高三上学期期中考试理数试题

1、高三数学理科试卷第一卷（挑选题共 60 分）一、挑选题 ：本大题共 12 个小题 ,每道题 5 分,共 60 分.在每道题给出的四个选项中，只有哪一项符合题目要求的 .1. 设集合 m y y2sinx, x5,5 ， n x ylog 2 x1，就 mn（）a x 1x5b x1x0c x2x0d x 1x22. 以下命题中，是假命题的是（）ax0r ， sin x0cosx03bx0r ， tan x02021cx0 ， xln xdxr ， 2 x03. 以下函数中，在0, 上单调递减，并且是偶函数的是（）a yx2b yx3c yln xd y2x4. 设a,b,c 为三条互不相同的直

2、线，,为三个互不相同的平面，就以下选项中正确选项（）a如 ab ， ac ，就 b /cb如 a， b， a /b ，就/c如，就/d如a /， b /， ab ，就5. 已知方程x2y24tt11表示的曲线为c ，给出以下四个判定：当1t4 时，曲线 c 表示椭圆；当 t4 或 t1 时曲线 c 表示双曲线；如曲线c 表示焦点在x 轴上的椭圆，就1t5；如曲线c 表2示焦点在y 轴上的双曲线，就t4 ，其中判定正确的个数是（）a 1b 2c 3d 46. 已知sin 22 ，就 cos23（）4a 1b 1c 1d 263232 xy607. 如目标函数zaxby （ a0, b0 ）满意约

3、束条件xy20且最大值为40，就 51 的最小值abx0, y0为（）a 1b 9425c 4d68. 如数列 a 满意： a1,arar （nn *，实数 r 是非零常数） ，就“ r1 ”是“数列 a 是等n1n 1nn差数列”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件9. 已知非零向量oaa, obb ，且 bcoa ， c 为垂足，如oca ，（0 ），就等于（）aab| a |b |abb| a |2abc| b |2| a |b |dabx2y210. 设点 p 是椭圆a 2b 21ab0) 上一点，f1 , f2 分别是椭圆的左，右焦点，i 为pf1f

4、2 的内心，如 s ipfs ipf2s if f，就该椭圆的离心率是（）121 2a 14213bcd22211. 如函数f x1x2021 22021，就对于满意2021x1x22021 的任意实数x1, x2 ， 有（）a x1 f x2 x2 f x1 b x1 f x2 x2 f x1 c x1 f x2 x2 f x1 d x1 f x1 x2 f x2 212. 已知函数f x1xxx3x4x2021， g x1xxx3x4x2021，设函数223420212342021f xf x4) g x5) ，且函数f x 的零点均在区间a, b （ ab, a,bz ）内，就 ba 的

5、最小值为（）a 9b 10c 11d 12第二卷（非挑选题共 90 分）二、填空题（本大题共4 小题，每道题 5 分，共 20 分，将答案填在机读卡上相应的位置.）13. 已知 a1,2 ， | b |25 ，且a / / b ，就 b .14. 设三棱柱的侧棱垂直于底面，全部棱的长都为3，顶点都在一个球面上，就该球的表面积为 .15. 如 y3sinx2 的图象向右平移个单位后与自身重合，且126ytanx 的一个对称中心为,0 ，就的最小正值为 .n4816. s 为 a 的前 n 项和，已知 a1, sna2n ，就数列 1 的前 n 项和t 的表达式为nn1nn 1n anan 1 .

6、三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分10 分）已知函数f xx2 m xm3 （其中 m1 ）， gx2 2x（ 1）如命题“log 2g x1”是真命题，求x 的取值范畴；（ 2）设命题p :x1, ，f x0 或 g x0 ；命题 q :x1,0 ，f xg x0 ，如 pq 是真命题，求m 的取值范畴 .18. （本小题满分12 分）如图，在abc 中，点 d 在边 ab 上， cdbc ， ac53 ， cd5 ， bd2 ad .（ 1）求 ad 的长；（ 2）求abc 的面积 .19. （本小题满分12 分）如

7、图，在四棱锥pabcd 中，直线pa平面 abcd ，ad /bc ， abad ，bc2ab2 ad4 be4 .（ 1）求证：直线de平面 pac .（ 2）如直线 pe 与平面 pac 所成的角的正弦值为55，求二面角apcd 的平面角的余弦值.20. （本小题满分12 分）已知数列 a 的前 n 项和s 满意 p1sp2a p0, p1，且 a1 .nnnn33（ 1）求数列 an 的通项公式；（ 2）设 b1，数列 bb 的前 n 项和为t ，如对于任意的正整数n ，都有 tm2m3n2log3 annn 2nn4成立，求实数m 的取值范畴 .21. （本小题满分12 分）在平面直角

8、坐标系xoy 中，点 b 与点等于1 .3（ 1）求动点 p 的轨迹方程；a1,1 关于原点 o 对称， p 是动点，且直线ap 与 bp 的斜率之积（ 2）设直线ap 和 bp 分别与直线x3 交于点m , n ，问：是否存在点p 使得pab 与pmn 的面积相等？如存在，求出点p 的坐标；如不存在，说明理由.22. （本小题满分12 分）设函数f xx2bxa ln x .（ 1）如 b2 ，函数f x 有两个极值点x1 , x2 ，且 x1x2 ，求实数 a 的取值范畴；（ 2）在（ 1）的条件下，证明：f x2 3 2ln 2；4（ 3）如对任意b1,2 ，都存在 x1,e （ e 为

9、自然对数的底数） ，使得f x0 成立，求实数a 的取值范畴 .一 挑选题参考答案题号123456789101112答案dacbcababcbd二 填空题13（ 2， 4）或 2,414 2115 2416 tn三 解答题17解（ 1）“ log 2gx<1 ”是真命题3 1 n 1222x log 22 2<10<2 2<2 1<x<2 x 的取值范畴是 1,2（ 2） p q 是真命题 p 与 q 都是真命题x当 x>1 时， gx=2 2>0 fx<0 m< 1 2m< m 3由 fx<0得 x<2m或 x&g

10、t; m3 m 31得 m 4 4 m<1x当 1<x<0 时， gx=2 2<0对x1, 0 使 fx>0而 fx>02m<x< m 32m1m30m 3综上， 4 m 3.18 解法一：在 abc 中，由于 bd2ad ，设 adxx0，就 bd2x 在 bcd 中，由于 cdbc ， cd5 ， bd2x ，所以 coscdbcd bd5 2 分2 x在 acd 中，由于adx ， cd5 ， ac53 ，由余弦定理得cosadcad 2cd 2ac 2x25253 24 分由于cdbadc，2adcd2x5所以 cosadccoscdb

11、，x252即53 25 5 分解得 x5 2x52 x所以 ad 的长为 5 .6 分所以 coscbdbc bd4 x22 x252 分在 abc 中，由于ab3x ， bc4 x225 ， ac53 ，由余弦定理得coscbaab2bc2ac213x21004 分4 x22513x22100abbc6x4x225所以2 x6x4x25 分解得 x5 25所以 ad 的长为 5 .6 分（）解法一：由（）求得ab3x15 ， bc4 x22553 8 分所以 coscbdbc bd13，从而2sincbd1 10 分211753所以 s abcabbc2sincba155322412 分解法

12、二：由（）求得ab3x15 ， bc4 x22553 8 分由于 ac53 ，所以 abc 为等腰三角形由于 cosbccbdbd3，所以2cbd30 10 分所以 abc 底边 ab 上的高 h1 bc53 22所以 sabc1abh21537531522412 分解法三：由于ad 的长为 5 ，所以 coscdb = cd =51 ，解得cdb8 分bd2 x23所以 sadc1adcdsin2253234s bcd1bdcdsin25310 分232所以 s abcs adcs bcd75312 分419 法一（）取ad 中点 f ，连接 bf ，就 fd / /be ，四边形fbed

13、是平行四边形，fb /ed 直角 baf 和直角 cba中，bacbafba2 直角baf直角 cba，易知 bfac edac2 分又 pa平面 abcd paed4 分，而 paaca ed平面 pac . 得证 .5分（） 由 agd cge ，知dgad2， abad2 eg3 de35 ， dg25 设 ed 交 acgeec3555于 g ，连接 pg ，就epg 是直线 pe 与平面 pac 所成的角，sinegepgep5， pe53 ，而 ae5 故 pape 2.ae 22 .7分作 ghpc 于 h ，由 pcde ，知 pc平面 hdg ， pcdg ，ghd 是二面角

14、apcd 的平面角 .9分 pca gch ， papcghgc， 而 gcce 2eg 2655 ghpagc pc305tanghd6， 3cosghd15 ，即二面角apcd 的平面角的余弦值为155512 分（其他方法酌情给分）法二：（） pa平面 abcd abpa又 abad ，故可建立建立如下列图坐标系1分.由已知d 0, 2, 0，e 2, 1, 0，c 2, 4, 0，p 0, 0,（0 ） ac2, 4, 0，ap0, 0, ，de2,1, 0 deac4400 ，deap0 .4分， deac ， de ap， ed 平面 pac6 分（）由（） ，平面 pac 的一个法

15、向量是de2,1, 0 ， pe2, 1,设直线pe 与平面pac 所成的角为，sin| cospe,de |41|2555 ，2 0 52 ，即p 0, 0, 28 分设平面 pcd 的一个法向量为n x0 ,y0 ,z0 ， dc2, 2, 0 ， dp0,2, 2由 ndc ， ndp 2x02 y02 y02z00，令 x001 ，就 n1,1,110 分 cosn ， de211511分明显二面角apcd 的平面角是锐角，二面角35apc d 的平面角的余弦值为51512 分（其他方法可酌情给分）5220 解（ 1）由题设知 p 1a 1=p a1，得 p=a1 或 p=0（舍）由条

16、件知 p 1s 2=p 1a 1 +a2=p2 a2得 a2=121再由 p 1s 3=p 1a 1+a2+a3=p a3得 a3=p由 a3= 1 得 1 = 1故 p=3=a13p3 2sn=9 an，就 2sn+1=9 an+1两式相减得：2s n+1 sn=a n an+1即 2an+1=an an+1 an+1= 1 an3 a11n 12 nn 是首项为 3，公比为的等比数列，故an=3· =333（ 2） bn=21log 3 an1122nn bn· bn+2=1n n21 112nn2 tn=b1b3+b2b4+b3b5+bn· bn+2= 1

17、11 12321 11 435 11nn2= 1 1122113n1n2423323故要使 tn<m m+4解得 m 0 或 m 1恒成立，只需 m m+44故所求实数m的取值范畴为,01, .21（ 1）因点 b 与（ -1,1 ）关于原点对称，得b 点坐标为（ 1， -1 ）；设 p 点坐标为x, y ，就kapy1,kbpx 1y 1yx1 ，由题意得x1y111x13 ，22化简得：x3 y4, x1 ；22即 p 点轨迹为：x3y4, x1（ 2）因apbmpn180，可得 sinapbsinmpn，s apb又1 pa pb 2sinapb , smpn1 pmpn 2sin

18、mpn，如 s apbs mpn，就有pa pbpmpn ， 即papnpmpbx013x0设 p 点坐标为x0 , y0，就有：3x0x015x03x233y3y2409解得：，又因00，解得；5 ,335 ,33故存在点p 使得pab 与pmn 的面积相等，此时p 点坐标为39或39222 解（ 1）由已知， b=2 时， fx=x 2x+alnx f xa2 x2x2x22 xa x fx有两个极值点x 1,x 2，f x =0 有两个不等正根x1,x 2 2 x2 2x+a=0 的判别式 =4 8a>0a< 12x 1+x2=1， x 1x2=a >02a 的取值范畴是0<a< 122（ 2）由（ 1）得1 <x2<1，且22f x2 0 得 a2 x22x 2x2 fx 2=22 x2 2x22x 2 ln x222令 ft=t 2t+2t-2t · lnt 1 <t<12 f t 212tln t0