数学必修五不等式高考汇编

1、 数数 学学 E E 单元单元 不等式不等式 E1 不等式的概念与性质 5 ，2014 山东卷 已知实数 x，y 满足 axay(0ay3 Bsin xsin y Cln(x21)ln(y21) D.1x211y21 5A 解析 因为 axay(0a1)，所以 xy，所以 x3y3恒成立故选 A. 52014 四川卷 若 ab0，cd0，则一定有( ) A.adbc B.adbc C.acbd D.acbd 5B 解析 因为 cd0，所以1d1c0，即1d1c0，与 ab0 对应相乘得，adbc0， 所以ad1），xa1a2x1 ，3xa1xa2. 由图可知，当 xa2时，fmin(x)fa2

2、a213，可得 a8. 当 aa2，xa11xa2，3xa1（x1）. 由图可知，当 xa2时，fmin(x)fa2a213，可得 a4.综上可知，a 的值为4 或 8. 102014 辽宁卷 已知 f(x)为偶函数，当 x0 时，f(x)cos x，x0，12，2x1，x12， ，则不等式 f(x1)12的解集为( ) A.14，2343，74 B.34，1314，23 C.13，3443，74 D.34，1313，34 10A 解析 由题可知，当 x0，12时，函数 f(x)单调递减，由 cos x12，得13x12； 当 x12， 时， 函数 f(x)单调递增， 由 2x112， 得12

3、0，|x|0或x2，1x1，即 0 x0，|x|0或x2，1x1，即 0 x1. E4 简单的一元高次不等式的解法 E5 简单的线性规划问题 132014 安徽卷 不等式组xy20，x2y40，x3y20表示的平面区域的面积为_ 134 解析 不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，SABDSABDSBCD122(22)4. 132014 北京卷 若 x，y 满足y1，xy10，xy10，则 z 3xy 的最小值为_ 131 解析 可行域如图，当目标函数线 zy 3x 过可行域内 A 点时，z 有最小值，联立y1，xy10，得 A(0，1)，故 zmin 30111. 11 ，2014 福

4、建卷 已知圆 C：(xa)2(yb)21，平面区域：xy70，xy30，y0.若圆心 C，且圆 C 与 x 轴相切，则 a2b2的最大值为( ) A5 B29 C37 D49 11C 解析 作出不等式组xy70，xy30，y0表示的平面区域(如下图阴影部分所示，含边界)，圆 C：(xa)2(yb)21 的圆心坐标为(a，b)，半径为 1.由圆 C 与 x 轴相切，得b1.解方程组xy70，y1，得x6，y1，即直线 xy70 与直线 y1 的交点坐标为(6， 1)，设此点为 P. 又点 C，则当点 C 与 P 重合时，a 取得最大值， 所以，a2b2的最大值为 621237，故选 C. 4 2

5、014 广东卷 若变量 x， y满足约束条件x2y8，0 x4，0y3，则z2xy的最大值等于( ) A7 B8 C10 D11 4D 解析 作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示作出直线 l：2xy0，平移该直线，当直线经过点 A(4，3)时，直线 l 的截距最大，此时 zzxy 取得最大值，最大值是 11 . 42014 湖北卷 若变量 x，y 满足约束条件xy4，xy2，x0，y0，则 2xy 的最大值是( ) A2 B4 C7 D8 4C 解析 作出约束条件xy4，xy2，x0，y0表示的可行域如下图阴影部分所示 设 z2xy，平移直线 2xy0，易知在直线 xy4 与直线

6、xy2 的交点 A(3，1)处，z2xy 取得最大值 7. 故选 C. 132014 湖南卷 若变量 x，y 满足约束条件yx，xy4，y1，则 z2xy 的最大值为_ 137 解析 依题意，画出可行域，如图所示 由xy4，y1得点 B 的坐标为(3，1)，则 z2xy 在 B(3，1)处取得最大值 7. 142014 辽宁卷 已知 x，y 满足约束条件2xy20，x2y40，3xy30，则目标函数 z3x4y 的最大值为_ 1418 解析 不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，由 z3x4y 得 y34xz4 ，当直线经过点 C 时，z 取得最大值由x2y40，3xy30，得x2，y3，故

7、 C 点坐标为(2，3)，这时 z324318. 15 2014 全国卷 设 x， y 满足约束条件xy0，x2y3，x2y1，则 zx4y 的最大值为_ 155 解析 如图所示，满足约束条件的可行域为ABC 的内部(包括边界)，zx4y 的最大值即为直线 y14x14z 的截距最大时 z 的值结合题意知，当 y14x14z 经过点 A 时，z 取得最大值，联立 xy0 和 x2y3，可得点 A 的坐标为(1，1)，所以 zmax145. 92014 新课标全国卷 设 x，y 满足约束条件xy10，xy10，x3y30，则 zx2y 的最大值为( ) A8 B7 C2 D1 9B 解析 作出约

8、束条件表示的可行域(略)，可知该可行域为一三角形区域，当目标函数通过可行域的一个顶点(3，2)时，目标函数取得最大值，zmax3227. 112014 全国新课标卷 设 x，y 满足约束条件xya，xy1，且 zxay 的最小值为7，则 a( ) A5 B3 C5 或 3 D5 或3 11B 解析 当 a0，b0)在该约束条件下取到最小值 2 5时，a2b2的最小值为( ) A5 B4 C. 5 D2 10B 解析 画出关于 x，y 的不等式组表示的可行域，如图阴影部分所示 显然当目标函数 zaxby 过点 A(2，1)时，目标函数 zaxby 取得最小值，即 2 52ab，所以 2 52ab

9、，所以 a2b2a2(2 52a)25a28 5a20.构造函数 m(a)5a28 5a20(0a1，故选 C. 22014 天津卷 设变量 x，y 满足约束条件xy20，xy20，y1，则目标函数 zx2y 的最小值为( ) A2 B3 C4 D5 2B 解析 作出可行域，如图中阴影部分所示 联立xy20，y1，解得x1，y1，可得点 A (1，1) 当目标函数线过可行域内 A 点时，目标函数有最小值 z11213. 122014 浙江卷 若实数 x，y 满足x2y40，xy10，x1，则 xy 的取值范围是_ 121，3 解析 实数 x，y 满足的可行域如图中阴影部分(包括边界)所示，图中

10、 A(1，0)，B(2，1)，C1，32.令 zxy，则 yxz.当直线 yxz 经过 A 点时，z 取最小值1；经过 B 点时，z 取最大值 3.故 xy 的取值范围是1，3 E6 基本不等式2abab 9 、2014 重庆卷 若 log4(3a4b)log2ab，则 ab 的最小值是( ) A62 3 B72 3 C64 3 D74 3 9D 解析 由 log4(3a4b)log2ab，得 3a4bab，则4a3b1，所以 ab(ab)4a3b74ba3ab72 4ba3ab74 3， 当且仅当4ba3ab， 即 a42 3，b2 33 时等号成立，故其最小值是 74 3. 162014

11、湖北卷 某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量 F(单位时间内经过测量点的车辆数， 单位： 辆/小时)与车流速度 v(假设车辆以相同速度 v 行驶， 单位：米/秒)、平均车长 l(单位：米)的值有关，其公式为 F76 000vv218v20l. (1)如果不限定车型，l6.05，则最大车流量为_辆/小时； (2)如果限定车型，l5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加_辆/小时 16(1)1900 (2)100 解析 (1)依题意知，l0，v0，所以当 l6.05 时， F76 000vv218v12176 000v121v1876 0002 v121v181900， 当且仅当

12、v11 时， 取等号 (2)当 l5 时， F76 000vv218v10076 000v100v182000， 当且仅当 v10 时，取等号，此时比(1)中的最大车流量增加 100 辆/小时 14 、 2014 江苏卷 若ABC 的内角满足 sin A 2sin B2sin C， 则 cos C 的最小值是_ 14.6 24 解析 设ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，则由正弦定理得 a 2b2c.故 cos C a2b2c22aba2b2a 2b222ab34a212b222ab2ab34a212b22ab24234a212b22ab246 24， 当且仅当 3a22b

13、2，即ab23时等号成立 162014 辽宁卷 对于 c0，当非零实数 a，b 满足 4a22abb2c0 且使|2ab|最大时，1a2b4c的最小值为_ 16 1 解 析 因 为 4a2 2ab b2 c 0 ， 所 以 (2a b)2 c 6ab 32ab3（2ab）24，所以(2ab)24c，当且仅当 b2a，c4a2时，|2ab|取得最大值故1a2b4c2a1a21a121，其最小值为1. 21 ， ，2014 山东卷 在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的离心率为32，直线 yx 被椭圆 C 截得的线段长为4 105. (1)求椭圆 C 的方程 (2)

14、过原点的直线与椭圆 C 交于 A， B 两点(A， B 不是椭圆 C 的顶点) 点 D 在椭圆 C 上，且 ADAB，直线 BD 与 x 轴、y 轴分别交于 M，N 两点 (i)设直线 BD，AM 的斜率分别为 k1，k2，证明存在常数 使得 k1k2，并求出的值； (ii)求OMN 面积的最大值 21解：(1)由题意知，a2b2a32，可得 a24b2. 椭圆 C 的方程可简化为 x24y2a2. 将 yx 代入可得 x5a5. 因此 22 5a54 105，即 a2，所以 b1， 所以椭圆 C 的方程为x24y21. (2)(i)设 A(x1，y1)(x1y10)，D(x2，y2)，则 B

15、(x1，y1) 因为直线 AB 的斜率 kABy1x1，且 ABAD， 所以直线 AD 的斜率 kx1y1. 设直线 AD 的方程为 ykxm， 由题意知 k0，m0. 由ykxm，x24y21，消去 y，得(14k2)x28mkx4m240， 所以 x1x28mk14k2， 因此 y1y2k(x1x2)2m2m14k2. 由题意知 x1x2， 所以 k1y1y2x1x214ky14x1. 所以直线 BD 的方程为 yy1y14x1(xx1) 令 y0，得 x3x1，即 M(3x1，0) 可得 k2y12x1. 所以 k112k2，即 12. 因此，存在常数 12使得结论成立 (ii)直线 B

16、D 的方程 yy1y14x1(xx1)， 令 x0，得 y34y1，即 N0，34y1. 由(i)知 M(3x1，0)， 所以OMN 的面积 S123|x1|34|y1| 98|x1|y1|. 因为|x1|y1|x214y211，当且仅当|x1|2|y1|22时，等号成立， 此时 S 取得最大值98， 所以OMN 面积的最大值为98. E7 不等式的证明方法 20 、 、 2014 天津卷 已知 q 和 n 均为给定的大于 1 的自然数， 设集合 M0， 1， 2， ，q1，集合 Ax|xx1x2qxnqn1，xiM，i1，2，n (1)当 q2，n3 时，用列举法表示集合 A. (2)设 s

17、，tA，sa1a2qanqn1，tb1b2qbnqn1，其中 ai，biM，i1，2，n.证明：若 anbn，则 st. 20解：(1)当 q2，n3 时，M0，1，Ax|xx1x22x322，xiM，i1，2，3，可得 A0，1，2，3，4，5，6，7 (2)证明：由 s，tA，sa1a2qanqn1，tb1b2qbnqn1，ai，biM，i1，2，n 及 anbn，可得 st(a1b1)(a2b2)q(an1bn1)qn2(anbn)qn1 (q1)(q1)q(q1)q n2qn1 （q1）（1qn1）1qqn1 10， 所以 s1），xa1a2x1 ，3xa1xa2. 由图可知，当 xa

18、2时，fmin(x)fa2a213，可得 a8. 当 aa2，xa11xa2，3xa1（x1）. 由图可知，当 xa2时，fmin(x)fa2a213，可得 a4.综上可知，a 的值为4 或 8. 92014 福建卷 要制作一个容积为 4 m3，高为 1 m的无盖长方体容器已知该容器的底面造价是每平方米 20 元，侧面造价是每平方米 10 元，则该容器的最低总造价是( ) A80 元 B120 元 C160 元 D240 元 9C 解析 设底面矩形的一边长为 x.由容器的容积为 4 m3，高为 1 m得另一边长为4x m. 记容器的总造价为 y 元，则 y4202x4x110 8020 x4x

19、 80202x4x 160， 当且仅当 x4x，即 x2 时等号成立 因此，当 x2 时，y 取得最小值 160，即容器的最低总造价为 160 元，故选 C. 19 、 、 、2014 江苏卷 已知函数 f(x)exex，其中 e 是自然对数的底数 (1)证明：f(x)是 R 上的偶函数 (2)若关于 x 的不等式 mf(x)ex m1 在(0，)上恒成立，求实数 m 的取值范围 (3)已知正数 a 满足：存在 x01，)，使得 f(x0)0)，则 t1，所以 mt1t2t1 1t11t1 1对任意 t1 成立 因为 t11t1 12 （t1）1t 113, 所以 1t11t1 113， 当且

20、仅当 t2, 即 x ln 2 时等号成立 因此实数 m 的取值范围是，13. (3)令函数 g(x)ex1ex a(x33x)，则 g (x) ex1ex3a(x21) 当 x1 时，ex1ex0，x210.又 a0，故 g(x)0，所以 g(x)是1，)上的单调递增函数， 因此 g(x)在1，)上的最小值是 g(1) ee12a. 由于存在x01， )， 使ex0ex0a(x30 3x0 )0 成立， 当且仅当最小值g(1)0， 故 ee12aee12. 令函数 h(x) x (e1)ln x1，则 h(x)1e1x. 令 h(x)0, 得 xe1. 当 x(0，e1)时，h(x)0，故

21、h(x)是(e1，)上的单调递增函数 所以 h(x)在(0，)上的最小值是 h(e1) 注意到 h(1)h(e)0，所以当 x(1，e1)(0，e1)时，h(e1)h(x)h(1)0； 当 x(e1，e)(e1，)时， h(x)h(e)0. 所以 h(x)0 对任意的 x(1，e)成立 故当 aee12，e (1，e)时， h(a)0， 即 a1(e1)ln a，从而 ea1h(e)0，即 a1(e1)ln a，故 ea1ae1. 综上所述，当 aee12，e 时，ea1ae1. 12 、2014 辽宁卷 当 x2，1时，不等式 ax3x24x30 恒成立，则实数 a 的取值范围是( ) A5

22、，3 B.6，98 C6，2 D4，3 12C 解析 当2x0 时，不等式可转化为 ax24x3x3，令 f(x)x24x3x3(2x0)，则 f(x)x28x9x4（x9）（x1）x4，故函数 f(x)在2，1上单调递减，在(1，0)上单调递增，此时有 afmin(x)f(1)14312. 当 x0 时，不等式恒成立 当 0 x1 时，ax24x3x3， 令 g(x)x24x3x3(0 x1)， 则 g(x)x28x9x4，故函数 g(x)在(0，1上单调递增，此时有 agmax(x)g(1)14316. 综上，6a2. 21 、 、2014 陕西卷 设函数 f(x)ln xmx，mR. (

23、1)当 me(e 为自然对数的底数)时，求 f(x)的极小值； (2)讨论函数 g(x)f(x)x3零点的个数； (3)若对任意 ba0，f（b）f（a）ba1 恒成立，求 m 的取值范围 21解：(1)由题设，当 me 时，f(x)ln xex，则 f(x)xex2， 当 x(0，e)时，f(x)0，f(x)在(e，)上单调递增 xe 时，f(x)取得极小值 f(e)ln eee2， f(x)的极小值为 2. (2)由题设 g(x)f(x)x31xmx2x3(x0)， 令 g(x)0，得 m13x3x(x0)， 设 (x)13x3x(x0)， 则 (x)x21(x1)(x1)， 当 x(0，1)时，(x)0，(x)在(0，1)上单调递增； 当 x(1，)时，(x)23时，函数 g(x)无零点； 当 m23时，函数 g(x)有且只有一个零点； 当 0m23时，函数 g(x)无零点； 当 m23或 m0 时，函数 g