高一数学必修一知识点例题

1、戴氏训练老师教学讲义学员姓名：年级：高一上升二第1次课辅导科目：数学教师：教学主管签字：课题必修一学问复习授课时间：月日（点到点）教学目标巩固集合与函数的基础学问，提高在这块学问上的拿分率重点、难点集合三要素，函数基本性质的懂得，结合在一起的综合题；考点及考试要求集合结合函数考三要素，函数的基本性质及图像变化，为后期学习三角函数做铺垫教学内容学问点梳理一、集合有关概念1. 集合的含义2. 集合的中元素的三个特性：(1) 元素的确定性如：世界上最高的山(2) 元素的互异性如：由happy的字母组成的集合h,a,p,y(3) 元素的无序性:如： a,b,c和a,c,b是表示同一个集合3. 集合的表

2、示：如： 我校的篮球队员 ， 太平洋 , 大西洋 , 印度洋 , 北冰洋 (1) 用拉丁字母表示集合：a= 我校的篮球队员,b=1,2,3,4,5(2) 集合的表示方法：列举法与描述法；留意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作： n正整数集n* 或 n+整数集 z有理数集q实数集 r1） 列举法： a,b,c2） 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法；xr| x-3>2 ,x| x-3>23） 语言描述法：例： 不是直角三角形的三角形 4） venn 图:4、集合的分类：21有限集含有有限个元素的集合2无限集含有无限个元素的集合3空集不含

3、任何元素的集合例： x|x= 5二、集合间的基本关系1. “包含”关系子集留意： ab 有两种可能（1） a 是 b 的一部分，；（ 2） a 与 b 是同一集合；反之 :集合 a 不包含于集合b, 或集合b 不包含集合a, 记作 ab 或 ba 2“相等”关系：a=b 5 5，且 5 5，就 5=52实例：设a=x|x-1=0 b=-1,1“元素相同就两集合相等”即：任何一个集合是它本身的子集；aa真子集 : 假如 ab, 且 ab 那就说集合a 是集合 b 的真子集，记作ab 或ba假如 ab, bc , 那 么 ac 如 果 a b同时 ba 那 么 a=b3.不含任何元素的集合叫做空集

4、，记为n-1规定 :空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集；n有 n 个元素的集合，含有2三、集合的运算个子集， 2个真子集运算类型交集并集补集定由全部属于a 且属于b 的义元素所组成的集合, 叫做a,b 的交集 记作 ab（ 读作 a 交b），即ab=x|xa，且 xb由全部属于集合a 或属于集合 b 的元素所组成的集合， 叫做 a,b 的 并集 记作：ab（读作 a 并 b），即ab=x|xa，或 xb 设 s 是一个集合，a 是 s 的一个子集，由s 中全部不属于a 的元素组成的集合，叫做s 中子集 a 的补集 （或余集）记作 c s a ，即csa= x| xs,且xa韦恩a

5、b图示图 1性aa=a a =ab=baaba质abbab图 2aa=aa =aab=baababbsacuac u b= cu abcuac u b= cuabac ua=uac ua= 例题：1 . 以下四组对象，能构成集合的是（）a 某班全部高个子的同学b闻名的艺术家c 一切很大的书d倒数等于它自身的实数2. 集合 a ， b，c 的真子集共有个3. 如集合 m=y|y=x 2-2x+1,xr,n=x|x 0 ，就 m与 n 的关系是.4. 设 集 合 a= x 1x2 ，b= x xa，如 ab，就 a 的取值范畴是5.50名同学做的物理、 化学两种试验， 已知物理试验做得正确得有 4

6、0 人，化学试验做得正确得有31 人，两种试验都做错得有4 人，就这两种试验都做对的有人；6. 用描述法表示图中阴影部分的点（含边界上的点）组成的集合m=.7.已知集合a=x| x2+2x-8=0, b=x| x2-5x+6=0, c=x| x2-mx+m2-19=0,如 b c ， ac=，求 m的值二、函数的有关概念1函数的概念：设a、b 是非空的数集，假如依据某个确定的对应关系f ，使对于集合a 中的任意一个数x ，在集合b 中都有唯独确定的数fx和它对应，那么就称f ： ab为从集合a到集合b 的一个函数记作：y=fx，x a其中， x 叫做自变量， x 的取值范畴 a 叫做函数的定义

7、域；与 x 的值相对应的y 值叫做函数值， 函数值的集合 fx| xa 叫做函数的值域留意：1定义域：能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域；求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1) 分式的分母不等于零；(2) 偶次方根的被开方数不小于零；(3) 对数式的真数必需大于零；(4) 指数、对数式的底必需大于零且不等于1.(5) 假如函数是由一些基本函数通过四就运算结合而成的. 那么， 它的定义域是使各部分都有意义的x 的值组成的集合.(6) 指数为零底不行以等于零，(7) 实际问题中的函数的定义域仍要保证明际问题有意义.相同函数的判定方法：表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关

8、）；定义域一样 两点必需同时具备 见课本 21 页相关例2 2值域:先考虑其定义域(1) 观看法(2) 配方法(3) 代换法3.函数图象学问归纳(1) 定义：在平面直角坐标系中，以函数y=fx , x a中的 x 为横坐标，函数值y为纵坐标的点px ，y 的集合c，叫做函数y=fx,x a的图象 c 上每一点的坐标 x ，y 均满意函数关系y=fx，反过来， 以满意 y=fx的每一组有序实数对x、y 为坐标的点 x ，y ，均在 c 上 .(2) 画法a、 描点法：b、 图象变换法常用变换方法有三种1) 平移变换2) 伸缩变换3) 对称变换4区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭

9、区间（2）无穷区间（3）区间的数轴表示5映射一般地，设a、b 是两个非空的集合，假如按某一个确定的对应法就f ，使对于集合 a 中的任意一个元素x，在集合b 中都有唯独确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：ab 为从集合a 到集合b 的一个映射； 记作“ f （对应关系） ：a（原象）b（象）”对于映射f ： a b 来说，就应满意：(1) 集合 a 中的每一个元素，在集合b 中都有象，并且象是唯独的；(2) 集合 a 中不同的元素，在集合b中对应的象可以是同一个；(3) 不要求集合b 中的每一个元素在集合a 中都有原象；6. 分段函数(1) 在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数；

10、(2) 各部分的自变量的取值情形(3) 分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集补充：复合函数假如 y=fuu m,u=gxx a, 就 y=fgx=fxxa称为 f 、g 的复合函数；二函数的性质1. 函数的单调性 局部性质 （1）增函数设函数y=fx的定义域为i ，假如对于定义域i 内的某个区间d 内的任意两个自变 量 x 1， x2，当 x1<x2 时，都有fx 1<fx2 ，那么就说fx在区间 d 上是增函数 . 区间 d称为 y=fx的单调增区间.假如对于区间d 上的任意两个自变量的值x 1， x 2，当 x1<x2 时，都有fx 1 fx 2 ，那

11、么就说fx 在这个区间上是减函数. 区间 d称为 y=fx的单调减区间.留意：函数的单调性是函数的局部性质；（2）图象的特点假如函数 y=fx 在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=fx 在这一区间上具有 严格的 单调性， 在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的， 减函数的图象从左到右是下降的 .3.函数单调区间与单调性的判定方法(a) 定义法： 1任取 x1， x2 d，且 x1<x2； 2作差 fx 1 fx 2 ； 3变形（通常是因式分解和配方）； 4定号（即判定差fx 1 fx 2 的正负）； 5下结论（指出函数fx在给定的区间d 上的单调性） (b) 图象法 从图象上看升

12、降(c) 复合函数的单调性复合函数f gx 的单调性与构成它的函数u=gx ， y=fu 的单调性亲密相关，其规律：“同增异减”留意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间, 不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集 .8函数的奇偶性（整体性质）（1）偶函数一般地， 对于函数fx的定义域内的任意一个x ， 都 有 f x=fx，那么 fx就叫做偶函数（2）奇函数一般地， 对于函数fx的定义域内的任意一个x ，都有 f x= fx，那么 fx就叫做奇函数（3）具有奇偶性的函数的图象的特点偶函数的图象关于y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称利用定义判定函数奇偶性的步骤： 1 第一确定函数的定义域，并

13、判定其是否关于原点对称； 2 确 定 f x 与 fx的关系； 3 作出相应结论：如f x = fx或 f x fx = 0，就 fx是偶函数；如f x = fx或 f x fx = 0，就 fx是奇函数留意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件第一看函数的定义域是否关于原点对称，如不对称就函数是非奇非偶函数. 如对称， 1 再依据定义判定;(2) 由 f-x± fx= 0 或 fx f-x=± 1 来判定 ; 3利用定理，或借助函数的图象判 定 . 9、函数的解析表达式（1）. 函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间

14、的对应法就，二是要求出函数的定义域.（2）求函数的解析式的主要方法有：1) 凑配法2) 待定系数法3) 换元法4) 消参法10函数最大（小）值（定义见课本p36 页） 1利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值 2利用图象求函数的最大（小）值 3利用函数单调性的判定函数的最大（小）值：假如函数y=fx在区间 a ， b 上单调递增，在区间b ， c上单调递减就函数y=fx在x=b 处有最大值fb；假如函数y=fx在区间 a ， b 上单调递减，在区间b ， c上单调递增就函数y=fx在x=b 处有最小值例题：fb；1. 求以下函数的定义域：x 22 x15x1 2yy1x33x12.

15、设函数 f x 的定义域为 0， 1 ，就函数 f x2 的定义域为 _ _3. 如函数f x1) 的定义域为 2， 3 ，就函数f 2 x1 的定义域是x2 x14. 函数f xx2 1x2x x22) ，如f x3，就 x =5. 求以下函数的值域： yx22x3 xr yx22x3x1,2(3) yx12x4yx24x56. 已知函数f x1x24 x ，求函数fx ， f 2x1的解析式7. 已知函数fx满意 2f xf x3x4，就f x =；8. 设 fx是 r上的奇函数，且当x0, 时,f xx13 x , 就当 x,0 时f x =f x在 r上的解析式为9. 求以下函数的单调

16、区间：yx 22 x3 yx22x3yx26 x110. 判定函数 yx 31的单调性并证明你的结论11. 设函数f x1x21x2判定它的奇偶性并且求证：f 1 xf x 一、指数函数*（一）指数与指数幂的运算 1根式的概念：一般地，假如nxna ，那么 x 叫做 a 的 n 次方根，其中n >1， 且 n 负数没有偶次方根；0 的任何次方根都是0，记作 n 00 ；当 n 是奇数时，n a na ，当 n 是偶数时，n a n| a |aa0aa02分数指数幂正数的分数指数幂的意义，规定：mmma nn a m a0, m, nn * , n1 ， an1a n1 an a m0,

17、m,nn * , n10 的正分数指数幂等于0，0 的负分数指数幂没有意义3实数指数幂的运算性质（1） a r · a ra r sa0,r , sr ；ars（2）（3）ab ra rsaa r a sa0,r , s0,r , sr ；r （二）指数函数及其性质 1、指数函数的概念：一般地，函数变量，函数的定义域为rya x a0, 且a1 叫做指数函数，其中x 是 自留意：指数函数的底数的取值范畴，底数不能是负数、零和12、指数函数的图象和性质a>10<a<166554433221 11 1-4-2246-4-224600-1-1定义域r定义域 r值 域 y

18、0值 域 y 0在 r上单调递增在 r 上单调递减非奇非偶函数非奇非偶函数函数图象都过定点（ 0， 1）函数图象都过定点（ 0， 1）留意：利用函数的单调性，结合图象仍可以看出：（1）在 a ，b 上，f x a x a0且a1 值域是f a, fb或 fb, f a ；（2） 如 x0 ，就f x1 ； f x 取遍全部正数当且仅当xr ；（3）对于指数函数二、对数函数（一）对数f x a x a0且a1) ，总有f 1a ；1对数的概念：一般地，假如a xn a0,a1) ，那么数x 叫做以a 为底n 的对数，记作：xlog a n（ a 底数， n 真数，log a n 对数式）说明：

19、1留意底数的限制a0 ，且 a1； 2a xnlognx ；a 3留意对数的书写格式两个重要对数： 1常用对数：以10 为底的对数lg nlog a n； 2自然对数：以无理数e指数式与对数式的互化2.71828为底的对数的对数ln n 幂值真数aab nlogn b底数指数对数（二）对数的运算性质如 果 a0 ， 且 a1， m0 ， n0 ，那么： 1log a m· n log a m log a n ；m 2log anlog a m log a n ；n 3log a mn log a mnr 留意：换底公式log a blog c b（ alog c a0 ， 且 a1

20、； c0 ， 且 c1； b0 ）利用换底公式推导下面的结论b（1） lognmn logb ；（ 2） logb1ama（二）对数函数alog b a1、对数函数的概念：函数ylog axa0 ， 且 a1 叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0， +）留意：1对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义， 留意辨别； 如：y2 log 2 x，xylog 55都不是对数函数，而只能称其为对数型函数 2对数函数对底数的限制：2、对数函数的性质：a0 ， 且 a1 a>10<a<132.521.51 10.532.521.51 10.50-1-0 .5-1-1 .5

21、-2-2 .5123456781-10-0 .5-1-1 .5-2-2 .5123456781定义域 x0定义域 x 0值域为 r值域为 r在 r 上 递增在 r 上递减函数图象都过定点（ 1， 0）函 数 图 象 都 过 定 点（ 1， 0）（三）幂函数1、幂函数定义：一般地，形如2、幂函数性质归纳yx ar 的函数称为幂函数，其中为常数（1）全部的幂函数在（0， +）都有定义并且图象都过点（1， 1）；（2） 0 时，幂函数的图象通过原点，并且在区间0, 上是增函数特殊地，当1时，幂函数的图象下凸；当01时，幂函数的图象上凸；（3） 0 时，幂函数的图象在区间0, 上是减函数在第一象限内，

22、当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地靠近y 轴正半轴，当x 趋于时，图象在x 轴上方无限地靠近x 轴正半轴例题：1. 已知 a>0， a0，函数y=ax 与 y=loga-x的图象只能是2. 运算：log 3 2; 2 4log 21 log=；32535 272 log 5 2 =;log 27 643 0.064 17 084 2 3 316 0.751=0.0123. 函 数 y=log1 2x -3x+1 的递减区间为224. 如函数f xloga x0a1 在区间 a,2a 上的最大值是最小值的3 倍，就 a=5. 已知f xlog 1a 1x a x0且a1 ，（1

23、）求f x的定义域（ 2）求使f x 0的 x 的取值范畴一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数yf x xd ，把使f x0 成立的实数x 叫做函数 yf x xd 的零点；2、函数零点的意义：函数yf x 的零点就是方程f x0 实数根，亦即函数yf x 的图象与x 轴交点的横坐标；即：方程有零点f x0 有实数根函 数 yf x 的图象与x 轴有交点函 数 yf x3、函数零点的求法： 1（代数法）求方程f x0 的实数根； 2（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数来，并利用函数的性质找出零点4、二次函数的零点：yf x 的图象联系起二次函数yax2bxca0

24、（ 1），方程ax2bxc0 有两不等实根，二次函数的图象与x 轴有两个交点，二次函数有两个零点（ 2），方程ax2bxc0 有两相等实根，二次函数的图象与x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点（ 3），方程数无零点5. 函数的模型ax2bxc0 无实根，二次函数的图象与x 轴无交点，二次函收集数据画散点图不符挑选函数模型合实际求函数模型检验符合实际一、挑选题用函数模型说明实际问题人教版数学必修i测试题1、设集合 u1,2,3,4,5, a1,2,3, b2,5，就 acu b（）a 、2b 、2,3c 、3d 、 1,32、已知集合 m0,1,2 , nx x2a, am，就集合

25、mn（）a 、0b 、0,1c 、 1,2d 、0,23、函数 y1 log 2 x,x4的值域是（）a 、 2,b 、3,c 、 3,d 、,4、关于 a 到 b 的一一映射，以下表达正确选项（）一一映射又叫一一对应 a 中不同元素的像不同 b 中每个元素都有原像像的集合就是集合ba 、b 、c 、d 、5、在 y12 , yx2 x, yx2x, y3 x5 四个函数中，幂函数有（）a 、1 个b 、2 个c 、3 个d 、4 个6、已知函数fx1x2x3，那么 fx1 的表达式是（）a 、 x25 x9b 、 x2x3c 、 x25x9d 、 x2x17、如方程 a xxa0 有两个解，

26、就a 的取值范畴是（）a 、0,b 、 1,c 、0,1d 、8、如102 xa 、1525 ， 就 10 x 等于（）b 、 15c 、 150d 、162529、如 log aa1 loga 2a0 ，就 a 的取值范畴是（）a 、 0a1b 、 1a12c 、 0a12d 、a110、设 a40.9 ,b80.48 , c1.51 ，就2a,b, c 的大小次序为（）a 、 abcb 、 acbc 、bacd 、cab11、已知fxx22 a1 x2 在,4上单调递减，就a 的取值范畴是（）a 、 a3b 、a3c 、a3d 、以上答案都不对12、如 flg xx ，就 f3（）a 、l

27、g 3b 、3c 、103二、填空题d 、 31013、设ax 1x2 , bx xa0 ， 如 a .b ，就 a 的取值范畴是；14、函数 ylg 1x的定义域为；15、如 x2 ，就x24x43x 的 值是；16、 lg 20log 100 25；三、解答题17、（本小题满分10 分 ） 设 a4,2a1,a2, ba5,1a,9，已知 ab9，求 a 的值；18、（本小题满分10 分） 判定并证明xfx2x在0,的单调性；119、（本小题满分12 分） 讨论函数ylg 1x 的定义域和奇偶性；1x20、（本小题满分12 分） 已知： a0, b0 ，且 a ba baba ，求证：ba

28、 ba b；21、（本小题满分12 分） 某商品最近30 天的价格ft（元）与时间 t 满意关系式1 tft31 t38,0t18,1515,tn，t30,tn且知销售量g t与时间 t 满意关系式g tt30,0t30,tn，求该商品的日销售额的最大值；2222、（本小题满分14 分） 已知8求logy的值；log ax4logay1loga 5log a2xy1 , a0,且a1 ，x一、挑选题（本大题共12 道小题，每道题5 分，共 60 分；在每道题给出的四个选项中，只有哪一项符合题目要求的）题号123456789101112答案ddcdbaabcbac二、填空题（本大题共4 道小题，

29、每道题5 分，共 20 分；把答案填在题中横线上）13、2,；14、1,0；15、1 ；16、 2；三、解答题（本大题共6 道小题，共70 分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17、（本小题满分10 分 ） 设 a4,2a1,a2, ba5,1a,9，已知 ab9 ，求 a 的值；解：ab9 ,9a且9b-1分有 2a19 或 a 29 ，解得：a5, 或a3-4分当 a5 时， a4,9,25, b0,4,9，就有 ab4,9，与题意不相符，a5 舍去；-6分当 a3 时， a4,9,5,a51a2 ，就与 b 中有 3 个元素不相符，a3 舍去；-8分当 a3 时， a4,7,9

30、, b8,4,9， ab9a3 -10分18、（本小题满分10 分） 判定并证明fxx2x21在0,的单调性；解： 判定：fxx2x21在0,的单调递增；-2分证明：设x1x20 ，就有fx12x1,x 21fx22x2x 21-3分1222x 2x 21x 2x 21fxfxx1x21221-5分12x 21x 21x 21x 211212x 2x 2xxxx121212-7分x 21x 21x 21x 211212xx0 ，xx0, xx0 ，又x 210, x 210 -10分12121212x1x2x1x2220 ，即fx1fx20x11x21故 fxx在0,的单调递增；22x119、

31、（本小题满分12 分） 讨论函数ylg 11x 的定义域和奇偶性；x解：（ 1）依题意有：1x1x0 ， -2分解得：1x1-4分所以，函数ylg 11x 的定义域为1,1x（ 2）设 x有：1,1fx，就xlg 1x1x11,1-6分lg1x1xlg 1x1xfx-10分所以函数y1x lg为奇函数-12分1x20、（本小题满分12 分） 已知： a0, b0 ，且 a ba bab a ，求证：ba ba b；证明： 由 abb a 知：bb a a-4分aa b就左边 =aa ba-6分b b babaa- 10分bba aaa b1a ba b右边-12分21、（本小题满分12 分） 某商品最近30 天的价格ft（元）与时间t 满意关系式1 tft31 t38,0t18,1515,tn，t30,tn且知销售量g t与时间 t 满意关系式g tt30