天津科技大学2014-2015线性代数期末考试考点及习题

1、天津科技大学2014-2015线性代数期末考试考点及习题天津科技大学2014-2015线性代数期末考试考点及习题一、填空题（共15分，每小题3分）1.余子式和代数余子式；2.行列式计算；3.求矩阵的秩；4.线性相关与线性无关，求参数；5.向量正交，求参数。二、选择题（共15分，每小题3分）1.矩阵与行列式的性质；2. 线性相关与线性无关）；3.方程组的有解充分必要条件；4.特征值的性质；5.相似矩阵性质。三、（10分）矩阵乘法，转置，行列式计算。四、（10分）求解矩阵方程。五、（10分）求解非齐次方程组（用对应的齐次线性方程组的基础解系表示通解）。六、（10分）极大无关组。七、（10分）用施密

2、特正交化方法把向量组正交化(不需要单位化).八（12分）求矩阵的特征值与特征向量，并把矩阵对角化（二阶方阵）。九、（8分）解的结构。一、 填空题（共15分，每空3分）1 行列式的余子式和代数余子式；例1、行列式中元素6的余子式的值为_-12_；代数余子式的值为_12_. 例2、 设三阶行列式，则元素2的代数余子式的值为_-20_.2. 行列式计算；(一个具体的行列式，不超过四阶，不含字母)例1 行列式的值为_12_ 例2 _120_.例3_2_.3.求矩阵的秩；（一个具体的矩阵）要点：矩阵的秩等于行阶梯形矩阵中非零行的行数。例1. 设矩阵，则的秩为( 1 ).例2. 设矩阵，则的秩为( 2 )

3、.4.线性相关与线性无关，求参数；要点：1）三个三维向量线性相关当且仅当它们构成的矩阵的行列式等于0. 2）两个向量线性相关当且仅当它们的分量对应成比例例1. 若向量组线性相关，则_-4_.例2. 若向量组线性无关，则_-4_.例3若向量组与线性相关，则_12_.5.向量正交，求参数。（两个或者三个向量正交）要点：向量正交当且仅当例1 设向量与向量正交，则_3_.例2 设三个向量 ，两两正交，则_0_.二、选择题（共15分，每小题3分）1.矩阵与行列式的性质；（比如各种运算律）例1. 设、为两个阶方阵，则（ B ）.(A) ；(B) ； (C) ； (D) .例2. 设为二阶方阵，且，则（ A

4、 ）.(A) ； (B) ； (C) ； (D) .例3.设、为两个阶方阵，则（ B ）.(A) ；(B)； (C)； (D). 2. 线性相关与线性无关；例1. 关于向量组的线性相关性，下列说法正确的是（ B ）.(A) 如果线性相关，则向量组中每一个向量都可以用其余个向量线性表示； (B) 如果个维向量线性相关，那么它们所构成的方阵行列式等于零； (C) 如果线性相关，则存在一组全不为零的数，使得； (D) 如果维向量线性无关，则必存在维向量，使得线性无关.例2. 下列向量组中，线性无关的是（ C ）.(A) ； (B) ； (C) ；(D) .3.方程组有解的充分必要条件；例1 元线性方

5、程组有解的充分必要条件是.例2 元线性方程组有唯一解的充分必要条件是例3 元线性方程组有无穷多组解的充分必要条件是.例4 元齐次线性方程组仅有零解的充分必要条件是.例5 元齐次线性方程组有无穷多解的充分必要条件是.4.特征值的性质；要点：1. 上（下）三角矩阵，对角矩阵的特征值是主对角线上的元素 2. 3. 4.若A的特征值是，则的特征值是。例1 . 设3是方阵的特征值，则矩阵具有特征值为（ D ）.(A)10； (B)3； (C)5； (D)6.例2. 设3是方阵的特征值，则矩阵具有特征值为（ D ）.(A)10； (B)3； (C)5； (D)6.例3矩阵的特征值为_1, 2, 3_.例3

6、.设为阶方阵，则 ( C ).(A) 的全部特征向量构成向量空间； (B) 有个线性无关的特征向量；(C) 的全部特征值的和为；(D) 的全部特征值的积为.例4矩阵的特征值可能是（ A ）.(A) 1，4，0； (B) 1，3，0； (C) 2，4，0； (D) 2，4，.5.相似矩阵性质要点：1. 如果,则2.如果,则，A和B可逆性相同 3. 如果,则A和B具有相同的特征多项式和特征值，具有相同的迹 4. 如果,则，5.例1设、为阶方阵，则、的关系不正确的是( D ).(A) ； (B) ； (C) ； (D) .例2. 与矩阵不相似的矩阵是（ C ）.(A) ； (B) ； (C) ； (

7、D) .三、（10分）矩阵乘法，转置，行列式计算。例1.已知，求：(1) ；(2) .解：(1) ； (2) 四、（10分）求解矩阵方程。例 1.解矩阵方程，其中，.解：，故可逆，且.五、（10分）求非齐次线性方程组的通解（要求用对应的齐次线性方程组的基础解系表示通解）。例1.求非齐次线性方程组的通解（用对应的齐次线性方程组的基础解系表示通解）.解：对增广矩阵施行初等行变换：（3分）（5分）对应齐次线性方程组的一个基础解系为（7分），所求方程组的一个特解为（9分），于是所求方程组的通解为，.（10分）例2.求线性方程组的通解. （用对应的齐次线性方程组的基础解系表示通解）.解：对方程组的增广矩

8、阵进行初等行变换，得对应齐次线性方程组的一个基础解系为，所求方程组的一个特解为，于是所求所求方程组的通解为，.六、（10分）求向量组的秩，极大无关组，并把不属于这个向量组的其余向量用极大无关组线性表示。要点：1.所给的向量是列向量，直接使用初等行变换 2.所给的向量是行向量，需要先转置，再进行初等行变换例1. 求向量组 ，的秩和一个极大无关组，并把其余向量用该极大无关组线性表示. 解：对进行初等行变换，得（5分）于是向量组的秩为2，（6分）它的一个极大无关组为，（8分）且有， (10分)例2.求向量组 ，的秩和一个极大无关组，并把其余向量用该极大无关组线性表示. 解：对进行初等行变换，得（5分

9、）于是向量组的秩为，（6分）它的一个极大无关组为，（8分）且有 ，(10分).七、（10分）用施密特正交化方法把向量组正交化.（不需要单位化，只包含两个或者三个向量）例1 用施密特正交化方法把线性无关的向量组 ，正交化. 解：取（2分） （6分）（10分）例2用施密特正交化方法把线性无关的向量组，正交化.解：令（2分）（6分）（10分）八（12分）已知一个二阶实对称矩阵A，求矩阵A的特征值与特征向量，并求一个正交矩阵P，把矩阵A对角化。例1. 设矩阵(1)求矩阵的特征值与特征向量(6分)；(2)求可逆矩阵，使得为对角矩阵(6分).解：，特征值为.对于，解方程组，即，得特征向量， 对于，解方程组，即，得特征向量，令，则为正交矩阵，且.例2.（共12分）设矩阵，(1)求矩阵的特征值与特征向量(6分)；(2)求正交矩阵，使得为对角矩阵(6分).解：(1)，特征值，（2分）对