高一数学《函数的对称性》知识点总结

1、高一数学函数的对称性学问点总结一、函数自身的对称性探究定理 1. 函数 y=f的图像关于点a 对称的充要条件是 f+f=2b证明：（必要性）设点p 是 y=f图像上任一点，点p 关于点 a 的对称点p' （ 2a x，2b y）也在 y=f图像上， 2b y=f即 y+f=2b故 f+f=2b，必要性得证；（充分性）设点p 是 y=f图像上任一点，就y0=ff+f=2b f+f=2b，即 2b y0=f ；故点 p' （ 2a x0，2b y0）也在 y=f图像上，而点p 与点 p' 关于点 a 对称，充分性得征；推论：函数y=f的图像关于原点o对称的充要条件是f+f=

2、0定理 2. 函数 y=f的图像关于直线x=a 对称的充要条件是f=f即 f=f（证明留给读者）推论：函数y=f的图像关于y 轴对称的充要条件是f=f定理 3. 如函数 y=f图像同时关于点a 和点 b 成中心对称（ ab），就 y=f是周期函数，且2a b 是其一个周期；如函数 y=f图像同时关于直线x=a 和直线 x=b 成轴对称（ ab），就 y=f是周期函数，且2a b 是其一个周期；如函数y=f图像既关于点a成中心对称又关于直线x=b 成轴对称（ a b），就 y=f是周期函数，且4a b 是其一个周期；的证明留给读者，以下给出的证明：函数 y=f图像既关于点a 成中心对称，f+f=

3、2c，用 2b x 代 x 得：f+f2a =2c（* ）又函数 y=f图像直线x=b 成轴对称，f=f代入（ * ）得：f=2c f2+x（ * ），用 2（ a b） x 代 x 得f2+x=2c f4+x代入（ * ）得：f=f4+x,故 y=f是周期函数， 且 4a b 是其一个周期；二、不同函数对称性的探究定理 4. 函数 y=f与 y=2b f 的图像关于点a成中心对称；定理 5. 函数 y=f与 y=f 的图像关于直线x=a 成轴对称；函数 y=f与 a x=f的图像关于直线x+y=a 成轴对称；函数 y=f与 x a=f的图像关于直线x y=a 成轴对称；定理 4 与定理 5

4、中的证明留给读者，现证定理5 中的设点 p 是 y=f图像上任一点， 就 y0=f ；记点 p 关于直线x y=a 的轴对称点为p' （ x1， y1），就 x1=a+y0,y1=x0 a，x0=a+y1,y0=x1 a 代入 y0=f之中得 x1 a=f 点 p（'x1，y1）在函数 x a=f的图像上；同理可证：函数 x a=f的图像上任一点关于直线x y=a的轴对称点也在函数y=f的图像上；故定理5 中的成立；推论：函数y=f的图像与 x=f的图像关于直线x=y 成轴对称；三、三角函数图像的对称性列表注：上表中kzy=tanx的全部对称中心坐标应当是，而在岑申、 王而冶主

5、编的浙江训练出版社出版的21世纪高中数学精编第一册（下）及陈兆镇主编的广西师大出版社出版的高一数学新教案（修订版）中都认为y=tanx的全部对称中心坐标是，这明显是错的；四、函数对称性应用举例例 1：定义在r 上的特别数函数满意：f为偶函数，且f=f,就 f肯定是（）（第十二届期望杯高二其次试题）是偶函数，也是周期函数是偶函数，但不是周期函数是奇函数，也是周期函数 是奇函数，但不是周期函数解： f为偶函数， f=f.f有两条对称轴x=5 与 x=10，因此 f是以 10 为其一个周期的周期函数，x=0 即 y轴也是 f的对称轴，因此f仍是一个偶函数；应选例 2：设定义域为r 的函数y=f 、y

6、=g 都有反函数，并且f和 g-1函数的图像关于直线y=x 对称， 如 g=1999，那么 f=（）；（ a） 1999；（b） xx；（ c） xx；（ d） xx；解： y=f和 y=g-1函数的图像关于直线y=x 对称，y=g-1反函数是 y=f ，而 y=g-1的反函数是 :y=2+g,f=2+g,有 f=2+g=xx故 f=xx, 应选（ c）例 3. 设 f是定义在 r 上的偶函数，且f=f,当 1 x 0时，f= x ，就 f= （第八届期望杯高二第一试题）解： f是定义在r 上的偶函数 x=0 是 y=f对称轴；又 f=f x=1 也是 y=f对称轴；故 y=f是以 2 为周期的周期函数， f=f=f=f=0.3例 4. 函数 y=sin的图像的一条对称轴的方程是（） x= x= x= x=解：函数 y=sin的图像的全部对称轴的方程是2x+=k+x=, 明显取 k=1 时的对称轴方程是x= 应选例 5. 设 f是定义在 r 上的奇函数， 且 f= f,当 0 x 1时，f=x ，就 f= （）0.5