aa1的中点，设三棱锥 fade 的体积为 v1，三棱柱 a1b1c1abc 的体积为 v2，则 v1v2_. 解析设三棱柱 a1b1c1abc 的高为 h，底面三角形 abc 的面积为 s，则 v11314s12h124sh124v2，即 v1v2124. 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 17 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 17 页 - - - - - - - - -答案124 三

27、、解答题9如图，已知某几何体的三视图如下(单位： cm)：(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法 )；(2)求这个几何体的表面积及体积解(1)这个几何体的直观图如图所示(2)这个几何体可看成是正方体ac1及直三棱柱 b1c1qa1d1p 的组合体由 pa1pd12 cm，a1d1ad2 cm，可得 pa1pd1.故所求几何体的表面积s522222212( 2)2224 2(cm2)，体积 v2312(2)2210(cm3)10有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r 的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度解如图所示，作出轴截面，

28、因轴截面是正三角形，根据切线性质知当球在容器内时，水的深度为3r，水面半径 bc 的长为3r，则容器内水的体积为vv圆锥v球13(3r)2 3r43 r353 r3，精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页，共 17 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页，共 17 页 - - - - - - - - -将球取出后，设容器中水的深度为h，则水面圆的半径为33h，从而容器内水的体积为v1333h2h19 h3，由 vv，得 h315r.

29、能力提升题组(建议用时： 25 分钟) 一、选择题1已知球的直径 sc4，a，b 是该球球面上的两点， ab3，ascbsc30 ，则棱锥 sabc的体积为 ()a3 3 b2 3 c. 3 d1 解析由题意知，如图所示，在棱锥sabc 中，sac，sbc都是有一个角为 30 的直角三角形，其中 ab3，sc4，所以 sasb2 3，acbc2，作 bdsc于 d 点，连接 ad，易证 sc平面abd，因此 vsabc1334( 3)243. 答案c 2(2013 临沂一模 )具有如图所示的正视图和俯视图的几何体中，体积最大的几何体的表面积为()a3 b73 2 c.72 d14 解析由正视图和俯视图可知， 该几何体可能是四棱柱或者是水平放置的三棱柱，或水平放置的圆柱 由图可知四棱柱的体积最大四棱柱的高为1，底面边长分别为1,3，所以表面积为2(131131)14. 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 14 页，共 17 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f -