一道高考不等式选考题的证法探析

1、    一道高考不等式选考题的证法探析    杨育球摘 要：通过对典型试题的多解、多变，灵活运用所学知识拓展思路，从而做到融会贯通，这就要求我们面对数学试题，能学会多角度去欣赏与思考，并从中发现试题的解题规律，进而可以掌握一类题的求解策略.本文针对2019年高考全國卷选考第23题的证法进行多视角探析.关键词：高考;不等式;选考题;证法探析1 试题呈现题目 （2019年高考全国卷选考第23题）已知a，b，c为正数，且满足abc=1.证明：（1）1 a+1 b+1 ca2+b2+c2;（2）（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3241.2 证法探析2.1

2、第（1）问解析分析1 从重要不等式“a2+b22ab”着手，可证得2（a2+b2+c2）2ab+2bc+2ac，从而得到a2+b2+c2ab+bc+ac，再由abc=1，得ab+bc+ac=ab+bc+ac abc，分离后即得到结论.证法1 因为a2+b22ab，b2+c2abc，a2+c22ac，所以由不等式的性质得2（a2+b2+c2）=（a2+b2）+（b2+c2）+（c2+a2）2ab+2bc+2ac，即a2+b2+c2ab+bc+ac，当且仅当a=b=c时取等号.因为abc=1，所以a2+b2+c2ab+bc+ac 1=ab+bc+ac abc=1 a+1 b+1 c.故不等式得证.

3、分析2 从1的代换“1=abc”着手，将所证不等式转化为证明：a2+b2+c2ab+bc+ac，再利用重要不等式“a2+b22ab”可证得2（a2+b2+c2）2ab+2bc+2ac，从而得到结论.证法2 因为abc=1，所以1 a+1 b+1 c=（1 a+1 b+1 c）·abc=bc+ac+ab.因为2（a2+b2+c2）=（a2+b2）+（b2+c2）+（c2+a2）2ab+2bc+2ac，当且仅当a=b=c时取等号.所以2（a2+b2+c2）2（1 a+1 b+1 c）.即a2+b2+c21 a+1 b+1 c.故不等式得证.分析3 首先利用柯西不等式得到3（a2+b2+c

4、2）（a+b+c）2，再利用重要不等式“a2+b22ab”得到（a+b+c）23（ab+bc+ac），最后结合1的代换“1=abc”证得结论.证法3 由柯西不等式，得（12+12+12）（a2+b2+c2）（1·a+1·b+1·c）2=（a+b+c）2.所以3（a2+b2+c2）（a+b+c）2.又（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，再由证法1得（a+b+c）23（ab+bc+ac）.所以3（a2+b2+c2）3（ab+bc+ac）.即a2+b2+c2ab+bc+ac，当且仅当a=b=c时取等号.因为abc=1，所以a2+b2+c2ab+b

5、c+ac 1=ab+bc+ac abc=1 a+1 b+1 c.故不等式得证.点评 第（1）问的三种证法可谓殊途同归，都运用了重要不等式a2+b22ab和1的代换“1=abc”通过综合法进行证明，很好地考查了学生对代数式的变形能力和推理论证能力.证法3运用了柯西不等式，非常巧妙.2.2 第（2）问解析分析1 先由三元均值不等式证得（a+b）3+（b+c）3+（c+a）33（a+b）（b+c）（c+a），再利用基本不等式（二元均值不等式）证得结论.证法1 由三元均值不等式证得（a+b）3+（b+c）3+（c+a）333 （a+b）3·（b+c）3·（c+a）3=3（a+b）（

6、b+c）（c+a），当且仅当a=b=c时取等号.又a+b2ab，b+c2bc，a+c2ac，（当且仅当a=b=c时等号同时成立）所以（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3=3（a+b）（b+c）（c+a）3×2ab×2bc×2ac=24（abc）2.又因为abc=1，所以（a+b）3+（b+c）3+（c+a）324.故不等式得证.分析2 考虑到三个正数a，b，c的对称性，先运用基本不等式a+b2ab和正数同向不等式相乘的性质证得（a+b）3+（b+c）3+（c+a）38（ab）3 2+（bc）3 2+（ac）3 2，再利用三元均值不等式并结合abc=1证得结论.

7、证法2 因为a，b，c为正数，所以由基本不等式得a+b2ab.所以（a+b）38（ab）3 2.同理，得（b+c）38（bc）3 2，（c+a）38（ac）3 2.以上三式当且仅当a=b=c时同时取等号.所以（a+b）3+（b+c）3+（c+a）38（ab）3 2+（bc）3 2+（ac）3 2.由三元均值不等式，得8（ab）3 2+（bc）3 2+（ac）3 28×33 （ab）3 2（bc）3 2（ca）3 2=24×3 （a2b2c2）3 2=243 （abc）3，当且仅当a=b=c时取等号.又因为abc=1，所以（a+b）3+（b+c）3+（c+a）324.故不等式

8、得证.分析3 注意到所证不等式当且仅当a=b=c=1时，等号成立，所以轮换将a+b，b+c，c+a中的两个式子分别代值2，利用三元均值不等式得到另一个式子的不等式，然后利用同向不等式相加的性质相加，将得到的不等式再次利用三元均值不等式证得结论.证法3 易知不等式（a+b）3+（b+c）3+（c+a）324当且仅当a=b=c=1时，等号成立.所以由三元均值不等式，得（a+b）3+23+2333 （a+b）3·23·23=3×（a+b）×2×2=12（a+b）.所以（a+b）3+1612（a+b）.所以（a+b）312（a+b）-16.同理，得（b

9、+c）312（b+c）-16，（a+c）312（a+c）-16.以上三式相加，得（a+b）3+（b+c）3+（c+a）312（a+b）+12（b+c）+12（a+c）-48=24（a+b+c）-48，当且仅当a+b=b+c=a+c，即a=b=c时取等号.又由三元均值不等式，得a+b+c33 abc.因為abc=1，所以（a+b）3+（b+c）3+（c+a）324×3-48=24.所以（a+b）3+（b+c）3+（c+a）324.故不等式得证.分析4 首先利用二元均值不等式和abc=1，得到b+c21 a，进而得到3a2（b+c）6a3.将（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3利用三

10、元均值不等式后将上面的式子代入，整理后再次利用三元均值不等式得到结论.证法4 由基本不等式，得b+c2bc，当且仅当b=c时取等号.因为abc=1，所以b+c21 a.所以3a2（b+c）3a2·21 a=6a3.同理3b2（a+c）3b2·21 b=6b3，3c2（a+b）3c2·21 c=6c3.利用三元均值不等式并将上面的式子代入，得（a+b）3+（b+c）3+（c+a）333 （a+b）3·（b+c）3·（c+a）3=3（a+b）（b+c）（a+c）=32abc+a2（b+c）+b2（a+c）+c2（a+b）=6+3a2（b+c）+3b

11、2（a+c）+3c2（a+b）6+6a3+6b3+6c3=6+6（a3 2+b3 2+c3 2），当且仅当a=b=c时取等号.又由三元均值不等式，得a3 2+b3 2+c3 233 a3 2·b3 2·c3 2=33 （abc）3 2=3，当且仅当a=b=c时取等号.所以（a+b）3+（b+c）3+（c+a）36+6×3=24.即（a+b）3+（b+c）3+（c+a）324.故不等式得证.点评 第（2）问的四种证法反复、交替运用二元和三元均值不等式，代数式的恒等变形和“放缩”变形渗透其中，考查了利用均值不等式证明不等式问题，及对于均值不等式的变形和应用能力，充分体现了数学抽象、逻辑推理和数学运算等核心素养的运用.需要特别指出的是，在利用均值不等式时，要注意等号成立的条件.在数学复习备考中，我们不提倡盲目追求题量，一味地刷题、做题，提倡精讲精练，这就需要教师在所选的题目上下功夫.一题多解是在素质教育与传统的应