第三节、三重积分在直角坐标系下的计算

1、三重积分在直角坐标系下的计算三重积分在直角坐标系下的计算 一、坐标面投影法一、坐标面投影法 ( (先单后重先单后重) )二、坐标轴投影法二、坐标轴投影法( (截面法截面法, ,先重后单先重后单) )三、利用三、利用对称性对称性简化三重积分的计算简化三重积分的计算.,xydxoy得投影区域得投影区域平面投影平面投影向向将积分区域将积分区域),( , ),(),(),(21xydyxyxzzyxzzyx xyzoxyd),(:11yxzz ),(:22yxzz ).(),(),(21xydcyxzyxz 型空间区域型空间区域xy:.:相交不多于两点相交不多于两点的边界曲面的边界曲面直线与直线与内部

2、的内部的面且穿过面且穿过任何一条垂直于任何一条垂直于特点特点xoy一、坐标面投影法一、坐标面投影法(先单后重法先单后重法)作定积分作定积分固定固定,),(xydyx ),(),(21d),(),(yxzyxzzzyxfyx上作二重积分上作二重积分在在xydyx),( xydyxyxdd),( xydyxzyxzyxzzyxfdd)d),(),(),(21 xydyxzyxzyxzzyxfvzyxfdd)d),(d),(),(),(21上连续时上连续时在在当函数当函数 ),(zyxfxyzoxyd),(yx1z2z),(:11yxzz ),(:22yxzz 型空间区域型空间区域yz: yzdzy

3、xzyxzyxzyxfvzyxfdd)d),(d),(),(),(21yzxoyzd),(zy1x2x),(:11zyxx ),(:22zyxx 型空间区域型空间区域zx: zxdxzyxzyxzyzyxfvzyxfdd)d),(d),(),(),(21zxyozxd),(xz1y2y),(:11xzyy ),(:22xzyy x0z yabcdz=gz=enmpzyxzyxfiddd ),( =a ,b ; c ,d ; e ,gi = gezzyxfd),(积分区域是长方体积分区域是长方体. d同理，也有其它同理，也有其它 积分顺序积分顺序 dyxdd gedcbazzyxfyxd),(d

4、dz =0y = 0 x =00y x ：平面平面 x= 0, y = 0 , z = 0，x+2y+ z =1 所围成的区域所围成的区域 先画图先画图x0z y1121dxy 是是曲曲顶顶柱柱体体 dxy:x = 0, y = 0, x+2y =1 围成围成：上顶上顶yxz21 ：下底下底z = 0121 yxxzyxxddd 481 .例2.计算三重积分x + 2y + z =1dxyzyxxiddd yxdzxyxxydddi =其中 为三个坐标例例2. 计算三重积分计算三重积分,dddzyxx12zyx所围成的闭区域 .1xyz121解解:zyxxddd)1(01021d)21 (dx

5、yyxxxyxz210d1032d)2(41xxxxyxz210)1(021xy10 x )1(021dxy10d xx481面及平面机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3.3. , 0,)(xdxdydzzyx是由平面其中y = 0, z = 0 和和 x+y+z =1所围成的四面体所围成的四面体.解解: :.xdxdydz考虑 在在xy面上的投影区域为面上的投影区域为dxy : 0 y 1 x, 0 x 1.沿沿 z 轴方向轴方向,下方曲面下方曲面: z=0, 上方曲面上方曲面: z = 1 x y. y0zx111dxyx+ y=1x+ y+z=1yxxxdzdydxxdxdydz1

6、01010 xdyyxxdx1010)1 (dxyxxx10210)1 (21dxxx210)1 (21.241类似类似,241zdxdydzydxdydz81原式.zyx)z ,y,x(f为为三三次次积积分分化化三三重重积积分分 ddd666x+y+z=63x+y=62.例4.x0z y ：平面平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和和 x+y+z=6所围成的区域所围成的区域zyx)z , y,x(fiddd 计计算算3x+y=63x+2y=12x+y+z=6.4.666x0z y42 ：平面平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和和 x+y+

7、z=6所围成的区域所围成的区域zyx)z , y,x(fiddd 计计算算42x+y+z=6.4.x0z y666 ：平面平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和和 x+y+z=6所围成的区域所围成的区域zyx)z , y,x(fiddd 计计算算42 yxdzz , y,xfyxi6 0)d(dd.dx+y+z=60y x624d yxyyzzyxfxyi6 032 4 3 26 0d),(dd.x0z y666 ：平面平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和和 x+y+z=6所围成的区域所围成的区域zyx)z , y,x(fiddd 计计算算

8、例4. ：平面平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和和 x+y+z=6所围成的区域所围成的区域0y x6241 找出上顶、下底及投影区域找出上顶、下底及投影区域2 画出投影区域图画出投影区域图dxy:y = 0, 3x+y = 6, 3x+2y =12 围成围成yxz 6z = 0不画立体图做三重积分不画立体图做三重积分dxy yxdzz , y,xfyxixy6 0)d(dd yxyyzzyxfxy6032 43 260d),(dd. 是是曲曲顶顶柱柱体体 ：上顶上顶：下底下底例4.zyx)z , y,x(fiddd 计计算算1x+ y=1yozx1z=xy.p16

9、4.1(1) 所所围围成成的的区区域域 与与 : z,yxxyzzyx)z , y,x(fiddd 计计算算z =01x+ y=1ozx1yz=xy. 所所围围成成的的区区域域 与与 : z,yxxyzzyx)z , y,x(fiddd 计计算算11z =0ozxx+ y=1y dxyzz ,y,xfyxi0)d(dd。zz , y,xfyxxyxd )(dd01 010 。z=xy. 所所围围成成的的区区域域 与与 : z,yxxyzzyx)z , y,x(fiddd 计计算算 所所围围成成的的区区域域 与与 : z,yxxyzdxy:xyz 围围成成 yx,y,xz =00y x11 xy

10、dzz , y,xfyxixy 0)d(dd xyxzzyxfyx 01 01 0d),(dd。dxy：上顶上顶：下底下底是是曲曲顶顶柱柱体体 p164.1(1)双曲抛物面双曲抛物面zyx)z , y,x(fiddd 计计算算 4 1:22 及及三三个个坐坐标标面面所所围围区区域域平平面面, , 曲曲面面 yxyxzdxy:122 yxz围围成成 0, yx,yxz = 0440y x 1 022)d(ddyxdzz , y,xfyxixy 104 04 022d),(ddyxxzzyxfyx。dxy：上顶上顶：下底下底 是是曲曲顶顶柱柱体体 7.zyx)z , y,x(fiddd 计计算算

11、4 1:22 及及三三个个坐坐标标面面所所围围区区域域平平面面, , 曲曲面面 yxyxzy14x+ y = 4x = 0 xzo11 22 yxz.7.zyx)z , y,x(fiddd 计计算算 4 1:22 及及三三个个坐坐标标面面所所围围区区域域平平面面, , 曲曲面面 yxyxz14x+ y = 4y = 0 xyz dyxzz , y,xfyxid )(dd1022.dzzyxfyxyxxd ),(dd .7.ozyx)z , y,x(fiddd 计计算算设空间有界闭区域设空间有界闭区域 满足满足c c1 1 z z c c2 2, , 并且以平行并且以平行于于 xyxy 面的平面

12、面的平面 z z = = 常数常数( (z z) ) 截截 所得平面区域为所得平面区域为d dz z , ,则则vdzyxf ),(.),(21zdccdxdyzyxfdz0yzxc1c2zdz坐标轴投影法坐标轴投影法(截面法截面法)二、坐标轴投影法二、坐标轴投影法(截面法截面法)先重后单法先重后单法) 21)(ccddzdxdyzgzvdzyxf ),(特别特别, 若若 f (x, y, z) = g (z).),(21 zdccdxdyzyxfdz例例1.1. 解解: : : c z c , (x, y) dz ,.1:222222czbyaxdz zdccdxdyzdzdvz22 zdc

13、cdxdydzz2yzx0ccdz.1:,ddd2222222所围成的空间闭区域所围成的空间闭区域其中其中计算计算 czbyaxzyxz椭圆面积为椭圆面积为 ab. ,1:222222czbyaxdz ,1,1,2222czbcza 半半短短轴轴分分别别为为半半长长轴轴,122 czab 面面积积为为dzczabzcc 2221 原原式式.1543abc .1:,ddd所围成的闭区域所围成的闭区域三个坐标平面和平面三个坐标平面和平面计算积分计算积分 zyxzyxz zyxzddd1| ),(zyxyxdz , )1)(1(21ddzzyxzd .241d)1(21102 zzz原式原式,ddd

14、10 zdyxzz例例2 2解解使用对称性时应注意使用对称性时应注意1.1.积分区域关于积分区域关于坐标面的坐标面的对称性对称性. .2.2.被积函数在积分区域上关于三个坐标变量的奇被积函数在积分区域上关于三个坐标变量的奇偶性偶性. .只有当积分区域和被积函数的对称性只有当积分区域和被积函数的对称性相匹配相匹配时时, ,才才能简化能简化. .三、利用对称性简化三重积分的计算三、利用对称性简化三重积分的计算.,),()1(.,积分为零积分为零三重三重的奇函数时的奇函数时是关于是关于当被积函数当被积函数平面对称平面对称关于关于如果积分区域如果积分区域一般地一般地zzyxfxoy 其它情形依此类推其

15、它情形依此类推. .三重积分计算的简化三重积分计算的简化.,),()2(分的两倍分的两倍的三重积的三重积平面上方的半个闭区域平面上方的半个闭区域在在积分为积分为三重三重的偶函数时的偶函数时是关于是关于当被积函数当被积函数xoyzzyxf .1),(,ddd1)1ln(222222222 zyxzyxzyxzyxzyxz其中其中计算计算. 0ddd1)1ln(222222 zyxzyxzyxz,平面对称平面对称积分区域关于积分区域关于 xoy.的奇函数的奇函数被积函数是关于被积函数是关于z例例1.p183.8.(2)1.p183.8.(2)解解.)0(, 1,d )(2222所围成所围成和和平面

16、平面由旋转双曲面由旋转双曲面其中其中计算计算 hhzhzzyxvzyx由对称性知由对称性知.1, 0,221所围成所围成和双曲面和双曲面它由平面它由平面面上方的部分面上方的部分的位于的位于为为其中其中 yxzhzzxoy , 0dvx , 0dvy 1,d2d 22vzvz且且例例2 2解解.d12vz 用两种方法来计算用两种方法来计算上作重积分上作重积分面上的投影区域面上的投影区域在在再在再在定积分定积分作作即先对即先对次序次序用“先单后重”的积分用“先单后重”的积分方法一方法一1|),(,:222hyxyxdxoyzxy ;0 ,1|),(),(221hzyxyxdyx 时时由于当由于当;1,11|),(),(222222hzyxhyxyxdyx 时时由于当由于当x