高一数学必修12345总结

1、高一数学必修1,2,3,4,5 总结；必修 1 各章学问点总结第一章集合与函数概念一、集合有关概念1. 集合的含义2. 集合的中元素的三个特性：(1) 元素的确定性如：世界上最高的山(2) 元素的互异性如：由happy 的字母组成的集合 h,a,p,y(3) 元素的无序性 :如： a,b,c 和a,c,b 是表示同一个集合3.集合的表示： 如： 我校的篮球队员 ，太平洋 ,大西洋,印度洋 ,北冰洋 (1) 用拉丁字母表示集合：a=我校的篮球队员 ,b=1,2,3,4,5(2) 集合的表示方法：列举法与描述法；留意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作： n正整数集n*或 n+整数集

2、z有理数集 q实数集 r1） 列举法： a,b,cr| x-32） 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法； x>2 ,x| x-3>23）语言描述法：例： 不是直角三角形的三角形4）venn 图:4、集合的分类：1有限集含有有限个元素的集合2无限集含有无限个元素的集合3空集不含任何元素的集合例： x|x2= 5二、集合间的基本关系1. “包含”关系子集留意：有两种可能（ 1）a 是 b 的一部分，；（ 2）a 与 b 是同一集合；反之: 集合 a 不包含于集合 b, 或集合 b 不包含集合 a,记作 a b 或 b a2“相等”关系： a=b5 5，

3、且 55，就 5=5实例：设a=x|x2-1=0b=- 1,1“元素相同就两集合相等 ”a即：任何一个集合是它本身的子集；ab 那就说集合 a 是集合 b 的真子集，记作a b 或 b ab,且 a真子集 :假如 acc , 那么 ab, b假如ab 假如 aa那么 a=b同时 b3.不含任何元素的集合叫做空集，记为规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集；有 n 个元素的集合，含有2n 个子集， 2n-1 个真子集三、集合的运算运算类型交集 并集 补集定义 由全部属于 a 且属于 b 的元素所组成的集合 ,叫做 a,b 的交集记作 a b（读作 a交 b），即 a b= x|

4、x a ，且 x b 由全部属于集合a 或属于集合 b 的元素所组成的集合， 叫做 a,b 的并集 记作：a b （读作 a并 b），即 a b =x|x a ，或 x b 设 s 是一个集合， a 是 s 的一个子集， 由 s 中全部不属于 a 的元素组成的集合， 叫做 s 中子集 a 的补集（或余集）记作 ，即csa=韦恩图示性质 a a=a a = a b=b aa b a a b b a a=a a =aa b=b a a b aa b bcuacub= cu a b cuacub= cua bacua=uacua=二、函数的有关概念1函数的概念：设 a、b 是非空的数集，假如依据某个

5、确定的对应关系 f，使对于集合 a 中的任意一个数 x，在集合 b 中都有唯独确定的数 fx 和它对应，那么就称 f：ab 为从集合 a 到集合 b 的一个函数记作： y=fx ， x a其中， x 叫做自变量， x 的取值范畴 a 叫做函数的定义域；与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合 fx| x a 叫做函数的值域留意：1定义域：能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域；求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：1分式的分母不等于零；2偶次方根的被开方数不小于零；3对数式的真数必需大于零；4指数、对数式的底必需大于零且不等于1.5假如函数是由一些基本函数通过四就运算结

6、合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x 的值组成的集合 .6指数为零底不行以等于零，7实际问题中的函数的定义域仍要保证明际问题有意义.相同函数的判定方法：表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；定义域一样两点必需同时具备 见课本 21 页相关例 2 2值域: 先考虑其定义域1观看法2配方法3代换法3.函数图象学问归纳1定义：在平面直角坐标系中，以函数y=fx , x a中的 x 为横坐标，函数值y 为纵坐标的点 px ，y的集合 c，叫做函数y=fx,x a的图象 c 上每一点的坐标 x， y均满意函数关系y=fx ，反过来，以满意y=fx 的每一组有序实数对 x、y 为坐标的

7、点 x ，y，均在 c 上 .2画法a、 描点法：b、 图象变换法常用变换方法有三种1) 平移变换2) 伸缩变换3) 对称变换4区间的概念（ 1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间（ 2）无穷区间（ 3）区间的数轴表示 5映射一般地，设 a、b 是两个非空的集合，假如按某一个确定的对应法就f，使对于集合 a 中的任意一个元素 x，在集合 b 中都有唯独确定的元素 y 与之对应， 那么就称对应 f：a b 为从集合 a 到集合 b 的一个映射；记作 “（f对应关系）： a（原象） b（象） ”对于映射 f： ab 来说，就应满意：1集合 a 中的每一个元素，在集合b 中都有象，并且象是唯独

8、的；2集合 a 中不同的元素，在集合b 中对应的象可以是同一个；3不要求集合 b 中的每一个元素在集合a 中都有原象；6.分段函数1在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数；2各部分的自变量的取值情形 3分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集 补充：复合函数假如 y=fuu m,u=gxx a, 就 y=fgx=fxx a称为 f、g 的复合函数；二函数的性质1.函数的单调性 局部性质 （ 1）增函数设函数 y=fx 的定义域为 i，假如对于定义域 i 内的某个区间 d 内的任意两个自变量 x1 ，x2，当 x1<x2 时，都有 fx1<fx2 ，那么就说 f

9、x在区间 d 上是增函数.区间 d 称为 y=fx 的单调增区间 .假如对于区间 d 上的任意两个自变量的值x1 ，x2 ，当 x1<x2时，都有 fx1 fx2 ，那么就说 fx 在这个区间上是减函数 .区间 d 称为 y=fx 的单调减区间 . 留意：函数的单调性是函数的局部性质；（ 2） 图象的特点假如函数 y=fx 在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=fx 在这一区间上具有严格的 单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的 .3. 函数单调区间与单调性的判定方法a定义法： 1任取 x1 ，x2 d，且 x1<x2 ； 2作差 fx1

10、 fx2 ； 3变形（通常是因式分解和配方）； 4定号（即判定差fx1 fx2 的正负）； 5下结论（指出函数fx 在给定的区间 d 上的单调性）b图象法 从图象上看升降 c复合函数的单调性复合函数 fgx 的单调性与构成它的函数u=gx ，y=fu 的单调性亲密相关，其规律： “同增异减 ”留意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集 .8函数的奇偶性（整体性质）（ 1）偶函数一般地，对于函数 fx 的定义域内的任意一个x，都有 fx=fx ，那么 fx就叫做偶函数（ 2）奇函数一般地，对于函数fx 的定义域内的任意一个x，都有 fx= fx，那么 f

11、x就叫做奇函数（ 3）具有奇偶性的函数的图象的特点偶函数的图象关于y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称利用定义判定函数奇偶性的步骤： 1第一确定函数的定义域，并判定其是否关于原点对称； 2确定 f x与 fx 的关系； 3作出相应结论：如fx = fx或 fx fx = 0 ，就 fx是偶函数；如 f x = fx或 fx fx = 0 ，就 fx 是奇函数留意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件第一看函数的定义域是否关于原点对称，如不对称就函数是非奇非偶函数.如对称， 1再依据定义判定 ; 2 由 f-x图象判定 .f±x=0 或 fx f-x=1±来判定

12、; 3 利用定理，或借助函数的9、函数的解析表达式（ 1） .函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时， 一是要求出它们之间的对应法就，二是要求出函数的定义域.（ 2）求函数的解析式的主要方法有：1) 凑配法2) 待定系数法3) 换元法4) 消参法10 函数最大（小）值（定义见课本p36 页） 1利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值 2利用图象求函数的最大（小）值 3利用函数单调性的判定函数的最大（小）值：假如函数 y=fx 在区间 a ，b上单调递增，在区间b，c上单调递减就函数y=fx在 x=b 处有最大值 fb ；假如函数 y=fx 在区间 a ，b上单

13、调递减，在区间在 x=b 处有最小值 fb ；b，c上单调递增就函数y=fx其次章基本初等函数一、指数函数（一）指数与指数幂的运算1根式的概念：一般地，假如，那么 叫做 的 次方根，其中>1，且 *负数没有偶次方根； 0 的任何次方根都是0，记作；当 是奇数时，当 是偶数时，2分数指数幂正数的分数指数幂的意义，规定：，0 的正分数指数幂等于0，0 的负分数指数幂没有意义3实数指数幂的运算性质（ 1） .；（ 2）；（ 3）（二）指数函数及其性质1、指数函数的概念：一般地，函数叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为 r留意：指数函数的底数的取值范畴，底数不能是负数、零和12、指数函

14、数的图象和性质a>1 0<a<1定义域r 定义域r值域 y0值域 y0在 r 上单调递增在 r 上单调递减非奇非偶函数非奇非偶函数函数图象都过定点（ 0，1） 函数图象都过定点（ 0， 1）留意：利用函数的单调性，结合图象仍可以看出：（ 1）在a，b上， 值域是 或 ；（ 2）如 ，就 ； 取遍全部正数当且仅当；（ 3）对于指数函数，总有； 二、对数函数（一）对数1对数的概念：一般地，假如，那么数叫做以为底 的对数，记作：（ 底数， 真数， 对数式）说明： 1 留意底数的限制，且 ； 2； 3留意对数的书写格式 两个重要对数： 1常用对数：以10 为底的对数； 2自然对数：以

15、无理数为底的对数的对数指数式与对数式的互化幂值真数 n b底数指数对数（二）对数的运算性质假如 ，且 ， ， ，那么： 1. ； 2 ； 3留意：换底公式（ ，且 ； ，且 ； ）利用换底公式推导下面的结论（ 1） ；（ 2） （二）对数函数1、对数函数的概念：函数，且 叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是（ 0，+）留意： 1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，留意辨别；如：，都不是对数函数，而只能称其为对数型函数 2对数函数对底数的限制：，且 2、对数函数的性质： a>1 0<a<1定义域 x 0 定义域 x0值域为 r 值域为 r在 r 上递增在 r 上

16、递减函数图象都过定点（ 1，0） 函数图象都过定点（ 1， 0）（三）幂函数1、幂函数定义：一般地，形如的函数称为幂函数，其中为常数2、幂函数性质归纳（ 1）全部的幂函数在（ 0，+）都有定义并且图象都过点（1，1）；（2） ） 时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数特殊地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸；（3） ） 时，幂函数的图象在区间 上是减函数在第一象限内，当 从右边趋向原点时，图象在 轴右方无限地靠近 轴正半轴，当 趋于 时，图象在 轴上方无限地靠近 轴正半轴例题：第三章函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数，把使 成立的实数叫做函数的

17、零点；2、函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标；即：方程有实数根函数 的图象与轴有交点函数 有零点3、函数零点的求法： 1（代数法）求方程的实数根； 2（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点4、二次函数的零点： 二次函数（ 1） 0，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点（ 2） 0，方程有两相等实根，二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点（ 3） 0，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点必修 2第一章；空间几何体多面体：棱柱棱柱的定义：

18、有两个面相互平行， 其余各面都是四边形， 并且每两个四边形的公共边都相互平行，这些面围成的几何体叫做棱柱；棱柱的性质（ 1）侧棱都相等，侧面是平行四边形（ 2）两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形（ 3）过不相邻的两条侧棱的截面（对角面）是平行四边形棱锥棱锥的定义： 有一个面是多边形， 其余各面都是有一个公共顶点的三角形，这些面围成的几何体叫做棱锥棱锥的性质：（1） ） 侧棱交于一点；侧面都是三角形（2） ） 平行于底面的截面与底面是相像的多边形；且其面积比等于截得的棱锥的高与远棱锥高的比的平方正棱锥正棱锥的定义： 假如一个棱锥底面是正多边形，并且顶点在底面内的射影是底面的中心，这样的棱锥

19、叫做正棱锥；正棱锥的性质：各侧棱交于一点且相等， 各侧面都是全等的等腰三角形；各等腰三角形底边上的高相等，它叫做正棱锥的斜高；其次章：立体几何基本概念公理 1：假如一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的全部的点都在这个平面内；公理 2：假如两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线；公理 3： 过不在同一条直线上的三个点，有且只有一个平面；推论 1: 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面；推论 2：经过两条相交直线，有且只有一个平面；推论 3：经过两条平行直线，有且只有一个平面；公理 4：平行于同一条直线的两条直线相互平行；等角定理： 假如一个角的两边和另

20、一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等；空间两直线的位置关系：空间两条直线只有三种位置关系：平行、相交、异面1、按是否共面可分为两类：（ 1）共面：平行、相交（2）异面：异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线或既不平行也不相交；异面直线判定定理： 用平面内一点与平面外一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线；两异面直线所成的角：范畴为 0 °，90°两异面直线间距离 : 公垂线段 有且只有一条 2、如从有无公共点的角度看可分为两类：（ 1）有且仅有一个公共点 相交直线；（ 2）没有公共点 平行或异面直线和平面的位置关系：直线和平面只有三种位置关系：

21、在平面内、与平面相交、与平面平行直线在平面内 有许多个公共点直线和平面相交 有且只有一个公共点直线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角；应用： .空间向量法 找平面的法向量 规定： a 直线与平面垂直时，所成的角为直角，b 直线与平面平行或在平面内，所成的角为 0 角由此得直线和平面所成角的取值范畴为0 °，90°三垂线定理及逆定理 : 假如平面内的一条直线 ,与这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直.直线和平面垂直直线和平面垂直的定义：假如一条直线阿和一个平面内的任意一条直线都垂 直，我们就说直线 a 和平面相互垂直 .直线 a 叫

22、做平面的垂线， 平面叫做直线 a 的垂面；直线与平面垂直的判定定理：假如一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面；直线与平面垂直的性质定理： 假如两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行；直线和平面平行 没有公共点直线和平面平行的定义： 假如一条直线和一个平面没有公共点，那么我们就说这条直线和这个平面平行；直线和平面平行的判定定理：假如平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行；直线和平面平行的性质定理： 假如一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行；两个平面的位置关系：（ 1）两个平面相互平行的

23、定义：空间两平面没有公共点（ 2）两个平面的位置关系：两个平面平行 -没有公共点；两个平面相交 - 有一条公共直线；a、平行判定定理： 假如一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；两个平面平行的性质定理： 假如两个平行平面同时和第三个平面相交，那么交线平行；b、相交二面角（1） ） 半平面： 平面内的一条直线把这个平面分成两个部分，其中每一个部分叫做半平面；（2） ） 二面角： 从一条直线动身的两个半平面所组成的图形叫做二面角；二面角的取值范畴为0 °， 180°（3） ） 二面角的棱：这一条直线叫做二面角的棱；（4） ） 二面角的面：这两个半平面叫

24、做二面角的面；（5） ） 二面角的平面角： 以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角；（6） ） 直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角；两平面垂直两平面垂直的定义： 两平面相交， 假如所成的角是直二面角， 就说这两个平面相互垂直；记为两平面垂直的判定定理： 假如一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面相互垂直两个平面垂直的性质定理： 假如两个平面相互垂直， 那么在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面；留意：二面角求法：直接法（作出平面角）、三垂线定理及逆定理、面积射影定理、空间向量之法向量法（留意求出的角与所需要

25、求的角之间的等补关系）第三章：直线与方程（ 1）直线的倾斜角定义： x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角；特殊地，当直线与 x 轴平行或重合时 ,我们规定它的倾斜角为0 度；因此，倾斜角的取值范畴是 0°180°（ 2）直线的斜率定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率；直线的斜率常用 k 表示；即；斜率反映直线与轴的倾斜程度；当 时， ；当 时 ， ；当 时， 不存在；过两点的直线的斜率公式：留意下面四点：1当 时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°； 2k 与 p1 、 p2 的 顺 序 无 关 ；

26、 3以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；4求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到；（ 3）直线方程点斜式：直线斜率 k，且过点留意：当直线的斜率为0°时， k=0 ，直线的方程是 y=y1 ；当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示但因l 上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1 ；斜截式：，直线斜率为 k，直线在 y 轴上的截距为 b两点式：（ ）直线两点，截矩式：其中直线与 轴交于点,与 轴交于点,即 与 轴、 轴的截距分别为；一般式：（a，b 不全为 0）留意： 1各式的适用范畴 2特殊的方程如：平行于x

27、轴的直线：（ b 为常数）；平行于 y 轴的直线：（ a 为常数）；（ 4）直线系方程：即具有某一共同性质的直线（一）平行直线系平行于已知直线（ 是不全为 0 的常数）的直线系：（ c 为常数）（二）垂直直线系垂直于已知直线（ 是不全为 0 的常数）的直线系：（ c 为常数）（三）过定点的直线系 斜率为 k 的直线系：，直线过定点； 过两条直线， 的交点的直线系方程为（ 为参数），其中直线不在直线系中；（ 5）两直线平行与垂直当 ， 时 ，；留意：利用斜率判定直线的平行与垂直时，要留意斜率的存在与否；（ 6）两条直线的交点相交交点坐标即方程组的一组解；方程组无解；方程组有许多解与 重合（ 7）

28、两点间距离公式：设是平面直角坐标系中的两个点，就（ 8）点到直线距离公式：一点到直线 的距离（ 9）两平行直线距离公式在任始终线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解；第四章：圆的方程（ 1）标准方程，圆心 ，半径为 r；（ 2）一般方程当 时，方程表示圆，此时圆心为，半径为当 时，表示一个点；当 时，方程不表示任何图形；（ 3）求圆方程的方法：一般都采纳待定系数法： 先设后求； 确定一个圆需要三个独立条件，如利用圆的标准方程，需求出 a， b， r；如利用一般方程，需要求出d， e，f；另外要留意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点， 以此来确定圆心的位置；直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情形：（