随机变量的分布函数

1、2. 2 随机变量的分布函数随机变量的分布函数第二章第二章 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布一、分布函数的概念：一、分布函数的概念：设设 x 是一个随机变量是一个随机变量, , 对于任一实数对于任一实数 x, , 定义定义1、定义、定义2.7: :f(x) =pxx, , x , 称称f(x) 为随机变量为随机变量 x的分布函数的分布函数 .注注 若若 f(x) 是是 x 的分布函数的分布函数, 则则paxb = f(b)f(a) 对对(, ) 内的任意实数内的任意实数a , b (a b ) 均成立均成立 .例例2.6某人投篮某人投篮, , 命中率为命中率为0.7 , 规则是规则是:

2、 投中或投了投中或投了4次后就停止投篮次后就停止投篮, 设设x表示表示“此人投篮次数此人投篮次数” , 求求xp x =10.7 , 解解 由题意可知由题意可知x的可能值为的可能值为 1, 2 , 3 , 4 , 概率分别为概率分别为所以所以 x 的概率分布为的概率分布为的分布函数的分布函数 .p x =20.30.7 = 0.21 ,p x =30.30.30.7 = 0.063 ,p x =344(0.3)0.7 + (0.3) = 0.027 ,x 1 2 3 4p 0.7 0.21 0.063 0.027根据分布函数定义可知根据分布函数定义可知 x 的分布函数为的分布函数为f(x) =

3、0 , x 10.7 , 1 x 20.7+0.21=0.91 , 2 x 30.91+0.063=0.973 , 3 x 40.973+0.027=1 , 4 x 图形如右图图形如右图:01234xf(x)0.20.40.60.81分布函数是一个阶梯函数分布函数是一个阶梯函数,在在x=i (i=1,2,3,4)处发生间断处发生间断,其跳跃度恰好是其跳跃度恰好是pk =px =k (k =1,2,3,4)二、分布函数的性质：二、分布函数的性质：设设 f(x)是任一随机变量是任一随机变量 x 的分布函数的分布函数, 则有则有xx ff xff x注注() = lim( ) , ( ) = lim

4、( ) ;- -1、定理、定理2.3: :(1) 0 f(x) 1 ( x ) ;(2) f()= 0 , f()= 1;(3) f(x)是单调不减函数是单调不减函数, 即当即当 x1 x2时时 f( x1) f( x2);(4) f(x)是右连续函数是右连续函数, 即对任意即对任意 x , 有有f( x+0) =f( x);(5)对每个对每个 x0 , px =x0=f( x0) f( x0 0)xxxxf xf xf xf x000000(0) = lim() , (0) = lim() . +-+-例例2.7设随机变量设随机变量x x的分布函数为的分布函数为求求 (1) 常数常数 a ;

5、 解解 (1)由分布函数的右连续性由分布函数的右连续性, 即即得得 a=1xf xf+1lim( ) =(1) ,pxff(2) 0.30.7 =(0.7)(0.3)f(x) =0 , x 1(2) 随机变量随机变量 x 落在落在( 0.3 , 0.7 内的概率内的概率 22= 0.70.3 = 0.4 例例2.8设设f1(x) , f2(x) 都是分布函数都是分布函数, , a1 , , a2都是正常数都是正常数, ,xa f xa fxa fa f 11221122lim( ) +( ) =() +() = 0 ; 且且 a1+ +a2=1 , 试证试证a1f1(x) + a2f2(x)

6、也是分布函数也是分布函数 . .证证 由于由于f1(x) , f2(x) 都是分布函数都是分布函数, , 故知故知0f1(x) 1 , 0f2(x) 1 对一切对一切 xr 成立成立 . 于是于是0a1f1(x) a1 , 0a2f2(x) a2 . . 所以有所以有0a1f1(x)+ a2f2(x) a1+ a2 = =1 对一切对一切xr 均成立均成立. . 由于由于 f1(x) , f2(x) 均是单调不减且右连续的均是单调不减且右连续的, 又因又因且且 a1 0 , a2 0 , 故故a1f1(x) + a2f2(x) 也是单调不减也是单调不减且右连续的且右连续的 .xa f xa fxa fa f 11221122lim( ) +( ) =() +() 于是于