高中数学竞赛辅导之——梅涅劳斯定理

1、学习好资料欢迎下载梅涅劳斯定理A定 理 1 若 直 线 l 不 经 过的顶点，并且与的 三 边Z或它们的延长线分别交于， 则YBCX证明 1：设分别是A、 B、 C 到直线l 的垂线的长度，则：。证明 2：作 CN BA，交 XY 于 N，AZ CYCN XCA则CN= YA， ZB= BXAZ BX CYAZ CN BX CYZ于是Y··= ···=1NAZB XC YA CN ZB XC YA证明 3：如图，连AX， BY，BCXZYS4记 S AYB=S1， S BYC=S2， S CYX=S3 ，S XYA=S4S1则S2S3BAZ S

2、4BX S2+S3 CY S3CXZB= S2+S3； XC=S3 ； YA= S4，三式相乘即得证注：此定理常运用求证三角形相似的过程中的线段成比例的条件。1 设 AD 是 ABC 的边 BC 上的中线，直线CF交AD于E求证： AE 2AFED= FB证明由AE ·DC·BF=1，从而 AE =2AFMenelaus定理得 ED CBFAED FBAEEBCD2 若直角中， CK 是斜边上的高，CE 是的平分线， E 点在 AK上， D 是 AC 的中点， F 是 DE 与 CK 的交点，证明：。【解析】因为在中，作的平分线BH，则：，即，所以为等腰三角形，作BC 上的

3、高 EP，则：，对于学习好资料欢迎下载和三点D、E、F根据梅涅劳斯定理有：，于是，即，根据分比定理有：，所以，所以。3从点 K 引四条直线，另两条直线分别交直线与A 、 B 、C、 D 和，试证：。【解析】 若，结论显然成立；若 AD 与相交于点L ，则把梅涅劳斯定理分别用于和可得：，将上面四个式子相乘，可得：，即：定理 2 设 P、 Q、 R 分别是的三边 BC、 CA 、AB 上或它们延长线上的三点，并且P、Q、R 三点中，位于边上的点的个数为0 或 2，这时若，求证 P、 Q、 R 三点共线。证明：设直线PQ 与直线 AB 交于，于是由定理1得：，又因为，则，由于在同一直线上P、Q、R

4、三点中，位于边上的点的个数也为0 或 2，因此 R 与或者同在AB 线段上，或者同在AB 的延长线上；若R 与同在 AB 线段上，则R与必定重合，不然的话，设，这时，即，于是可得学习好资料欢迎下载，这与矛盾，类似地可证得当R 与同在 AB 的延长线上时，R 与也重合，综上可得：P、Q、 R 三点共线。注：此定理常用于证明三点共线的问题，且常需要多次使用再相乘； 点P位于的外接圆上；是从点P向BC、A4CA 、 AB 引的垂线的垂足，证明点共线。C1A1CBB1【解析】 易得：，将上面三个式子相乘，且因为，可得，根据梅涅劳斯定理可知三点共线。5 设不等腰的内切圆在三边BC 、CA、 AB 上的切

5、点分别为D、 E、 F，则 EF 与 BC ， FD 与 CA ，DE 与 AB 的交点 X 、Y 、 Z 在同一条直线上。【解析】被直线 XFE 所截，由定理1 可得：，又因为，代入上式可得，同理可得，将上面的式子相乘可得：，又因为 X 、 Y 、 Z 丢不在的边上，由定理2 可得 X 、Y 、Z 三点共线。6 已知直线，相交于 O，直线 AB 和的交点为，直线BC 和的交点为，直线AC和的交点为，试证三点共线。【解析】设分别是直线BC 和，AC 和，AB 和的交点，对所得的三角形和它们边上的点：OAB 和（），OBC 和（），OAC 和（，）应用梅涅劳斯定理有：学习好资料欢迎下载，将上面的

6、三个式子相乘，可得：7 在一条直线上取点取点 B 、F、D，记直线，由梅涅劳斯定理可知E、C、A，在另一条上AB 和 ED，CD 和 AF，共线。EF和BC的交点依次为L、M、N，证明：L、M 、N共线。【解析】 记直线 EF 和 CD， EF 和 AB ， AB 和CD 的交点分别为U、 V 、W ，对，应用梅涅劳斯定理于五组三元点，则有，将上面五个式子相乘可得：，点 L 、M 、N 共线。8 ABCD 是一个平行四边形， E 是 AB 上的一点， F 为 CD 上的一点 AF 交 ED 于 G， EC 交 FB 于 H 连接线段 GH 并延长交 AD 于 L，交 BC 于 M 求证： DL

7、 =BM.证明：如图，设直线 LM 与 BA 的延长线交于点 J，与 DC 的延长线交于点 I在 ECD 与 FAB 中分别使用 Menelaus 定理，得J AEBEGDICH1， AG FHBJL1GGDICHEGFHB JAHEGAGCHFH，M.因为 AB CD，所以GFHEHBDGDFC I.从而 DIBJ ，即 CDCIABAJ ，ICJACIAJ故 CI =AJ. 而 BMBJDIDL ，且 BM+MC =BC=AD=AL+LD. 所以 BM=DLMCCIAJLA9 (评委会，土耳其， 1995) 设 ABC 的内切圆分别切三边BC、CA、 AB 于 D、E、F，X 是ABC 内

8、的一点，XBC 的内切圆也在点D 处与 BC 相切，并与 CX、 XB 分别切于点 Y、Z，证明， EFZY 是圆内接四边形学习好资料欢迎下载证明：延长 FE 、BC 交于 QAF BD CEXZ BD CY··=1，··=1，FB DC EAZB DC YA由 Menelaus 定理，有 AFFB ·BQQC ·CEEA=1于是得XZ BQ CY· · = 1即 Z、 Y、 Q 三点共线ZB QC YA但由切割线定理知， QE·QF=QD2 =QY·QZ故由圆幂定理的逆定理知E、F、Z 、Y

9、四点共圆即 EFZY B是圆内接四边形AF CEXZ CY· =·FB EAZB YAAFXZEIYPQDC第7题图10 证明：设 P、Q、A、 B 为任意四点，则 PA2- PB2=QA2- QB2PQ AB证明 先证 PA2- PB2=QA2- QB2PQ AB作 PH AB 于 H ，则PA2- PB2=( PH 2+AH 2)- (PH 2+BH 2)=AH2 BH 2=(AH+BH )(AH - BH)=AB(AB- 2BH )同理，作 QHAB 于 H ， 则QA2- QB2=AB(AB- 2AH)PH =H，即点 H 与点 H 重合2222显然成立PQ AB

10、PA-PB =QA -QB说明 本题在证明两线垂直时具有强大的作用AH'BH11 以 O 为圆心的圆通过ABC 的两个顶点 A、C，且与 AB、 BC 两Q边分别相交于 K、N 两点，ABC 和 KBN 的两外接圆交于 B、M 两点证明： OMB 为直角 (1985 年第 26 届国际数学竞赛）分析对于与圆有关的问题，常可利用圆幂定理，若能找到 BM 上一点，使该点与点对于圆 O 等幂即可BMKN证明：由BM、 KN 、AC 三线共点P，知PM·PB=PN·PK =PO2- r2 由PMN=BKN =CAN，得 P、M、N、C 共圆，OPAC故BM·BP=

11、BN·BC=BO2- r2得，PM ·PB- BM·BP= PO2 - BO2，即(PM - BM )(PM+BM )= PO2 - BO2，就是PM 2 - BM 2= PO2 - BO2，于是 OM PB12 (南斯拉夫， 1983) 在矩形 ABCD 的外接圆弧 AB 上取一个不同于顶点 A、 B 的点 M，点 P、 Q、 R、S 是 M 分别在直线AD 、AB、BC 与 CD 上的投影证明，直线PQ 和 RS 是互相DSCT,NAQBPRML学习好资料欢迎下载垂直的，并且它们与矩形的某条对角线交于同一点证明：设 PR 与圆的另一交点为L 则PQ ·

12、;RS=(PM + PA )· (RM+ MS)= PM ·RM+PM·MS+ PA ·RM + PA ·MS= PM ·PL + PA ·PD =0 故 PQ RS设 PQ 交对角线 BD 于 T，则由 Menelaus 定理，( PQ 交 ABD )得DP AQ BTBT=PA QB；· · =1；即TD·PA QB TDDP AQ设 RS 交对角线 BD 于 N，由 Menelaus 定理， (RS 交 BCD)得BN DS CRBN=SC RB；· · =1；即ND&

13、#183;ND SC RBDS CR显然， DPPA =CRRB， QBAQ=DSSC于是 TDBT =NDBN ，故 T 与 N 重合得证说明 本题反复运用了Menelaus 定理，解题要抓住哪一条直线截哪一个三角形13在直线 l 的一侧画一个半圆T，C，D 是 T 上的两点， T 上过 C 和 D 的切线分别交l 于 B和 A，半圆的圆心在线段BA 上， E 是线段 AC 和 BD 的交点， F 是 l 上的点， EF 垂直 l求证： EF 平分 CFD 证明： 如图，设 AD 与 BC 相交于点 P，用 O 表示半圆 T 的圆心 过 PP作 PH 丄 l 于 H，连 OD ，OC， OP由题意知 RtOAD RtPAH，D于是有 AHHP .类似地， Rt OCBRt PHB ，则有 BHHP .EADDOBCCOAOF(