初中圆类综合试题汇编

1、.3 圆类综合一解答题（共30小题）1如图所示，CD为O的直径，AD、AB、BC分别与O相切于点D、E、C（ADBC）连接DE并延长与直线BC相交于点P，连接OB（1）求证：BC=BP； （2）若DEOB=40，求ADBC的值；（3）在（2）条件下，若SADE：SPBE=16：25，求四边形ABCD的面积2如图，AB是O的直径，BD是O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，连接AC，过点D作DEAC，垂足为E（1）求证：DE为O的切线；（2）若O的半径为5，BAC=60°，求DE的长3如图，已知AB是O直径，BC是O的弦，弦EDAB于点F，交BC于点G，过点C作O的切线与ED的延长线交

2、于点P（1）求证：PC=PG；（2）点C在劣弧AD上运动时，其他条件不变，若点G是BC的中点，试探究CG、BF、BO三者之间的数量关系，并写出证明过程；（3）在满足（2）的条件下，已知O的半径为5，若点O到BC的距离为时，求弦ED的长4如图所示，AB是O的直径，AE是弦，C是劣弧AE的中点，过C作CDAB于点D，CD交AE于点F，过C作CGAE交BA的延长线于点G（1）求证：CG是O的切线（2）求证：AF=CF（3）若EAB=30°，CF=2，求GA的长5如图，AB是O的直径，延长弦BD到点C，使DC=BD，连接AC，过点D作DEAC，垂足为E（1）判断直线DE与O的位置关系，并证明

3、你的结论；（2）若O的半径为6，BAC=60°，延长ED交AB延长线于点F，求阴影部分的面积6如图，半圆O的直径AB=12cm，射线BM从与线段AB重合的位置起，以每秒6°的旋转速度绕B点按顺时针方向旋转至BP的位置，BP交半圆于E，设旋转时间为ts（0t15），（1）求E点在圆弧上的运动速度（即每秒走过的弧长），结果保留（2）设点C始终为的中点，过C作CDAB于D，AE交CD、CB分别于G、F，过F作FNCD，过C作圆的切线交FN于N求证：CNAE；四边形CGFN为菱形；是否存在这样的t值，使BE2=CFCB？若存在，求t值；若不存在，说明理由7已知ABC，分别以AC和B

4、C为直径作半圆O1，O2，P是AB的中点，（1）如图1，若ABC是等腰三角形，且AC=BC，在，上分别取点E、F，使AO1E=BO2F，则有结论PO1EFO2P，四边形PO1CO2是菱形，请给出结论的证明；（2）如图2，若（1）中ABC是任意三角形，其他条件不变，则（1）中的两个结论还成立吗？若成立，请给出证明；（3）如图3，若PC是O1的切线，求证：AB2=BC2+3AC28如图，已知在ABC中，AB=15，AC=20，cotA=2，P是边AB上的一个动点，P的半径为定长当点P与点B重合时，P恰好与边AC相切；当点P与点B不重合，且P与边AC相交于点M和点N时，设AP=x，MN=y（1）求P

5、的半径；（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当AP=时，试比较CPN与A的大小，并说明理由9如图所示，在RtOBC中，OBC=90°，以O为圆心，OB为半径的O交BO的延长线于A，BDOC于D，交O于E，连接CE并延长交直线AB于P（1）求证：CE是O的切线（2）若CE=，O的半径为5，求PE的长？10如图，AB是O的直径，CB=CD，AC与BD相交于F，CF=2，FA=4（1）求证：BCFACB（2）求BC的长（3）延长AB至E，使BE=BO，连接EC，试判断EC与O的位置关系，并说明理由11如图，以RtABC的直角边AB为直径的半圆O，与斜边AC交于D，E是BC

6、边上的中点，连接DE（1）DE与半圆0是否相切？若相切，请给出证明；若不相切，请说明理由；（2）若AD、AB的长是方程x216x+60=0的两个根，求直角边BC的长12如图，在O中，直径AB的不同侧有点C和点P已知BC：CA=4：3，点P和点C关于AB所在直线对称，过点C作CP的垂线与PB的延长线交于点Q，且CQ=求O的半径长13如图，在梯形ABCD中，ADBC，B=90°，AD=13cm，BC=16cm，CD=5cm以AB为直径作圆O，动点P沿AD方向从点A开始向点D以1厘米/秒的速度运动，动点Q沿CB方向从点C开始向点B以2厘米/秒的速度运动，点P、Q分别从A、C两点同时出发，当

7、其中一点停止时，另一点也随之停止运动（1）求O的半径长（2）求四边形PQCD的面积y关于P、Q运动时间t的函数表达式，并求出当四边形PQCD为等腰梯形时，四边形PQCD的面积（3）是否存在某一时刻t，使直线PQ与O相切？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由14已知：如图，AB为O的直径，C为圆外一点，AC交O于点D，且BC2=CDCA，BE交AC于F，（1）求证：BC为O切线（2）判断BCF形状并证明（3）已知BC=15，CD=9，求tanADE的值15直角梯形ABCD中，ABCD，ABC=90°，AB=AD=10，DC=4，动圆O与AD边相切于点M，与AB边相切于点N，过点D作

8、O的切线DP交边CB于点P（1）当O与BC相切时（如图1），求CP的长；（2）当O与BC边没有公共点时，设O的半径为r，求r的取值范围；（3）若O是CDP的内切圆（如图2），试问ODO的大小是否改变？若认为不变，请求出ODO的正切值；若认为改变，请说明理由16在等腰梯形ABCD中，ADBC，AB=DC，且BC=2以CD为直径作O交AD于点E，过点E作EFAB于点F建立如图所示的平面直角坐标系，已知A、B两点坐标分别为A（2，0）、B（0，） （1）求C、D两点的坐标；（2）求证：EF为O的切线；（3）将梯形ABCD绕点A旋转180°到ABCD，直线CD上是否存在点P，使以点P为圆心，

9、PD为半径的P与直线CD相切？如果存在，请求出P点坐标；如果不存在，请说明理由17如图，ABC内接于O，且AB为O的直径ACB的平分线交O于点D，过点D作O的切线PD交CA的延长线于点P，过点A作AECD于点E，过点B作BFCD于点F（1）求证：DPAB；（2）试猜想线段AE，EF，BF之间有何数量关系，并加以证明；（3）若AC=6，BC=8，求线段PD的长18如图，在半径为2的扇形AOB中，AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）ODBC，OEAC，垂足分别为D、E（1）当BC=1时，求线段OD的长；（2）在DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求

10、其长度，如果不存在，请说明理由；（3）设BD=x，DOE的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域19已知：A、B、C三点不在同一直线上（1）若点A、B、C均在半径为R的O上，i）如图，当A=45°，R=1时，求BOC的度数和BC的长；ii）如图，当A为锐角时，求证：sinA=；（2）若定长线段BC的两个端点分别在MAN的两边AM、AN（B、C均与A不重合）滑动，如图，当MAN=60°，BC=2时，分别作BPAM，CPAN，交点为P，试探索在整个滑动过程中，P、A两点间的距离是否保持不变？请说明理由20如图，ABC是边长为4cm的等边三角形，AD为BC边上的高，点

11、P沿BC向终点C运动，速度为1cm/s，点Q沿CA、AB向终点B运动，速度为2cm/s，若点P、Q两点同时出发，设它们的运动时间为x（s）（l）求x为何值时，PQAC；x为何值时，PQAB？（2）当Ox2时，AD是否能平分PQD的面积？若能，说出理由；（3）探索以PQ为直径的圆与AC的位置关系，请写出相应位置关系的x的取值范围（不要求写出过程）21已知：RtABC中，ACBC，CD为AB边上的中线，AC=6cm，BC=8cm；点O是线段CD边上的动点（不与点C、D重合）；以点O为圆心、OC为半径的O交AC于点E，EFAB于F（1）求证：EF是O的切线（如图1）（2）请分析O与直线AB可能出现的

12、不同位置关系，分别指出线段EF的取值范围（图2供思考用）22如图1，O中AB是直径，C是O上一点，ABC=45°，等腰直角三角形DCE中DCE是直角，点D在线段AC上（1）证明：B、C、E三点共线；（2）若M是线段BE的中点，N是线段AD的中点，证明：MN=OM；（3）将DCE绕点C逆时针旋转（0°90°）后，记为D1CE1（图2），若M1是线段BE1的中点，N1是线段AD1的中点，M1N1=OM1是否成立？若是，请证明；若不是，说明理由23如图1至图4中，两平行线AB、CD间的距离均为6，点M为AB上一定点思考如图1，圆心为0的半圆形纸片在AB，CD之间（包括A

13、B，CD），其直径MN在AB上，MN=8，点P为半圆上一点，设MOP=当=度时，点P到CD的距离最小，最小值为探究一在图1的基础上，以点M为旋转中心，在AB，CD 之间顺时针旋转该半圆形纸片，直到不能再转动为止，如图2，得到最大旋转角BMO=度，此时点N到CD的距离是探究二将如图1中的扇形纸片NOP按下面对的要求剪掉，使扇形纸片MOP绕点M在AB，CD之间顺时针旋转（1）如图3，当=60°时，求在旋转过程中，点P到CD的最小距离，并请指出旋转角BMO的最大值；（2）如图4，在扇形纸片MOP旋转过程中，要保证点P能落在直线CD上，请确定的取值范围（参考数椐：sin49°=，c

14、os41°=，tan37°=）24如图，AB是O的直径，BC切O于点B，连接CO并延长交O于点D、E，连接AD并延长交BC于点F（1）试判断CBD与CEB是否相等，并证明你的结论；（2）求证：=；（3）若BC=AB，求tanCDF的值25如图所示，P是O外一点，PA是O的切线，A是切点，B是O 上一点，且PA=PB，连接AO、BO、AB，并延长BO与切线PA相交于点Q（1）求证：PB是O的切线；（2）求证：AQPQ=OQBQ；（3）设AOQ=，若，OQ=15，求AB的长26如图1，抛物线y=ax2+（a+3）x+3（a0）与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x轴上有

15、一动点E（m，0）（0m4），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PMAB于点M（1）求a的值和直线AB的函数表达式；（2）设PMN的周长为C1，AEN的周长为C2，若=，求m的值；（3）如图2，在（2）条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE，旋转角为（0°90°），连接EA、EB，求EA+EB的最小值27如图，抛物线y=ax2（2a+1）x+b的图象经过（2，1）和（2，7）且与直线y=kx2k3相交于点P（m，2m7）（1）求抛物线的解析式；（2）求直线y=kx2k3与抛物线y=ax2（2a+1）x+b的对称轴的交点Q的坐标；（3）在y轴上是

16、否存在点T，使PQT的一边中线等于该边的一半？若存在，求出点T的坐标；若不存在请说明理由28在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2+bx+c的顶点M的坐标为（1，4），且与x轴交于点A，点B（点A在点B的左边），与y轴交于点C（1）填空：b=，c=，直线AC的解析式为；（2）直线x=t与x轴相交于点H当t=3时得到直线AN（如图1），点D为直线AC下方抛物线上一点，若COD=MAN，求出此时点D的坐标；当3t1时（如图2），直线x=t与线段AC，AM和抛物线分别相交于点E，F，P试证明线段HE，EF，FP总能组成等腰三角形；如果此等腰三角形底角的余弦值为，求此时t的值29已知抛物线经过A（3，

17、0），B（1，0），C（2，）三点，其对称轴交x轴于点H，一次函数y=kx+b（k0）的图象经过点C，与抛物线交于另一点D（点D在点C的左边），与抛物线的对称轴交于点E（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，当SEOC=SEAB时，求一次函数的解析式；（3）如图2，设CEH=，EAH=，当时，直接写出k的取值范围30如图，抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A、B，且B点的坐标为（2，0）（1）求抛物线的解析式；（2）若点P是AB上的一个动点，过点P作PEAC交BC于点E，连接CP，求PCE面积的最大值；（3）在（2）的条件下，若点D为OA的中点，点M是线段AC上一点，

18、当OMD为等腰三角形时，连接MP、ME，把MPE沿着PE翻折，点M的对应点为点N，求点N的坐标，并判断点N是否在抛物线上姚宇笑3 2017122参考答案与试题解析一解答题（共30小题）1（2016郑州校级模拟）如图所示，CD为O的直径，AD、AB、BC分别与O相切于点D、E、C（ADBC）连接DE并延长与直线BC相交于点P，连接OB（1）求证：BC=BP； （2）若DEOB=40，求ADBC的值；（3）在（2）条件下，若SADE：SPBE=16：25，求四边形ABCD的面积【分析】（1）由于点O是CD的中点，所以要证BC=BP，只要证明OBDP即可；（2）由DEOB=40可以想到比例式，由题意

19、可以证明DECOCB，由此得DEOB=OCDC=40，则OC=2，再证ADOOCB即可；（3）易证ADEBPE，根据面积的比等于相似比的平方得=，则BC=5，又四边形ABCD是梯形，按其面积公式即可求解【解答】解：（1）证明：连接OE，如下图，BC、AB分别与O相切于点C、E，OCB=OEB=90°，在RTOCB与RTOEB中，RTOCBRTOEB（HL）COB=EOB同弧所对的圆周角是其所对的圆心角的一半，COB=COE=CDP，DPOB，又点O是CD的中点，OB是CDP的中位线，BC=BP 图（2）连接OA、OE、CE，如下图所示图CD是O的直径，DEC=90°，又BC

20、与O相切于点C，DEC=OCB=90°，又4=6DECOCB，DEOB=OCDC=40DC=2OCOC2=20，OC=2，又1=2，3=4，1+4=90°，又1+5=90°，4=5ADOOCBADBC=OCOD=OC2=20即：ADBC=20（3）AD、BC分别与O相切于点D、C，如图所示，CDAD，CDPC，ADPBADEBPE=， 即：AD=BC=BP 又ADBC=20BC2=25 即：BC=5S四边形ABCD=（AD+BC）2OC=OC（AD+BP）=2BC=2××5=18即：四边形ABCD的面积为18【点评】本题考查了圆的切线的性质、相

21、似的性质与判定等知识点，本题的难点是相似的判定与性质的应用，这也是解（2）、（3）两个小题的关键2（2016零陵区校级模拟）如图，AB是O的直径，BD是O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，连接AC，过点D作DEAC，垂足为E（1）求证：DE为O的切线；（2）若O的半径为5，BAC=60°，求DE的长【分析】（1）连接OD，根据OA=OB，CD=BD，得出ODAC，0DE=CED，再根据DEAC，即可证出ODDE，从而得出答案；（2）结合（1）中的结论，可以证明BOD是等边三角形，即可求得CD和BD的长，再根据锐角三角函数即可计算DE的长【解答】（1）证明：如图，连接ODOA=OB，

22、CD=BD，ODAC 0DE=CED又DEAC，CED=90°ODE=90°，即ODDEDE是O的切线（2）解：ODAC，BAC=60°，BOD=BAC=60°，C=0DB又OB=OD，BOD是等边三角形C=ODB=60°，CD=BD=5DEAC，DE=CDsinC=5×sin60°=【点评】本题考查了切线的判定与性质，用到的知识点是圆周角定理的推论、线段垂直平分线的性质以及等边三角形的判定，是一道常考题型3（2013德阳）如图，已知AB是O直径，BC是O的弦，弦EDAB于点F，交BC于点G，过点C作O的切线与ED的延长线交

23、于点P（1）求证：PC=PG；（2）点C在劣弧AD上运动时，其他条件不变，若点G是BC的中点，试探究CG、BF、BO三者之间的数量关系，并写出证明过程；（3）在满足（2）的条件下，已知O的半径为5，若点O到BC的距离为时，求弦ED的长【分析】（1）连结OC，根据切线的性质得OCPC，则OCG+PCG=90°，由EDAB得B+BGF=90°，而B=OCG，所以PCG=BGF，根据对顶角相等得BGF=PGC，于是PGC=PCG，所以PC=PG；（2）连结OG，由点G是BC的中点，根据垂径定理的推论得OGBC，BG=CG，易证得RtBOGRtBGF，则BG：BF=BO：BG，即B

24、G2=BOBF，把BG用CG代换得到CG2=BOBF；（3）解：连结OE，OG=OG=，在RtOBG中，利用勾股定理计算出BG=2，再利用BG2=BOBF可计算出BF，从而得到OF=1，在RtOEF中，根据勾股定理计算出EF=2，由于ABED，根据垂径定理可得EF=DF，于是有DE=2EF=4【解答】（1）证明：连结OC，如图，PC为O的切线，OCPC，OCG+PCG=90°，EDAB，B+BGF=90°，OB=OC，B=OCG，PCG=BGF，而BGF=PGC，PGC=PCG，PC=PG；（2）解：CG、BF、BO三者之间的数量关系为CG2=BOBF理由如下：连结OG，如

25、图，点G是BC的中点，OGBC，BG=CG，OGB=90°，OBG=GBF，RtBOGRtBGF，BG：BF=BO：BG，BG2=BOBF，CG2=BOBF；（3）解：连结OE，如图，由（2）得OGBC，OG=，在RtOBG中，OB=5，BG=2，由（2）得BG2=BOBF，BF=4，OF=1，在RtOEF中，EF=2，ABED，EF=DF，DE=2EF=4【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径也考查了垂径定理以及推论、勾股定理以及三角形相似的判定与性质4（2013恩施州）如图所示，AB是O的直径，AE是弦，C是劣弧AE的中点，过C作CDAB于点D，CD交AE于点F

26、，过C作CGAE交BA的延长线于点G（1）求证：CG是O的切线（2）求证：AF=CF（3）若EAB=30°，CF=2，求GA的长【分析】（1）连结OC，由C是劣弧AE的中点，根据垂径定理得OCAE，而CGAE，所以CGOC，然后根据切线的判定定理即可得到结论；（2）连结AC、BC，根据圆周角定理得ACB=90°，B=1，而CDAB，则CDB=90°，根据等角的余角相等得到B=2，所以1=2，于是得到AF=CF；（3）在RtADF中，由于DAF=30°，FA=FC=2，根据含30度的直角三角形三边的关系得到DF=1，AD=，再由AFCG，根据平行线分线段成

27、比例得到DA：AG=DF：CF然后把DF=1，AD=，CF=2代入计算即可【解答】（1）证明：连结OC，如图，C是劣弧AE的中点，OCAE，CGAE，CGOC，CG是O的切线；（2）证明：连结AC、BC，AB是O的直径，ACB=90°，2+BCD=90°，而CDAB，B+BCD=90°，B=2，C是劣弧AE的中点，=，1=B，1=2，AF=CF；（3）解：在RtADF中，DAF=30°，FA=FC=2，DF=AF=1，AD=DF=，AFCG，DA：AG=DF：CF，即：AG=1：2，AG=2【点评】本题考查了圆的切线的判定：过半径的外端点与半径垂直的直线

28、为圆的切线也考查了圆周角定理、垂径定理和等腰三角形的判定5（2012抚顺）如图，AB是O的直径，延长弦BD到点C，使DC=BD，连接AC，过点D作DEAC，垂足为E（1）判断直线DE与O的位置关系，并证明你的结论；（2）若O的半径为6，BAC=60°，延长ED交AB延长线于点F，求阴影部分的面积【分析】（1）连接OD，根据三角形的中位线得出ODAC，推出ODDE，根据切线的判定推出即可；（2）求出DOF=60°，F=30°，求出DF，根据阴影部分的面积等于三角形ODF的面积减去扇形DOB的面积，分别求出后代入即可【解答】（1）直线DE与O的位置关系是相切，证明：连

29、接OD，AO=BO，BD=DC，ODAC，DEAC，DEOD，OD为半径，直线DE是O的切线，即直线DE与O的位置关系是相切；（2）解：ODAC，BAC=60°，DOB=A=60°，DE是O切线，ODF=90°，F=30°，FO=2OD=12，由勾股定理得：DF=6，阴影部分的面积S=SODFS扇形DOB=×6×6=186【点评】本题考查了切线的性质和判定，平行线的性质和判定，扇形的面积，三角形的面积，三角形的中位线等知识点的综合应用6（2012常熟市校级二模）如图，半圆O的直径AB=12cm，射线BM从与线段AB重合的位置起，以每秒

30、6°的旋转速度绕B点按顺时针方向旋转至BP的位置，BP交半圆于E，设旋转时间为ts（0t15），（1）求E点在圆弧上的运动速度（即每秒走过的弧长），结果保留（2）设点C始终为的中点，过C作CDAB于D，AE交CD、CB分别于G、F，过F作FNCD，过C作圆的切线交FN于N求证：CNAE；四边形CGFN为菱形；是否存在这样的t值，使BE2=CFCB？若存在，求t值；若不存在，说明理由【分析】（1）根据弧长计算公式直接求出即可；（2）利用圆周角定理和平行线的判定以及弦切角定理得出即可；利用平行四边形的判定以及菱形判定得出即可；利用相似三角形的判定得出ACFBCA，再利用等腰三角形的知识得

31、出当t=10s时，AOC=AOE=60°，即可得出答案【解答】（1）解：射线BM从与线段AB重合的位置起，以每秒6°的旋转速度绕B点按顺时针方向旋转至BP的位置，B一秒P转动的圆心角为12°，每秒走过的弧长为：=cms；（2）证明：如图所示：点C始终为的中点，过C作CDAB于D，AE交CD、CB分别于G、F，过F作FNCD，过C作圆的切线交FN于NACD+CAG=CGF，ABC=GAC=ACG，MCA=ABC，MCA+ACG=ACD+CAG，CNAE；证明：FNCD，CNAE；四边形CGFN是平行四边形，GCF=90°ACG，CFG=EFB=90

32、6;EBC，EBC=ACD，GCF=GFC，CG=GF，平行四边形CGFN为菱形；解：连接EO，CO存在，理由如下：ACF=ACB，CAF=CBA，ACFBCA，AC2=BCCF，当t=10s时，AOC=AOE=60°，BOE=60°，AOC，BOE都是等边三角形，且此时全等，AC=BE，BE2=BCCF【点评】此题主要考查了切线的性质定理以及圆周角定理、相似三角形的判定、菱形的判定等知识，根据已知得出角之间等量关系是解决问题的关键7（2011常德）已知ABC，分别以AC和BC为直径作半圆O1，O2，P是AB的中点，（1）如图1，若ABC是等腰三角形，且AC=BC，在，上分

33、别取点E、F，使AO1E=BO2F，则有结论PO1EFO2P，四边形PO1CO2是菱形，请给出结论的证明；（2）如图2，若（1）中ABC是任意三角形，其他条件不变，则（1）中的两个结论还成立吗？若成立，请给出证明；（3）如图3，若PC是O1的切线，求证：AB2=BC2+3AC2【分析】（1）可证明APO1与BPO2全等，则AO1P=BO2P，再根据已知可得出EO1=FO2，PO1=PO2，则PO1EFO2P，可先证明四边形PO1CO2是平行四边形，再证明CO1=CO2，即可得出四边形PO1CO2是菱形；（2）由已知得出成立，而只是平行四边形；（3）直角三角形APC中，设AP=c，AC=a，PC

34、=b，则c2=a2+b2；AB2=4c2=4（a2+b2），过点B作AC的垂线，交AC的延长线于D点则CD=a，BD=2bBC2=a2+4b2，由此得证【解答】解：（1）P、O1、O2分别为AB、AC、BC的中点，AP=BP，AO1=BO2，PO1BC，PO2AC，四边形PO1CO2是平行四边形，AC=BC，PO1=PO2，四边形PO1CO2是菱形；（2）P为AB中点，AP=BP，又O1为AC中点，O1P为ABC的中位线，O1P=O2B=BC，同理可得O2P=AO1=AC，AO1PBO2P（SSS），AO1P=BO2P，又AO1E=BO2F，AO1P+AO1E=BO2P+BO2F，即PO1E=

35、FO2P，又O1A=O1E=O2P，且PO1=BO2=FO2，PO1EFO2P；但四边形PO1CO2不是菱形；（3）RtAPC中，设AP=c，AC=a，PC=b，c2=a2+b2；AB2=4c2=4（a2+b2），过点B作AC的垂线，交AC的延长线于D点CD=a，BD=2b，BC2=a2+4b2，BC2+3AC2=a2+4b2+3a2=4（a2+b2），AB2=BC2+3AC2【点评】本题综合考查了圆与全等的有关知识；利用中位线定理及构造三角形全等，利用全等的性质解决相关问题是解决本题的关键8（2011松江区模拟）如图，已知在ABC中，AB=15，AC=20，cotA=2，P是边AB上的一个动

36、点，P的半径为定长当点P与点B重合时，P恰好与边AC相切；当点P与点B不重合，且P与边AC相交于点M和点N时，设AP=x，MN=y（1）求P的半径；（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当AP=时，试比较CPN与A的大小，并说明理由【分析】（1）作BDAC，垂足为点D则BD就是P的半径根据已知条件可求得sinA，即可得出BD，即P的半径；（2）作PHMN，垂足为点H，由垂径定理，得MN=2MH即可表示出PH，从而得出y关于x的函数解析式（3）当AP=时，可求出AM、CN可证出AMPPNC，从而得出CPN与A的大小【解答】解：（1）作BDAC，垂足为点DP与边AC相切，BD就是P

37、的半径cotA=2，（1分）又，AB=15，（2分）（2）作PHMN，垂足为点H由垂径定理，得MN=2MH（1分）而，（1分），即（2分）定义域为（1分）（3）当AP=时，CPN=A（1分）证明如下：当AP=时，PH=6，MH=3，AH=12，AM=9（1分）AC=20，MN=6，CN=5（1分），（1分）又PM=PN，PMN=PNMAMP=PNC（1分）AMPPNC（1分）CPN=A【点评】本题是一道中考压轴题，考查了切线的性质和垂径定理以及相似三角形的判定，难度偏大9（2010双流县）如图所示，在RtOBC中，OBC=90°，以O为圆心，OB为半径的O交BO的延长线于A，BDOC

38、于D，交O于E，连接CE并延长交直线AB于P（1）求证：CE是O的切线（2）若CE=，O的半径为5，求PE的长？【分析】（1）连接EO，EOB为等腰三角形，推出DOB=DOE，结合题意推出CEOCBO，得OEPC，即可推出结论，（2）根据（1）的结论可知BC=CE=，结合题意可以推出PEOPBC，求得，在RtABC中，根据勾股定理即可推出PE的长度【解答】（1）证明：连接EO，EOB为等腰三角形，BDOC于D，DOB=DOE，CEOCBO，OBC=90°，OEPC，CE是O的切线（2）解：OEPC，OBC=90°，EOP=BCP，PEOPBC，OE=5，BC=EC=，设PE

39、=3x，PB=4x，（3x+）2（4x）2=（）2，解方程得：x（407x）=0，x1=0（舍去）x2=，PE=【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质、切线的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理，解题的关键在于求证CEOCBO；PEOPBC，推出10（2009广元）如图，AB是O的直径，CB=CD，AC与BD相交于F，CF=2，FA=4（1）求证：BCFACB（2）求BC的长（3）延长AB至E，使BE=BO，连接EC，试判断EC与O的位置关系，并说明理由【分析】（1）由题意可知，D=CBD，A=D，通过等量代换推出A=CBD，即可推出结论，（2）由（1）所推出的结论，推出，结合已知

40、条件，即可推出BC的长度，（3）连接OC，根据垂径定理，即可推出OCBD，然后通过求证，推出BFEC，即得，OCEC，即可推出结论【解答】（1）证明：CB=CD，D=CBD，A=D，A=CBD，又ACB=BCF，BCFACB（2）解：BCFACB，又CF=2，FA=4，BC1=2或BC2=（舍去），BC=2，（3）解：EC与O相切证明：连接OC，CB=CD，OCBD，又BE=BO，AB是O的直径，OB=OA=BE，CF=2，FA=4，BFEC，OCEC，故EC与O相切【点评】本题主要考查圆周角定理、切线的性质、相似三角形的判定与性质、垂径定理等知识点，关键在于（1）运用圆周角定理推出A=CBD

41、，（2）熟练运用相似三角形的性质推出对应边成比例的比例式，（3）根据垂径定理，推出OCBD，求证BFEC11（2009黔南州）如图，以RtABC的直角边AB为直径的半圆O，与斜边AC交于D，E是BC边上的中点，连接DE（1）DE与半圆0是否相切？若相切，请给出证明；若不相切，请说明理由；（2）若AD、AB的长是方程x216x+60=0的两个根，求直角边BC的长【分析】（1）连接OD、BD，求出BDAC，AD=CD，求出DE=BE，推出EDB=EBD，ODB=OBD，推出ODE=90°，根据切线的判定推出即可；（2）求出AD和AB的值，证RtADBRtABC，得出=，求出AC=，根据勾

42、股定理求出即可【解答】解：（1）DE与半圆O相切，理由如下：连接OD、BD，AB是O的直径，BDA=BDC=90°，在RtBDC中，E为BC边上的中点，DE=BE，EBD=BDE，OB=OD，OBD=ODB，ABC=OBD+EBD=90°，ODB+EDB=90°，OD是半径，DE与半圆O相切；（2）AD、AB的长是方程x216x+60=0的两个根，解方程得：x1=6，x2=10，ADAB，AD=6，AB=10，在RtABC中，BDAC，RtADBRtABC，=，即AB2=ADAC，AC=，在RtABC中，AB=10，AC=，BC=【点评】本题考查了相似三角形的性质

43、和判定，直角三角形斜边上中线性质，等腰三角形性质，圆周角定理，勾股定理等知识点的应用，主要考查学生的推理和计算能力12（2008德阳）如图，在O中，直径AB的不同侧有点C和点P已知BC：CA=4：3，点P和点C关于AB所在直线对称，过点C作CP的垂线与PB的延长线交于点Q，且CQ=求O的半径长【分析】根据题意得CPAB，设垂足为D，由圆周角定理得ACB=90°，设BC=4x，那么AC=3x，再根据直角三角形的面积公式可得出CD，PC，再由RtACBRtPCQ可得出x，由勾股定理求出答案即可【解答】解：点P与点C关于AB对称时，CPAB，设垂足为D，AB为O的直径，ACB=90

44、6;，BC：CA=4：3，设BC=4x，那么AC=3x，由勾股定理得：AB=5xACBC=ABCD，CD=x，PC=x，在RtACB和RtPCQ中，ACB=PCQ=90°，CAB=CPQ，RtACBRtPCQ=，=，解得x=2，直径AB=10，O的半径长为5【点评】本题是一道有关圆的知识的题目，考查了圆周角定理以及相似三角形的判定和性质，是基础知识要熟练掌握13（2008秋招远市期末）如图，在梯形ABCD中，ADBC，B=90°，AD=13cm，BC=16cm，CD=5cm以AB为直径作圆O，动点P沿AD方向从点A开始向点D以1厘米/秒的速度运动，动点Q沿CB方向从点C开始

45、向点B以2厘米/秒的速度运动，点P、Q分别从A、C两点同时出发，当其中一点停止时，另一点也随之停止运动（1）求O的半径长（2）求四边形PQCD的面积y关于P、Q运动时间t的函数表达式，并求出当四边形PQCD为等腰梯形时，四边形PQCD的面积（3）是否存在某一时刻t，使直线PQ与O相切？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由【分析】（1）过点D作DEBC于E，则四边形ABED是矩形，AB=ED，所以求出DE，就求出了圆的直径（2）要求四边形PQCD的面积，只需用t表达出CQ和PD当四边形PQCD为等腰梯形时，CQPD=2CE，即2t（13t）=6，即可求出t的值，从而确定四边形的面积（3）先假

46、设存在，构造直角三角形，利用勾股定理得出方程，解方程，若方程有解，则存在，若方程无解，则不存在【解答】解：（1）过点D作DEBC于E，ABBC，四边形ADEB为矩形，BE=AD=13，EC=3又CD=5，DE=4，即AB=4，O的半径为2cm（2）当P、Q运动t秒时，AP=t，CQ=2t则S四边形PQCD=y=（13t+2t）×4，即y=2t+26（0t8）当四边形PQCD为等腰梯形时，过P作PFBC于F（如图一），则有QF=CE=32t（13t）=6，则t=此时四边形PQCD面积y=（cm2），（3）存在若PQ与圆相切，设切点为G（如图二）作PHBC于HA在O上，A=90°

47、;，AD切O于A，PQ切O于G，由切线长定理得：PG=PA=tQG=QB=162t，QH=QBBH=（162t）t=163tPQ=QB+AP=16t在RtPQH中，PQ2=PH2+QH2，即（16t）2=16+（163t）2t28t+2=0解得t1=4+，t2=4，0t8，当t=4±时，PQ与圆相切【点评】本题是一个动点问题，解题时要善于将动点问题转化为静态题此题是一个大综合题，难度较大，有利于培养同学们的钻研精神和坚韧不拔的意志品质14（2007温江区校级模拟）已知：如图，AB为O的直径，C为圆外一点，AC交O于点D，且BC2=CDCA，BE交AC于F，（1）求证：BC为O切线（2

48、）判断BCF形状并证明（3）已知BC=15，CD=9，求tanADE的值【分析】（1）由BC2=CDCA，根据三角形相似的判定得到CBDCAB，根据三角形相似的性质得到CBD=BAC，而AB为O的直径，根据圆周角定理的推论得ADB=90°，易证得ABD+CBD=90°，根据切线的判定即可得到答案；（2）由，根据圆周角定理得DAE=BAC，由（1）得BAC=CBD，则CBD=DAE，根据同弧所对的圆周角相等得DAE=DBF，所以DBF=CBD，而BDF=90°，根据等腰三角形三线的判定即可得到BCF为等腰三角形；（3）由BC2=CDCA，BC=15，CD=9，可计算

49、出CA=25，根据等腰三角形的性质有BF=BC=15，DF=DC=9，利用勾股定理计算出BD=12，得到AF=7，再根据等积可求出AE=，然后利用RtAEFRtBDF，通过相似比可计算出EF，则可得到BE，而ADE=ABE，最后利用三角函数的性质可计算出tanADE的值【解答】（1）证明：BC2=CDCA，即BC：CA=CD：BC，而C公共，CBDCAB，CBD=BAC，又AB为O的直径，ADB=90°，即BAC+ABD=90°，ABD+CBD=90°，即ABBC，BC为O切线；（2）BCF为等腰三角形证明如下：，DAE=BAC，而CBDCAB，BAC=CBD，C

50、BD=DAE，而DAE=DBF，DBF=CBD，而BDF=90°，BCF为等腰三角形；（3）解：BC2=CDCA，BC=15，CD=9，CA=25，BF=BC=15，DF=DC=9，BD=12，AF=2518=7，SABF=AEBF=AFBD，AE=，易证RtAEFRtBDF，EF：DF=AF：BF，即EF：9=7：15，EF=，BE=15+=，ADE=ABE，tanADE=tanABE=【点评】本题考查了切线的判定与性质：过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线；圆的切线垂直于过切点的半径也考查了圆周角定理及其推论以及三角形相似的判定与性质15（2007杨浦区二模）直角梯形ABCD中，ABCD，ABC=90°，AB=AD=10，DC=4，动圆O与AD边相切于点M，与AB边相切于点N，过点D作O的切线DP交边CB于点P（1）当O与BC相切时（如图1），求CP的长；（2）当O与BC边没有公共点时，设O的半径为r，求r的取值范围；（3）若O是CDP的内切圆（如图2），试问ODO的大小是否改变？若认为不变，请求出ODO的正切值；若认为改变，请说明理由【分析】（1）设O与BC相切于点Q，与DP相切于点K，由题意得DM=DK，AM=AN，BN=BQ，PQ=PK，则DP+AB=BP+AD，过D作DHAB于H，根据四边形ABCD为直角梯形，得DH