高三第一次联考数学试题

1、高三第一次联考数学试题（理）考试时间： 2021 年 12 月 21 日下午 15:00 17:00试卷满分： 150 分一、挑选题：本大题共10 小题，每题 5 分，共 50 分. 在每道题给出的四个选项中，只有一个符合一目要求的.1. 集合 a= x y-x210 x16 ，集合 b= y ylog 2x, xa ，就 acr ba.2，3b.1，2c.3，8d. 3，802. 如命题p:x0- 3,3 , x22 x010 ，就对命题p 的否定是（）02a x0- 3,3 , x22 x010b x0-,-33, x22x0100c.x0-,-33, x22x010d.x0- 3,3 ,

2、 x02x01003. 某实心机器零件的三视图如下列图，该机器零件的体积为（）a. 362b. 364c. 368d. 36104. 等比数列an各项为正，a3 , a5,-a4成等差数列 .sn 为an的前 n 项和，就s6=（）s3a.2b. 78c. 9 8d. 5 45. 如图 mn是半圆o的直径， mn=2，等边三角形oab的顶点 a、b 在半圆弧上，且ab/mn，点 p 半圆弧上的动点，就pa pb的取值范畴是（），a .33322b.3 - 23333，c.-3，3222d.3 -33，2226. 如双曲线x2y1 的一条渐近线的倾斜角 m 20，就 m 的取值范畴是（）3a.-

3、 3,0b .-3,03c.0,3d（.-3 ,0）37. 在abc 中，sin ab) sin c, bc23 ac , 就b（）a. b.c.或d.366328. 已知a, b,cr ，就2a 23b 26c21 是 abc- 1,1的（）a. 充分不必要条件b. 必要不充分条件c. 充分必要条件d. 既不充分也不必要条件9. 如实数x, y 满意：2 yxy50，就 x2 y 的最大值是（）x21a.3b. 25c.5d5510. 已知函数f x3x xlog 3 -x x0，函数0g xf 2 xf xt tr). . 关于g x 的零点，以下判定不正确的是（）11a. 如 t, g

4、x 有一个零点b. 如 - 2t4, g x 有两个零点4c . 如 t-2, g x 有三个零点d. 如 t-2, g x 有四个零点二、填空题：本大题共5 小题，每道题5 分，共 25 分.（一）必做题（ 11-14 题）11. 已知复数z12i 34i , i 为虚数单位，就z 的共轭复数是.12. 函数f xx lnx ， af 2, bf 13, cf 14 ，就a, b, c 从小到大的排列是.13. 阅读如下列图程序框图，运行相应程序，输出结果n =.14. 如图把函数x3x3x5x3x5x7f1 xx, f2 xx35, f3 xx6679,120f 4 xx6120,5040

5、xf5 xx6x120x5040x362880，依次称为f xsin x 在 0，上的第 1 项、 2 项、3 项、 4 项、 5 项多项式靠近函数. 以此类推，请将f xsinx 的 n 项多项式靠近函数f n x 在横线上补充完整：f n x2 n 1k 1 （ n, kn ）.（二）选做题（请考生在15、16 两题中任选一题作答 . 假如全选，就按第15 题作答结果计分）15. （选修 4-1：几何证明选讲）如图过点a 作圆 o 的一条切线ab ，切点为b ， oa 交圆 o 于点 c .如 occa, bc1 , 就 ab.16. 选修 4-4：坐标系与参数方程） 曲线 c 的极坐标方

6、程为：cossin，化成一般方程为.三、 解答题：本大题共6 小题，共 75 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. （ 本小题满分 12 分）函数 fxa sin wx1 （ a0， w0, 的最大值为2，其图像相邻两个对2称中心之间的距离为，且经过点（ -2, 1 .12 121 求函数f x的单调递增区间；2 如 f 7 ，且5，求f 1242 的值 .6218. （ 本小题满分 12 分）已知数列 an 满意： a1- 2 ，a- 2an3n（n ）.n133an4（ 1）证明数列1an1是等差数列，并求an的通项公式；第一次八校联考数学（理）试题第 3 页 （共 5 页

7、）（ 2）数列 bn 满意： bn3（ nnan1n ），求 bn 的前 n 项和sn .19. （ 本小题满分 12 分）如图 i，平面四边形abcd 中，a60 0，abc1500， abad2 bc4，把abd 沿直线 bd 折起，使得平面abd平面 bcd ，连接 ac 得到如图ii 所示四周体 abcd. 设点o , e , f分别是bd , ab ,ac 的中点 . 连接og .ce, bf交于点 g , 连接（1）证明： ogac ；（2）求二面角badc 的大小 .20. （ 本小题满分 12 分）在淘宝网上，某店铺专卖当地某种特产. 由以往的体会说明，不考虑其他因素，该特产每

8、日的销售量 y （单位：千克）与销售价格x （单位：元 / 千克， 1x5 ）满意：当 1x3 时，ya x3 2b，（ a,b为常数） ；当 3x x15 时， y-70x490 . 已知当销售价格为2元/ 千克时，每日可售出该特产700 千克；当销售价格为3 元/ 千克时，每日可售出150 千克 .（1）求a,b 的值，并确定y 关于 x 的函数解析式；（2）如该特产的销售成本为1 元/ 千克，试确定销售价格x 的值，使店铺每日销售该特产所获利润f x 最大（x 精确但 0.01 元/ 千克） .21. （ 本小题满分 13 分）如下列图，过点m m,1作直线 ab 交抛物线x2y 于 a

9、, b 两点，且ammb , 过 m 作x 轴的垂线交抛物线于点c . 连接 ac, bc , 记三角形abc 的面积为s , 记直线ab 与抛物线所围成的阴影区域的面积为s 弓 .（ 1）求 m 的取值范畴；（ 2）当 s 最大时，求m 的值；3（ 3）是否存在常数，使得如不存在，请说明理由.s？如存在，求出的值；s弓第一次八校联考数学（理）试题第 4 页 （共 5 页）22. （ 本小题满分 14 分）已知函数f x1xt1的定义域为- 1,，其中实数t 满意 t0且t1 . 直线l : yg x 是f x的图像在x0 处的切线 .（ 1）求 l 的方程：yg x ；（ 2）如f xg x

10、 恒成立，试确定t 的取值范畴；（ 3）如a1 ,a20,1aaaa12，求证：12a2a a1 .a21注： 当为实数时，有求导公式 （ x ）x1 .4高三第一次联考数学（理科）参考答案一 挑选题：1 d2 a3 a4 c5 b6 a7 b8a9 c10 d二 填空题1211i5512.bca13.3kxk k1xki k 1ik 1 xk14sin2k. 供参考 ： cos，2k .2（ i 为虚数单位）k.15.316.x2xy2y0三 解答题：17解：（）由已知：a3,2, f x3sin2 x1 335.3令 2k2 x2k得 kxkkz 2321212所以f x 单调递增区间是

11、k5,k kz ；.6 1212（2）由f 7 ，得 sin24 ，535,所以 cos231243521cos23f 3sin13cos1 = 312636235=1 12 518 解：11（1）由于3an431an 112 an313an4an1an111所以3an 11an11所以 an 是首项为3，公差为3 的等差数列；151所以an113n ，所以 an1 ；3n3n（）由已知bnan13n 1 n62s3nn 1n3132.3n13n34n 1n 23sn3132.3 n13n 得232sn3332 3n1.3n 1n 23n 2n3313n 29n9n所以sn3n 2422n1)

12、 n 239124419解：（ 以下仅供应一种解法， 其它解法酌情给分）(1) 由已知，abd 是等边三角形，取od 的中点 m , 连接 am 、 cm、fm在三角形abm 中， bm=3， ab =4， b= 60 ，由余弦定理得am =13在三角形cbm 中， bc=2， bm =3， cbbd , 得 cm =13所以 am =cm ，由于 f 为 ac 中点，所以 mf ac 由已知， g 为三角形 abc 的重心， 所以 bg： gf =bo ： om =2： 1所 以 og/ mf ， 所以 ogac ；(2) 平面 abd平面 bcd ,平面 abd平面 bcd =bdcbbd

13、cb面 abdcbababcbcd accd取 ad 中点 n，连接cn， bn ，就 cnad ， bnad所以bnc 是二面角badc 的平面角 66在三角形bnc 中， cbbn， bc=2 ， bn= 23 ，所以bnc = 30所以二面角badc 的大小为301220解：（ i）由于 x=2 时， y=700 ； x=3 时， y=150 ，所以b1502解得 a400, b300ab700400x32300 1x3每日的销售量yx1；（ii ）由（ i ）知，70x4903x5当1x3 时：每日销售利润f x400 x3 2300 x1400x32 x13002x13400x7x1

14、5x9300 （ 1x3 ）f ' x4003x2514x15当 x, 或 x 353 时 f 'x05当 x1, 时3f ' x0 ，f x 单增；当x,3 时3f ' x0 ，f x 单减5532x是函数f x 在 1,3 上的唯独极大值点，400300700 ；f 3327当 3x5 时：8每日销售利润f x70 x490 x1 =70x258x7f x 在 x4 有最大值，且f 4630f 311 5综上，销售价格x1.67 元/千克时，每日利润最3大1221解：（）易知直线ab 的斜率存在，设ab 直线方程为yk xm1代入抛物线方程x2y 得， x2

15、kxmk10（ * ）设 a x1, y1 , bx2 , y2 由于 m 是 ab 的中点，所以mx1x2k ，即 k2m方程（ * ）即为：x22mx2m22210 （ * ）由4m28m240 得1m17所以 m 的取值范畴是1,1 ；4（）由于m m,1,c m,m2 , mcx 轴，所以 |mc |= 1m2 ，由方程（ * ）得 xx2m, x x2m21121 2所 以 s = ss 1 | xx| mc| = 1 xx 24 x x| mc |acmbcm12231212212=44 m21m2 = 1m2 2 1所以当 s 最大时，m0 ；3（）常数存在且4不妨设 x1x2s

16、弓 =x 2 k xm1x1x2 dx =x22 mxx112m2x2 dx2213x2 mx12m xx3| x1222m x1332x1 12m x2x1 x2 3x1 xx m xx12m2 1 x2x xx2 2121322 11 xx m xx 12m2 1 xx 2x x 2121212 13由方程（ * ）得 xx2m, x x2m21，121 2243代入上式化简得s弓44m1m 1m 222 233223由（ 2）知 s = 1m 322s3所以=1m 3s弓4 13m 2 243所以常数存在且422解：（ 1）由于f 'xt1xx1，所以f '0t ，又 f

17、 00 ，所以l : ytx ；（2）令hxf xg x1xttx1h 'x当 tt 10 时，xt 1tt1xt 1181x t 11单调递减，当x0 时，h ' x0当 x1,0 ， h ' x0 ， h x增单调递减；当x0, ，h 'x0 ，h x单调递所以， x0 是 h x 的唯独微小值点，所以h xh00 ，f x g x 恒成立；当 0t1 时，1x t 11单调递减，当x0 时，h ' x0当 x1,0 ， h ' x0 ， h x减单调递增；当x0, ，h 'x0 ，h x单调递所以， x0 是 h x 的唯独极大值点，所以h xh00 ，不满意f x g x 恒成立；当 t1 时，1x t 11单调递增，当x0 时，h ' x0当 x1,0 ， h ' x0 ， h x增单调递减；当x0, ，h 'x0 ，h x单调递综上，所以， x0 是 h x 的唯独微小值点，所以h xh00 ，f x g x 恒成立；t,01, ；（）当 a1a2 ，不等式明显成立；当 a1a2 时，不妨设a1a2a a1a a 2 a a2a a1a a1a a2a a1a a212121122令 xxa1xa2 ， x a1 ,a2 下证 x是单调减函数：' xa xa1 1a x