平面向量的数量积及运算律

1、平面向量的数量积及运算律（1）教学目的：1掌握平面向量的数量积及其几何意义；2掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；3 了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；4掌握向量垂直的条件教学重点：平面向量的数量积定义教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律， 然后通过概念辨析题加深学 生对于平面向量数量积的认识 主要知识点：平面向量数量积的定义 及几何意义；平面向量数量积的5个重要性质；平面向量数量积

2、的运算律教学过程：一、复习引入:1. 向量共线定理 向量 与非零向量 共线的充要条件是：有且只有 一个非零实数入，使二入2. 平面向量基本定理：如果 ，是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数入1,入2使二3. 平面向量的坐标表示分别取与 轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底 任作一个 向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得把叫做向量的(直角)坐标，记作4. 平面向量的坐标运算若，则，若，则5. / ()的充要条件是x1y2-x2y1=06. 线段的定比分点及入p1, p2是直线I上的两点，p是I上不同于p1, p2的任一点，存在实 数入，使

3、二入，入叫做点p分 所成的比，有三种情况：入>0(内分)(夕卜分)入 7定比分点坐标公式：若点p 1 (x1,y1) ,p2 (x2,y2),入为实数，且 =入，则点p的坐标 为()我们称入为点p分所成的比8点p的位置与入的范围的关系： 当入>0时，与同向共线，这时称点p为的内分点 当入V0 ()时，与反向共线，这时称点p为的外分点9线段定比分点坐标公式的向量形式：在平面内任取一点0,设=,=,可得二10.力做的功：w = | |cos , 是 与 的夹角二、讲解新课：1. 两个非零向量夹角的概念已知非零向量与，作=,=，则Zaob = 0(O<0<n) 叫与的夹角说明

4、：(1)当0 = 0时，与同向；(2) 当0 = n时，与反向；(3) 当3=时，与垂直，记丄；(4) 注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的 范围0<2. 平面向量数量积(内积)的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角是0,贝擞量| | |cos 叫与的数量积，记作 ，即有=I II |cos ,(O<0<n) 并规定 与任何向量的数量积为0探究：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别(1) 两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由 cos 的符 号所决定(2) 两个向量的数量积称为内积，写成；今后要学到两个向量的外积X，而是两个向量的数量的积，书写时要严格区分符

5、号“？ ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“X”代替共3页，当前第1页123(3) 在实数中，若a 0,且a b=0,则b=0;但是在数量积中，若 ，且=0,不能推出二因为其中cos有可能为0(4) 已知实数 a、b、c(b 0),贝S ab=bca=c但是 =丨 II Icos = | |oa|如右图：二 | | |cos = | |oa| ,(5) 在实数中，有(a a)c = a(a c),但是()()显然，这是因为左端是与 共线的向量，而右端是与 共线的向量, 而一般与不共线3. “投影”的概念：作图定义：| |cos 叫做向量在方向上的投影投影也是一个数量，不是向量；当为锐

6、角时投影为正值；当 为钝角时投影为负值；当 为直角时投影为0;当二0时投影为| | ；当 二180时投影为 | |4. 向量的数量积的几何意义：数量积 等于的长度与在方向上投影| | os 的乘积5. 两个向量的数量积的性质：设、为两个非零向量， 是与 同向的单位向量1=| |cos3 当与 同向时， 二| ;当与反向时，二|特别的 二| |2或4 os =5 | < 1111三、讲解范例：例1判断正误，并简要说明理由？=:0? =0;=;丨？|丨；若工，则对任一非零有？工0;? = 0,则与中至少有一个为： 对任意向量，都有(？)= ( ?);与 是两个单位向量， 则2=2解：上述8个

7、命题中只有正确；对于：两个向量的数量积是一个实数，应有？ =0;对于：应有0?=;对于：由数量积定义有|?| = | ? | ? | cos 0 |<|,这里0是与的夹角，只有0 = 0或0 = n时，才有|? | = | | ? | |;对于：若非零向量、垂直，有？ =0;对于：由？ =0可知丄可以都非零；对于：若与共线，记=入则？=（入）？=入（？）=入（？），二（？ ）？=入（？）=（ ?）入=（?）若与不共线，则（？）工（？）评述：这一类型题，要求学生确实把握好数量积的定义、性质、运算律例2已知丨丨=3,丨| =6，当II ，丄，与的夹角是60。时，分别求？共3页，当前第2页12

8、3解：当I时，若与同向，贝陀们的夹角0 = 0°,？ = | ？ | cos0°= 3 X 6 X 1 = 18;若与反向，则它们的夹角0= 180°, ？ = | cos180°= 3X6X（-1）= 18; 当丄时，它们的夹角0= 90°, ？ =0; 当与的夹角是60°时，有？ =| cos60°= 3X 6X = 9评述：两个向量的数量积与它们的夹角有关，其范围是0°,180°,因此，当/时，有0°或180°两种可能四、课堂练习：五、小结 通过本节学习，要求大家掌握平面向量的数

9、量积的定义、重要性质、运算律，并能运用它们解决相关的问题六、课后作业：七、板书设计（略）八、课后记及备用资料：1概念辨析：正确理解向量夹角定义对于两向量夹角的定义，两向量的夹角指从同一点出发的两个向量所构成的较小的非负角，因对向量夹角定义理解不清而造成解题错误是一些易见的错误，如：1 已知 abc 中，=5,=8,c = 60 °，求？对此题，有同学求解如下：解：如图，丁|= =5,| |= =8,c = 60°,二? = | ? | cosc= 5X 8cos60°= 20分析：上述解答，乍看正确，但事实上确实有错误，原因就在于没能正确理解向量夹角的定义，即上例中 与 两向量的起点并不同，因此,c并不是它们的夹角，而正确的夹角应当是 c的补角120°11来源网络整理，仅供供参考2向量的数量积不满足结合律分析：若有（？）= ?（ ?），设、夹角为，、夹角为B,则| ? | COSa?,?( ? )= ? I II I cosB 若=