213实际问题和一元二次方程(第3课时)

1、21.3实际问题与一元二次方程一、内容和内容解析1. 内容列一元二次方程解决有关“面积问题”2. 内容解析本节课以“面积问题”为载体，进一步深入学习建立一元二次方程模型分析和解决实际 问题.重点是分析实际问题中的数量关系，利用儿何图形的面积建立一元二次方程的数学模 型.二、目标和目标解析1. 目标（1）能正确利用面积关系列出关于儿何图形的一元二次方程；（2）进一步深入体会一元二次方程在实际生活中的应用，经历将实际问题转化为数学 问题的过程，提高数学应用意识.2. 目标解析达成目标（1）的标志是：借助儿何图形而积之间的关系，分析出已知条件的关系，从 而选择合理的未知数，列出相应的代数式，分析等量

2、关系，列出正确的方程来解决实际问题.达成目标（2）的标志是：在用一元二次方程解决“面积问题”的过程中，对用方程解 决实际问题的步骤（审、设、列、解、验、答），以及需注意的事项继续进行总结和深化， 体会一元二次方程是解决实际问题的一种数学模型.三、教学问题诊断分析通过前两节课的学习，学生已具备一定的建模思想，了解将实际问题转化为数学问题 的一般步骤，积累了一定的解题经验和方法.本课时屮的实际问题与图形面积相关，通过合 理的设未知数，将长宽表示出来，从而根据面积z间的关系建立一元二次方程解决问题.四、教学过程设计1. 从实际背景中抽象出一元二次方程模型问题1要设计一本书的封面，封面长27 cm,宽

3、21 cm,正中央是一个矩形,如杲要使四周 的边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下、左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽 度？师生活动：学生思考、交流、回答.小组交流后提问（1）四周边衬的面积怎么表示？（2）屮央矩形的长和宽受什么影响？根据已知条件，如何设未知数？面积怎样表示？这本书的上下左右边衬的宽度相等，可设四周边衬的宽度为xcm,则中央矩形的面积可以表示为（27-2x） （21-2x）(3) 题中的等量关系是什么？可以怎样列出方程？据四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一，可列方程为27x21-(27-2x)(21-2x) = -x 27x214(4) 还有其它方法列出方程吗？比较

4、一下哪种方法更简洁？据四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一可知正中央矩形的面积是封面面 积的四分之三，从而得方程3(27-2x)(21-2x) = -x27x2l4方法二更简洁，找出等价的等量关系，可以使问题更简洁.(5) 通过解决这一问题，你有什么收获？不规则儿何图形的而积，常常需要转化为规则儿何图形的而积。解决问题时要 适当选择有关的量设出未知数，再通过面积之间的等量关系建立方程。设计意图：回顾列解决问题的方法，明确每一步的核心内容，为后面探究三的 解决铺设知识基础.2. 探究三的解决问题2如图，要设计一本书的封面，封面长27cm,宽21cm,正中央是一个与整个封面 长宽比例相同的长方形

5、.如果要使四周的彩色边衬所占而积是封面面积的四分2，上、下 边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度(结果保留小数点后一位)？t21：师生活动：学生独立思考，冋答.教师提出问题引导学生：(1) 本题和上一个问题在已知条件的描述上有什么区别？上一个问题是上下左右边衬都等宽，而这个问题是上下边 衬等宽、左右边衬等宽.(2) 条件中的上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，上下和左右的边衬之间有什么关系？封面的长宽之比是27:21=9:7,中间长方形的长宽之比也应是9:7。设中间长方 形的长和宽分别是9acm和7°cm,由此得上下边衬与左右边衬的宽度之比是-(27-97):-(27 7a

6、)2 2= 9(3-a) ：7(3-a)=9 7o(3) 你如何合理的设未知数，根据等塑关系列出方程？设上、下边衬的宽均为9xcm,左、右边衬的宽均为7xcm,则中间长方形的长为 (27-18%) cm,宽为(2114兀)cm.根据等量关系中间长方形的面积是封面面积的四分之三.可列方程3(27-18x)(21-14%) = -x27x21,4整理得16无2一4张+ 9 = 0。解方程得x =乞婕。4（4）方程的哪个根符合实际意义？为什么？因为上、下边衬的宽为9俎左、右边衬的宽为7兀根据题意，9x<27,7xv21,也就 是x<3,所以x应该取x = 634（5）有没有更简单的方法？

7、设屮间矩形的长、宽分别为9xcm,7xcm.列方程 9x，7x=4x 25解得“ 26。进而得上、下边衬的宽度0 一9 x 2.6） x 0.5 = 1.8 ；左、右边衬的宽度（219x2.6）x05 = 1.4。设计意图：探究3的问题中，方程的两个根都是正数，但它们并不都是问题的解，需 要根据实际意义作出取舍，这有利于培养学生的数学应用能力.3. 练习、巩固应用教科书第22页练习9：4. 小结问题3回顾前面几节课的学习内容，你能总结一下建立一元二次方程模型解决实际问 题的基本步骤吗？需要注意哪些问题？师生活动：学生先思考、讨论，教师帮助总结。要强调：认真审题很重要，耍采取适 当方法分析清楚问题中的各种数量及其相互关系，设出未知数，利用等量关系建立一元二次 方程。要注意合理设出未知数，这样可以使问题的解决更为简单；还要注意分析一元二次方 程的两个根是否符合实际问题的要求.设计意图：归纳建立一元二次方程模型解决实际问题的基本过程和方法，形成整体认 识，进一步提高一元二次方程的应用能力.5. 布置作业教科书笫25页，复习题