数学分析第十八章隐函数定理及其应用

1、第第18章章 隐函数定理及其应用隐函数定理及其应用1 1 隐函数隐函数一、一、 隐函数概念隐函数概念.).sinsin(sin, 1,22显函数显函数这种形式的函数称为如式是自变量的某个算式若函数的因变量的表达zxyzxyeuyxzxyz .j ,i) 1 ( (1),x , jy, ix ,yjxi) 1 ( , 0)y, x(f .ryx:f,ry,rx隐函数隐函数的值域含于上确定一个定义在则称由方程满足方程一起它与唯一的使得与若存在集合对于方程函数一个方程确定。设的对应关系由数，其自变量与因变量不少情况下有另一种函 ., 0)(,(,),(ixxfxfjyixxfy则成立恒等式若把它记作

2、下面看隐函数的例子.)., 1() 1,(0),(.,1. 01),(1111xxfyyxyxyyxfxx , 1 从而即一个通过方程对应唯一二元方程例.0111的单值交线与平面是空间曲面平面曲线几何意义zyxyzyx :. 0)1,(),(0)1,(),(,11,) 1 , 1(, 00.) 1 , 1(. 01),(2221222122xxfyxfxxfyxfxyxyyxyyyxyxyxf 2 或也就是或即对唯一一个则或若限定两个通过方程对应二元方程例. 0)(,),(),(),(),(022),(xxfxyyxxyyxfyx 3 即即后面证明通过方程对应唯一一个内，在原点某邻域二元方程例

3、).(),(022xyxzxyzyx相交成平面单值曲线时在与平面空间曲面几何意义 :., 的取值范围后才有意义它的方程以及隐函数必须在指出确定yx. 0sin21, 022yxycyx 又如方程.)(.)(微性但要研究其连续性和可函数隐函数一般不能化成显确定隐函数要研究什么条件下才能 ii i 二、二、隐函数存在性条件的分析隐函数存在性条件的分析.0),() 1 (的交集与的点集可看作满足方程zyxfz0. ),( ),( 00000.,) 1 (. 1yxfyxp使得则交集非空能确定隐函数若方程.0),(0),(,. 200000相交成平面曲线与在点从而相交于直线的切平面与在点则且可微在点若

4、zpyxfzlzpyxfzpfpfpfyx . (0,0),),( .(, 0(,)(000000)dd dd) pfpfxyxypfpfxfyyxxxxxyx则由链式法则可微若要求三、三、隐函数定理隐函数定理. 0),();,(;:00002000yxfyxfdyxfrdyxpfyy (iv) (iii);0(),( (ii),( (i) 内存在连续的偏导数在初始条件上连续为内点的某一区域在以函数若满足下列条件隐函数存在唯一性定理) )( ( 18.118.1 定理定理.),)(; 0)(,()()(,(),)(),()(),0),()(00000000000内连续在）且时当）使得函数隐内的

5、定义在某区间唯一地确定内，方程的某邻域则在点xxxfxfxfpuxfxxxxyxfxfyxxyxfdpup( 2 , ( 1(.,),(,. 0),(,. 0),(,.0000000000且连续上严格增在关于故使其上每点局部保号由不妨由）存在唯一性证：yyyyxfxxxyxfdyyxxfyxfyyy (iii), (iv) 1 aba +bp0. 0),(, 0),(,),(,),(),(. 0),(, 0),(000000000000yxfyxfxxxxxyxfyxfyxfyxf ,0, (i), (ii),时使当性由连续函数的局部保号上连续在和由由).()(),(0),(. 0),(),(

6、 ),(, 0, 0000000 xfyxxyxfyxfyyyxxxfbafababab函数隐内的间唯一地确定了定义在区即方程使唯一因此上边上的如图，在矩形aba +bp0. 0)(,()()(,( ,),( ,)(),(),()(0000000000 xfxfpuxfxxxxyxfyyxxpu且时当则令).(),)(00略内连续在）xxxf( 2. 0)(,),(0, 022),(xxfxyxxyyxfyx 满足内确定唯一一个隐函数的某邻域在验证二元方程：练习练习. 0)(,),(0 xxfxyx 满足确定唯一一个隐函数的某邻域内定理的条件，所以，在满足隐函数存在唯一性. 02ln)0 ,

7、0()0 , 0(2ln2),()0 , 0()0 , 0(22),(yyyyxfxyxffxyyxf）的邻域内连续，在），）的邻域内连续，在）因为，解：4 3 02 1 (iv). (iii),-i) , 18.1 但不满足处满足在点例如的条件仅仅是充分条件定理：()0 , 0(,)()()(,. 12222233yxyxx,yfxyx,yf注意注意 . (iv),iii)18.1 严格单调的某邻域内关于在可减弱为和的条件定理ypf0(. 2).(, 0),(,),(. 300ygxyxfyxfxx函数结论是存在唯一的连续连续改为和的条件定理 (iv)iii)18.1 .),(),()( )

8、,()() 1 ( ),(iv),-(i)18.1),( )(00yxfyxfxfxxxfyyxfdyxfyxx导函数，且内有连续在其定义域所确定的隐函数则由方程内存在连续偏导数又设在条件的满足定理设函数隐函数可微性定理 8.28.2 1 1 定理定理. 0),()(,( ),()(),( ),(, 0000yyxxfxfxfyyxxfyyxfyxxxxx且则设证：, y)yy, xx(fx)yy, xx(f)y, x(f)yy, xx(fyx 0 故,),(),(yyxxfyyxxfxyyx .),),(),(lim)(000内连续且在xxyxfyxfxyxfyxx( 例例1. 验证方程01

9、sinyxeyx在点(0,0)某邻域可确定一个单值可导隐函数, )(xfy 0dd,0dd22xxyxxy解解: 令, 1sin),(yxeyyxfx则并求,f,0)0 , 0(f, yefxx连续 ,由 定理可知,1)0 , 0(yf0, )(xfy 导的隐函数 xyfy cos在 x = 0 的某邻域内方程存在单值可且0ddxxy0 xffyx 1xy cosyex0, 0yx0dd22xxy)cos(ddxyyexx2)cos( xy 3100yyx)(yex)(cosxy )(yex) 1sin(yy1, 0, 0yyx0 xy30dd22xxy)(, 01sinxyyyxeyxyyc

10、os两边对 x 求导1两边再对 x 求导yyyy cos)(sin2令 x = 0 , 注意此时1,0yy0 yxyyexxey0 yx)0 , 0(cosxyyex导数的另一求法导数的另一求法 利用隐函数求导).(),(0, 022),(xxyxxyyxfyx并求连续导数的隐函数邻域内确定唯一一个有的某在验证二元方程： 练习练习.2ln22ln2)(yxxyx答：.注：导数有两种求法连续可微性定理元隐函数的存在唯一与并有下列元隐函数的概念所确定的类似地理解由方程nnyxxfn .0),(1., , )(),( 2),( ,),(,( ),(),(,( ,)(),( 1),(),()(),()

11、,()(yxxyxxxxnnnnnnnnnnnffffffffquxxfyxxfyxxfxxfpuxxfxxquxxxxfynrquxxqyxxfdpupnnn111010010110110110001010000而且内有连续偏导数在）且时）当使得隐函数元连续函数内的的某邻域一个定义在唯一地确定了内，方程的某邻域则在点,),( (iv), (iii),),( (ii),),(),( (i) : 000001000110001011yxxfdfffyxxfrdyxxpyxxfnyyxxnnnnn内存在且连续在偏导数上连续为内点的区域在以若满足下列条件 18.318.3 定理定理例例2. 设,04

12、222zzyx解法解法1 利用隐函数求导0422xzxzzxzxz2 22zxxz222)( 2xz222xzz0422xz2)(1xz322)2()2(zxz.22xz求再对 x 求导解法解法2 利用公式设zzyxzyxf4),(222则,2xfxzxffxz两边对 x 求偏导)2(22zxxxz2)2()2(zxzxz322)2()2(zxz2zxzx242 zfz.求法注：隐函数高阶导数的作业作业：p151, 1,2 , 3(2)(5), 5.四、四、隐函数问题举例隐函数问题举例( (自练自练) ).0sin21),(确定的隐函数及其导数讨论yxyyxf 例1例1.0333和二阶导数所确

13、定的隐函数的一阶讨论笛卡儿叶形线axyyx 例2例2.0),(323元隐函数及其偏导数在原点附近所确定的二讨论zyxxyzzyxf 例3例3.,)(,)(000其导数讨论反函数的存在性与且的某邻域内连续在设函数 yxfxxfy 例4例42 2 隐函数组隐函数组一、一、 隐函数组概念隐函数组概念.) 1 (.,) 1 () 1 (, 0),(, 0),(,),(.),(),(24隐函数组隐函数组所确定的组称这两个函数为由方程内的函数和值域分别落在上确定两个定义在则说方程组一起满足方程组它们与上唯一的一对值和分别有区间中每一点对于若存在平面区域函数上的两个四元为定义在区域和设 , kjrdvuyx

14、gvuyxfyxkvjukjyxddrvvuyxgvuyxf . 0),(),(,(, 0),(),(,(),(),(yxgyxfyxgyxgyxfyxfdyxgvyxfu上成立恒等式则在若分别记为二、二、隐函数组定理隐函数组定理)2(, 0, 0,) 1 (, xvxuxxvxuxvguggvfuffvugf则也可微与所确定的两个隐函数由方程组可微和假设)3(, 0, 0 yvyuyyvyuyvguggvfuff)4()2(,)2( 0. vuvuyyxxggffvuvu的充分条件是与解出从与解出从.j vuvuggffvugf),(),(,)4(记为左边为称雅可比行列式雅可比行列式.),(

15、),(1 vxgfjggffggffuvuvuvxvxx. 0)(),(),(yvuvufggffvugfiv18.10 中的条件相当于定理这里. 0),(),(;,;),(),(:000000000400000pvugfjgfvvuyxgvuyxfrvvuyxpvuyxgvuyxf (iv) (iii);0(),( 0,),( (ii) ),( (i) 具有一阶连续偏导数内在初始条件内连续为内点的区域在以和若满足下列条件隐函数组定理) )( ( 18.418.4 定理定理;)(),(),()2, 0),(),(,(, 0),(),(,(),(),(),(,()(),() 1,)()(0000

16、00000000000内连续在时且当使得内的两个二元隐函数的邻域在唯一地确定了定义内，方程组的某邻域则在点quyxgyxfyxgyxfyxgyxgyxfyxfpvyxgyxfyxquyxyxgvyxfuquyxqvpvp ),( ),( ),(1) 5(.),(),(1,),(),(1,),(),(1,),(),(1,)(),(),() 30 yugfjyvvygfjyuxugfjxvvxgfjxuquyxgyxf 且内有一阶连续偏导数在. (1) (iv)其他情形均可类似推得的隐函数组应是确定则方程组改为的条件定理).,(),(, 0),(),(0 xuvvxuyyvygfp18.418.4

17、 注意注意. vuvuvxvxxggffggffu.,)2 , 1 , 1 , 2(, 01),(, 0),(0222并求其偏导数数附近能确定怎样的隐函在讨论方程组 pxyvuvuyxgyxvuvuyxf 例1例1;)2 , 1 , 1 , 2(, 1, 1,2,2, 1,23; 0)()(;)2 , 1 , 1 , 2(,0000的邻域内连续在的邻域内连续在解：pggxgygvfuffxfpgpfpgfvuyxvuyx 2 1 ooo:! 2! 2! 4)2 , 1 , 1 , 2(240个雅克比式处在64 ocp. 01144),(),(,61142),(),(000 0, ppvuvup

18、vxgfggffvugf仅 .,)2 , 1 , 1 , 2(0变量的隐函数变量可以作为其余两个任何两个的隐函数外难以确定为附近除在uyvxp求偏导数，得到关于的偏导数，则对方程组如果求xxyvuvuyxgyxvuvuyxfyxvvyxuu , 01),(, 0),(),(),(222;1122122,1122122, 0, 022vuyuxvuyxuvvuyvxvuyvxuyvuxvvuuxxxxxx 2 . ),(),(1,),(),(1xugfjxvvxgfjxu亦即公式求偏导数，得到关于对方程组yxyvuvuyxgyxvuvuyxf , 01),(, 0),(222.121122112

19、,211122121, 0, 012vuxuvuxuvvuxvvuxvuxvuvvuuxyyyyy 2 . ),(),(1,),(),(1yugfjyvvygfjyu亦即公式.,),(),()0 , 1 (,4 .18) 1 , 1 , 0 , 1 (),(, 0, 000002222yvxvyuxuyxvvyxuuvuyxvuxyuvyx 求连续偏导数的隐函数组的邻域存在唯一一组有从而在点的条件邻域满足定理的在验证方程组： 练习练习;),(,2,2,2,23; 0)()(;) 1 , 1 , 0 , 1 (,000000002222的邻域内连续在邻域内连续在解：vuyxpvgugxgyguf

20、vfyfxfpgpfpvuxyguvyxfvuyxvuyx 2 1 ooo；0 4 o42211),(),(00pvuvupggffvugf).,(),()0 , 1 (yxvvyxuu导数的隐函数组邻域存在唯一有连续偏故在点.)(24),(),(1,)(24),(),(12222vuyvxuxugfjvvuyuxvvxgfjuxx. vuvuvxvxxggffggffu例例2. 设, 1,0vxuyvyux.,yvxvyuxu解解:xyyxjjxu122yxvxuyyu方程组两边对 x 求导，并移项得求vxvxxuyxvyu22yxvyuxvyuxjxv122yxuyvx练习练习: 求yvy

21、u,uxvyxux022yx22yxvyuxyv答案答案:由题设故有三、反三、反函数组与坐标变换函数组与坐标变换 (9) (9) .(9) , .),().,(),(,:.),(),(,),()9(),(),(2222bpptqvuqyxprbttrbrvuquvbyxprbxyyxvvyxuu或写成点函数形式也写作这时映射记作的一个到确定了称方程组我们与之对应平面上唯一的一点有由方程组对每一点上的两个函数平面点集是定义在设函数组变换变换映射映射 .(9) , .),(.,:,),(,111bqqtppqbbtttbpbqt或即记作的射由此产生的新映射称映与之对应确定一点都唯一由方程组这时每一

22、点是一一映射若反过来逆变换逆变换逆映射逆映射 .(9)(10)(11) (9)(10) 反函数组反函数组的是函数组这时我们又称函数组成为恒等式把它代入上的函数组亦即存在定义在).,(),(),(),(:),(),(vuyvuxvvvuyvuxuuvuyyvuxxb).(.,),(),(btbtbqpyxptvuq为的下在映射记的为的下为映射称象集象集原象原象象象 .(9) , .),(.,:,),(,111bqqtppqbbtttbpbqt或即记作的射由此产生的新映射称映与之对应确定一点都唯一由方程组这时每一点是一一映射若反过来逆变换逆变换逆映射逆映射就有用应用于并并将定理改写为需将只的特殊情

23、形是隐函数组存在性问题反函数组的存在性问题 18.4 (9) ),12()12(. 0),(),(, 0),(),(.yxvvvuyxgyxuuvuyxf, 0),(),(,)9(00000000002pyxvuyxvvyxuudyxprd ),( ),( ),( 且的内点为点上连续区域及其一阶偏导数在某设函数组反函数组定理 ) )( ( 18.518.5 定理定理).,(),(),(),(),(),(),(,)(),(),(),10()(),000000000000vuyvuxvvvuyvuxuupuvuyvuxpuvuvuyyvuxxpuvup :(11) ), (以及恒等式有时且当使得数

24、内存在唯一的一组反函的某邻域则在点(15) .),(),(,),(),(,),(),(,),(),(,)(,0yxvuxuvyyxvuxvuyyxvuyuvxyxvuyvuxpu且内存在一阶连续偏导数反函数组在此外. 1),(),(),(),(vuyxyxvu :(13)看到由.sin,cos),(),(所确定的反函数组之间的变换与极坐标的直角坐标讨论平面上点ryrxryxp 例3例3.),(),(),(),(),(坐标变换坐标与曲面坐标之间的它们是三维空间中直角数组为的条件下所确定的反函在相应于定理对于函数组),( 18.5 x,y,zwwzyxvvzyxuuwvuzzwvuyywvuxx.

25、cos,sinsin,cossin),(),(rzryrxrzyx 之间的变换公式与球坐标讨论直角坐标 例4例4作业作业：p157, 1, 2(2), 3(1), 6.3 3 几何应用几何应用因本节讨论的曲线和曲面的方程以隐函数因本节讨论的曲线和曲面的方程以隐函数(组组)给出，故在求它们给出，故在求它们的切线的切线(或切平面或切平面)时都要用到隐函数时都要用到隐函数(组组)的微分法。的微分法。一、一、 平面曲线的切线与法线平面曲线的切线与法线例:求x2+y2=4在(2,2)处的切线.),(,0),(000条件的某邻域内满足隐函数它在点给出设平面曲线由方程yxpyxf (1) )2(. 0)(,

26、()(,(),(),(),(:000000000000 yyyxfxxyxfxxyxfyxfyyyxyx即则切线方程)3(, 0)(,()(,(),(),(),(:000000000000 yyyxfxxyxfxxyxfyxfyyxyxy即法线方程.) 1 , 2(09)(233处的切线和法线在点求笛卡儿叶形线xyyx 例1例1. 012),(0),(96),(,96),(,9)(22233121512 yxyxffxyyxfyxyxfxyyxf，全平面连续，在解： . 0645, 0) 1(12)2(1:yxyx即切线方程5 . 01354, 0) 1(15)2(1:yxyx即法线方程 2

27、.)2, 2(422处的切线和法线方程在求： yx 练习1练习1 . 04)2,(04)2,(2,2, 422222 yxyxffryfxfyxf，上连续，在解： , 0)2(4)2(yx4 切线方程：. 0 yx方程：法线 ) 1)2(.(1)2(, 0222)2,(2)2,(yxffyyyyx或另解：. 0),2( 12. 04),2( 12yxxyyxxy 即法线方程即切线方程二二、 空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面. 0)()()(,),(),(),(,),(),(),(),(:20202000000000000tztytxttzztyytxxzyxplttzztyytxx

28、l ,(4) (4) 且可导式中的三个函数并假定这里处的切线和法线方程上点表示的空间曲线讨论由参数方程 :.000tzzztyyytxxx则割线方程ozyx0pp.)(),(),(000tztytxt切向量：)5(.)()()(000000 : tzzztyyytxxx切线方程推出)6(. 0)()()(000000 :zztzyytyxxtx法平面方程.,sin,cos3平面方程处的切线和法在求螺旋线：tbtztaytax 练习2练习2 . ),(.,cos,sin223batbztaytaxa切向量：解：,:3223232bbzayaxaa切线方程. 0)()()(:3232223bzba

29、yxaaa法平面方程)8().(),(),0),(),()(),(,0),(, 0),(000000 (7) iv (7) : zyzxpyxgfzyxpzyxgzyxfllp的隐函数组近能确定唯一连续可微附在点则方程组是这里不妨设条件件组定理条的某邻域内满足隐函数若它在点给出时由方程组当空间曲线. 1,),(),(),(),(),(),(),(),(zyxyxgfzxgfyxgfyzgf)9(.),(),(),(),(),(),(000000 : pppyxgfzzxzgfyyzygfxx切线方程推出. 1,),(),(),(),(),(),(),(),(zyxyxgfzxgfyxgfyzg

30、f)9(.),(),(),(),(),(),(000000 : pppyxgfzzxzgfyyzygfxx切线方程推出)10( . 0)(),(),()(),(),()(),(),(000000 :zzyxgfyyxzgfxxzygfppp法平面方程.)5 , 4 , 3(50222222处的切线和法平面方程点所截出的曲线的与锥面求球面zyxzyx 例2例2 861086. 08686),(),(120610610),(),(160108108),(),(,10,)5 , 4 , 3(,2,2,2,2,2,2,50222222yxgf-xzgf-zygfgggfffzgygxgzfyfxfzy

31、xgzyxfzyxzyxzyxzyx，并且处，在解： . 05, 0)4(4)3(3,0512041603:)5 , 4 , 3(zyxzy-x即点切线方程在 . 034, 0)5()()(:yxzyx即法平面方程 04334 .)5 , 4 , 3(50222222处的切线和法平面方程点所截出的曲线的与锥面求球面zyxzyx 例2例2. 05, 0)4(4)3(3,0512041603:)5 , 4 , 3(zyxzy-x即点切线方程在 . 034, 0)5()()(:yxzyx即法平面方程 04334 .222, 0222zyyxxzyyxx分析：., 1, 6108, 6108, 022

32、2, 02221600160120结果相同另解：zyxzyzyzzyyxzzyyx1dxdzdxdyxdxdzzdxdyy,zyxzdxdy,zyyxdxdz, 0) 1, 2, 1 (dxdy, 1) 1, 2, 1 (dxdz,1, 0, 1t所求切线方程为所求切线方程为,110211zyx法平面方程为法平面方程为, 0) 1()2(0) 1(zyx11. 0 zx 即三三、 曲面方程的切平面与法线曲面方程的切平面与法线).0),(),(,0),(0000000zyxfzyxpzyxfz设这里不妨条件的某邻域内满足隐函数它在点给出设曲面由方程 (11) ),(),(),()(),(),(:

33、0000000000000000yyzyxfzyxfxxzyxfzyxfzzpzyzx处的切平面方程则推出在点.1),(),(),(),(000000000000000zzzyxfzyxfyyzyxfzyxfxxzyzx :法线方程(12) , 0)(,()(,()(,(: ,000000000000zzzyxfyyzyxfxxzyxfzyx切平面方程分别改写为(13) .),(),(),( :000000000000zyxfzzzyxfyyzyxfxxzyx法线方程解解, 32),(xyezzyxfz, 42)0 , 2 , 1 ()0 , 2 , 1 (yfx, 22)0 , 2 , 1

34、()0 , 2 , 1 (xfy, 01)0 , 2 , 1 ()0 , 2 , 1 (zzef令令切平面方程切平面方程法线方程法线方程, 0)0(0)2(2) 1(4zyx, 042yx.001221zyx 4.)5 , 4, 2(4022和法线方程处的切平面方程在求曲面：pzyx 练习练习.)2(, 524,2 ,2152412zyxzyxyxn (1) 4,-8,-4, (2,-4,5)解：小结：平面曲线的切线和法线；空间曲线的切线和法平面；曲面的切平面和法线。推导(含义),公式、运用。作业作业：p163, 2(2), 3(1), 5, 7.4 4 条件极值条件极值一、一、 条件极值的概

35、念条件极值的概念以前所讨论的极值问题，其极值点的搜索范围是目标函数的定以前所讨论的极值问题，其极值点的搜索范围是目标函数的定义域。但是，另外还有很多极值问题，其极值点的搜索范围还义域。但是，另外还有很多极值问题，其极值点的搜索范围还受到各自不同条件的限制。受到各自不同条件的限制。? , 其表面积最小高各为多少时试问水箱的长宽的长方形开口水箱要设计一个容量为,:v例如例如.)(2),(,xyyzxzzyxszyx 则其表面积为设水箱的长宽高分别为.),0, 0, 0(vxyzzyx 满足条件而且还须义域的要求其自变量不仅要符合定).(),(0),(0),(:21的最小值上点的距离到即点的距离到曲

36、线外定点试求曲线的交线与是两个曲面空间曲线cpccbapczyxfzyxfc , 如如再. 的最小值要求距离函数上任意点为空间曲线设：222)()()(),(,),(czbyaxzyxdczyxm问题实质问题实质., 0),(, 0),()(,21的限制函数方程组受到条件其中zyxfzyxfzyx 这种附有约束条件的极值问题称为这种附有约束条件的极值问题称为条件极值问题条件极值问题，不带约束条，不带约束条件的极值问题称为件的极值问题称为无条件极值问题无条件极值问题。.(3) )( (2) 的约束下的极值在满足条件组求目标函数式条件极值问题的一般形nmmkxxxxxxfynkn, 1 , 0,

37、0),(),(:2121二、二、 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法过去把条件极值问题化为无条件极值问题过去把条件极值问题化为无条件极值问题.例如例如上述水箱设计问题上述水箱设计问题. .(5) (4) 下的极值在条件求皆为二元函数为例现在以0),(),(.,yxyxfzf. 0)(),(),()( ,),(),( )()(,( , 0)(,(),(0000000000000 xgyxfyxfxzyxyxxgxgxfzxgxyxyxyx，故为极值点，因设.0),()(),(,),(),( ),(),( )(:00000000000有公切线在与曲线即等高线注pyxpfyxfyxyxyxfyxfxgyx

38、yx, 0),(),(, 0),(),(),(, 0),(),(),( (10) ),(),(),( ,000000000000000000000yxyxlyxyxfyxlyxyxfyxlyxyxfyxlyyyxxx则并构造辅助函数若引入辅助变量.),(),(00000yxyxfyy这样就把条件极值问题这样就把条件极值问题(4)、(5)转化为函数转化为函数(10)的无条件极值问题，的无条件极值问题，这种方法称为这种方法称为拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法。 (10)中的函数中的函数l称为称为拉格朗日函拉格朗日函数数，辅助变量，辅助变量称为称为拉格朗日乘数拉格朗日乘数。(12) ,(3)(2), )

39、,(),(),(121212121mknkknmnxxxxxxfxxxl构造拉格朗日函数表示的条件极值问题和对于一般的,(,),(,), 1 , 0()0(1)0()0(1)0()0(111)0()0(100nmpnmmnnkxxmmxxxxxxpddmkf使得个常数则存在的秩为且雅可比矩阵是上述问题的极值点的内点若内有连续的一阶偏导数在区域与其中下的极值问题在条件对于函数 ,(13) ,(3)(2) 11定理18.6定理18.6. : ,的解个方程下述为即的稳定点为拉格朗日函数0),(, 0),(, 0, 0),()12()212111111)0()0(1)0()0(1)0(11nmnmkn

40、kknxmkkkxmnmxxxlxxxlxxflxxflmnxxmn .题题能能判判断断有有极极值值的的极极值值问问根根据据具具体体( (实实际际) )问问题题 1 1. .三、三、 例题例题.问题求解本节的水箱设计的用拉格朗日乘数法重新 例1例1. )()(2),(vxyzxyyzxzzyxl设拉格朗日函数解： , 0, 0)(2, 02, 02vxyzlxyyxlxzxzlyzyzlzyx解方程组.22)4(;2)3() 1 ();0()2() 1 (3vzyxzxzxzyxyx 得再由得由舍去得由.4324333322.vvvvxyzv值为时，表面积最小，最小，分别为因此当长宽高下确实存

41、在最小值依题意，水箱表面积在. . 最短距离求椭圆到原点的最长和截成一个椭圆被平面抛物面122zyxzyx例2例2.1),(22222题下的最大值与最小值问及在条件函数这个问题的实质是要求解： zyxzyxzyxzyxf. ) 1()(),(22222zyxzyxzyxzyxl设拉格朗日函数 . 01, 0, 02, 022, 02222zyxlzyxlzlyylxxlzyx解方程组.311735332231 , 3, 3 zyx，得到.,)(,)(.35-9,35935932231231 和最短距离于是椭圆到原点的最长得，又由故有最大值最小值上连续有界闭域由于距离函数在椭圆条件极值必在其中取

42、得f解解令令 )12(),(23 zyxzyxzyxf , 120020323322zyxyxfyzxfzyxfzyx 解解得得唯唯一一驻驻点点)2 , 4 , 6(，.691224623max u则则故最大值为故最大值为之间的最短距离与平面求曲面2222zyxyxz练习练习2解解.2261022,),(22zyxdzyxpyxzzyxp的距离为到平面则上任一点为抛物面设最小使满足化为求点2222)22(610),(zyxdzyxzyxp),()22(61),(222yxzzyxzyxf令得得)4(,)3(, 0)2)(22(31)2(, 02)22(31) 1 (, 02)22(3122 y

43、xzzyxfyzyxfxzyxfzyx.81,41,41:zyx解得.647241414161mind),81,41,41(即得唯一驻点处取得最小值驻点，故必在一定存在，且有唯一根据题意距离的最小值)81,41,41(.其它问题其它问题 2.2. .,3 ; 是任意正实数其中并证明不等式极小值下的在条件求cbaabccbazyxrzyxxyzzyxf,111)0, 0, 0(1111),(31例3例3.3),1111(),(rzyxrzyxxyzzyxl求得稳定点解： .)3 ,3(),(),(),(1111取极小值是否在考察确定rryxxyzyxfyxzzrzyx., 0)3 ,3(, 0)

44、()3 ,3(2最小极小rrffffxxrrxyyyxx.,)3(,111,)3(313得证则取故rabccbarczbyaxrxyz小结小结：条件极值的概念；条件极值的概念；拉格朗日乘数法的推导和理论；拉格朗日乘数法的推导和理论；拉格朗日乘数法的应用拉格朗日乘数法的应用(解决条件极值问题解决条件极值问题): 极值、最值、不等式极值、最值、不等式,典型例题。典型例题。 作业作业：p169, 1(3), 2(1), 3(1), 4(提示:仿例3).“第第18章章 隐函数定理及其应用隐函数定理及其应用”的习题的习题课课一、内容要求一、内容要求1、了解隐函数的概念，理解隐函数存在唯一性定理、可微性定

45、、了解隐函数的概念，理解隐函数存在唯一性定理、可微性定理，掌握隐函数的求导法理，掌握隐函数的求导法2、了解隐函数组的概念，理解隐函数组定理、掌握求导法，、了解隐函数组的概念，理解隐函数组定理、掌握求导法，了解反函数定理与坐标变换了解反函数定理与坐标变换3、会求平面曲线的切线与法线，空间曲线的切线与与法平面，、会求平面曲线的切线与法线，空间曲线的切线与与法平面，曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线4、会用拉格朗日乘数法解决条件极值问题、会用拉格朗日乘数法解决条件极值问题(极值、最值、不等式极值、最值、不等式)二、作业问题二、作业问题p151，1，2； p158，6三、练习三、练习(1)? 3)(

46、1)? 2)(1)? 1).(1) (2) (1) , 满足问有多少单值连续函数设满足方程问有多少单值连续函数满足方程问有多少单值函数的单值函数为满足及设已知方程)2(, 0) 1 ()( ; 1)0()( :)2()2() 11()(122ybyaxxyyyx1 1 . , 1:的单值函数都是满足时当时且当例如无限个解) 1 (), 2 , 1(,1,11,1)(.1212nxxxxxxynnn) ) . : 2)时当时当两个11,1,11,122xxyxxy . (a) 3)两个与一个22211)( ,1xyxybxy .( ) 11)()(22222xxyyyyxyx和单值连续的各枝的各

47、个枝点所确定的多值函数求由方程2 2.cos22r.sgn,sgn, 1, 1)(),112)21 (18)(211811.218)21 ()(222222222222xxxxxxxyxxxxxyyxyx其中，故单值连续的各枝为时因当得解：由 ( , (-1,0).(1,0)(0,0), 及经过验证得枝点为从而解之得下面求各个枝点：, 1, 0, 0, 022)(2)(2222222xyyyyxyxyxy ., yxzyzxzyxzzfzyyxf2),(,0),(并求隐函数问在何处存在具有连续的二阶偏导数且设3 3).,(00) 1(22yxzzfffz 时，存在隐函数即当解 :.10)1 (

48、) 1(;0)(21212121ffyzyzffffxzxzff .)()(2)(, 0)()(1 () 1()1 () 1(3221221221221122222211211ffffffffyxzyxzfxzyzffyzff .)()1 () 1()1 () 1(2222211212112同上或： fyzffffyzffyxz . 22),(,sinsincoscoscosxzyxzzzyx并求问在何处存在隐函数设4 4).,(sinsin),(),(02sin,2sincossincoscossinsinsincoscossin),(),(sincoscoscos :21yxzzyx，yxyxyx隐函数得代入，时存在反函数当知，由解.cossin,cos22222xxxzxxz,cossin,sincoscoscossinsin0sincoscossin1 xxxxxx，,cossincoscos