概率论与数理统计PPT课件第五章大数定律及中心极限定理

1、 概率论与数理统计是研究随机现象概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的学科统计规律性的学科. . 随机现象的规律性随机现象的规律性只有只有在相同的条件下进行大量重复试验在相同的条件下进行大量重复试验时才会呈现出来时才会呈现出来. .也就是说，要从随机也就是说，要从随机现象中去寻求必然的法则，应该研究大现象中去寻求必然的法则，应该研究大量随机现象量随机现象. . 第五章第五章 大数定律及中心极限定理大数定律及中心极限定理 大量的随机现象中平均结果的稳定性大量的随机现象中平均结果的稳定性 大数律的客观背景大数律的客观背景大量抛掷硬币大量抛掷硬币正面出现频率正面出现频率 研究大量的随机现象，常常

2、采用研究大量的随机现象，常常采用极限形式，由此导致对极限定理进行极限形式，由此导致对极限定理进行研究研究. . 极限定理的内容很广泛，其中极限定理的内容很广泛，其中最重要的有两种最重要的有两种: :与与大数定律大数定律中心极限定理中心极限定理下面先介绍大数定律下面先介绍大数定律下面的大数定律将下面的大数定律将(2.1)进行了推广进行了推广.是是n次试验中的成功次数次试验中的成功次数.n12nsx xx 则则j1jx0, j，当第 次试验成功，当第 次试验不成功。在在n次独立重复试验中次独立重复试验中, 引入引入由概率的频率定义知道由概率的频率定义知道, 对于成功的频率对于成功的频率nnxs /

3、nn11nlimxpx 1ex 2.1 （ ）（）,有有5.2 大数律大数律 称随机变量的序列称随机变量的序列为为随机序列随机序列(random sequence). n1 2 ，其含义是其含义是n很大时很大时, 与与 有非零差距的可能性有非零差距的可能性很小。很小。nlim |0nnp ，则称序列则称序列 依概率收敛于依概率收敛于 . 记为记为nn p 定义定义 2.1 设设 是随机序列，是随机序列， 是随机变量，是随机变量，如果对如果对任意的任意的 0，有，有 nn 11x p (2.5niixn） 设随机序列设随机序列 独立同分布，独立同分布，并且并且 有限，则有有限，则有 定理定理2.

4、1nx1ex通常把类似于通常把类似于2.5的结论称为的结论称为弱大数律弱大数律(weak law of large numbers).由切比雪夫不等式得：由切比雪夫不等式得：2211|0,niipxnnn 证明：证明：例例1（接（接4.1 的例的例1.4 )在赌对子时在赌对子时, 甲每次下注甲每次下注100元元. 如果他连续如果他连续下注下注n次次, 证明他的盈利证明他的盈利sn满足满足 np (s1 8 n )1 . 18180.6nnnsnxx证明：证明： 用用xi表示甲第表示甲第i次下注的盈利次下注的盈利, 则则x1,x2, xn独立同分布独立同分布. 由由4.1的例的例1.4知知 =e

5、xi=-18.6, sn=x1+x2+xn. 利用利用|0.6nx和定理和定理2.1得到得到, n 时，时，12var(x )0.0.6np(sn 18n) p(| | 0.6)nx于是于是，p(sn 18n) = 1 p(sn 18n) 1.说明下注的次数说明下注的次数n越多越多, 至少输至少输18n元的概率元的概率越大。越大。设设 是随机序列，是随机序列， 是随机变量，是随机变量， 定义定义2.2n如果如果lim1nnp ，则称序列则称序列 以概率以概率1收敛于收敛于 . 记为记为n,nwp1 或或 a.s.。 类似于类似于(2.6)的结果称为的结果称为强大数律强大数律(strong la

6、w of large numbers). 从强大数律结论从强大数律结论(2.6)知道概率的频率定义是合理的。知道概率的频率定义是合理的。定理定理 2.3 如果如果 wp1. 则则,n .np强大数律结论比弱大数律结论要强强大数律结论比弱大数律结论要强: 设随机序列设随机序列 独立同分布，独立同分布，并且并且 ，则有，则有 定理定理2.2 11 , wp1. 2.6niixn（）nx1ex证明：证明：设设p是任意小的正数是任意小的正数, 事件事件a1, a2相互相互独立独立, p(ai)=p. 用用 iai 表示表示ai的示性函数的示性函数, 则则 iai 独立同分布独立同分布.由强大数律得到由

7、强大数律得到11, 1.iii apwpn所以所以1, 1.iii awp 说明有无穷个说明有无穷个ai发生的概率是发生的概率是1.在多次独立重复试验过程中在多次独立重复试验过程中, 小概率事件必然小概率事件必然发生发生.例例2 观察表明，观察表明，如果一个量是由大量如果一个量是由大量相互独立的随机因素的综合影响所相互独立的随机因素的综合影响所造成，而每一个别因素在总影响中造成，而每一个别因素在总影响中所起的作用都是微小的所起的作用都是微小的. .则这种量一则这种量一般都服从或近似服从正态分布般都服从或近似服从正态分布. . 该结论得益于高斯对测量该结论得益于高斯对测量误差分布的研究误差分布的

8、研究. .中心极限定理的客观背景中心极限定理的客观背景 5.35.3 中心极限定理中心极限定理 强大数律和弱大数律分别讨论了随机序列部分和强大数律和弱大数律分别讨论了随机序列部分和的依概率收敛和以概率的依概率收敛和以概率1收敛收敛. 中心极限定理讨论对充分大的中心极限定理讨论对充分大的n, , 随机变量序列随机变量序列部分和部分和 x1+x2+ +xn 的概率分布问题的概率分布问题. .令令sn = x1 + x2 + + xn.则则sn为为n次独立试验中成功的次数次独立试验中成功的次数,sn b(n,p)。 时时,sn的分布形状很象正态分布。的分布形状很象正态分布。n例例3: 二项分布二项分

9、布 j1jx0, j，当第 次试验成功，当第 次试验不成功。则则xj iid b(1,p)(两点分布两点分布)。独立地重复某一试验，设独立地重复某一试验，设 时时,sn的分布形状很象正态分布。的分布形状很象正态分布。nns().ixp nni=1若若xj iid p( ), 则由则由3.4 的例的例4.1知道部分和知道部分和例例4: poisson(泊松泊松)分布分布例例5: 几何分布部分和几何分布部分和 设设 xj独立同分布都服从几何分布独立同分布都服从几何分布jp(x,1,2,.,1.kp q k-1=k)pq上述分布称为上述分布称为帕斯卡分布帕斯卡分布.可以将可以将 sn = x1 +

10、x2 + + xn 设想成第设想成第n次击次击中目标时的射击次数中目标时的射击次数(参考几何分布的背景参考几何分布的背景), 于于是得到是得到11(),1,.nnknnkp skcp qkn n 时时,sn的分布形状很象正态分布。的分布形状很象正态分布。n注：注：得到第得到第n次成功前失败的次数次成功前失败的次数y的分布称为的分布称为负二项分布，负二项分布，易见易见且且sn = y + n.1(),0,1,2,.knkn kp ykcp qk 从演示看出从演示看出 时时,sn的分布形状很象正态的分布形状很象正态分布。分布。n这里这里 是标准正态分布的分布函数是标准正态分布的分布函数.( )x定

11、理定理3.1.（中心极限定理中心极限定理）lim().nnpxx 设随机序列设随机序列 xj 独立同分布独立同分布, 有共同有共同的数学期望的数学期望 和方差和方差 . 部分和部分和sn =x1 x2 xn, 则则sn的标准化的标准化2 nnsnn依分布收敛依分布收敛到到标准正态分布标准正态分布. 即对任何即对任何x,(3.2) 我们把结论我们把结论(3.2)记成记成 , 其中的其中的d表示依分布收敛表示依分布收敛. d n(0,1)n 中心极限定理是概率论中最著名的结果之中心极限定理是概率论中最著名的结果之一，它不仅提供了计算独立随机变量之和的近一，它不仅提供了计算独立随机变量之和的近似概率

12、的简单方法，而且有助于解释似概率的简单方法，而且有助于解释为什么很为什么很多自然群体的经验频率呈现出钟形曲线多自然群体的经验频率呈现出钟形曲线这一值这一值得注意的事实得注意的事实. 在一般情况下很难求出在一般情况下很难求出n个随机变个随机变量量之和之和 的分布函数，定理的分布函数，定理3.13.1表明表明: :当当n充分大时充分大时, ,可以通过可以通过 给出其近似的分布给出其近似的分布. .1nkkx( )x 因此可以利用正态分布对因此可以利用正态分布对 作作理论分析或作实际计算理论分析或作实际计算. .1nkkx推论推论3.2. 在定理在定理3.1的条件下，对充分大的的条件下，对充分大的n

13、 ，部分和部分和sn =x1 x2 xn, 的概率分布的概率分布可以用正态分布可以用正态分布2(,)n nn近似近似.中心极限定理的应用中心极限定理的应用: 可以用可以用n(0,1)近似计算关于近似计算关于 的概率，的概率，用用n(n , n 2) 近似计算关于近似计算关于sn的概率。的概率。n例例6: 近似计算近似计算 当辐射的强度超过每小时当辐射的强度超过每小时0.5毫伦琴毫伦琴(mr)时时, 辐射会对人的健康造成伤害辐射会对人的健康造成伤害. 设一台彩电设一台彩电工作时的平均辐射强度是工作时的平均辐射强度是0.036(mr/h), 方差是方差是0.0081. 则家庭中一台彩电的辐射一般不

14、会对则家庭中一台彩电的辐射一般不会对人造成健康伤害人造成健康伤害. 但是彩电销售店同时有多台但是彩电销售店同时有多台彩电同时工作时彩电同时工作时, 辐射可能对人造成健康伤害辐射可能对人造成健康伤害. 现在有现在有16台彩电同时工作台彩电同时工作, 问这问这16台彩电的辐台彩电的辐射量可以对人造成健康伤害的概率射量可以对人造成健康伤害的概率.例例6: 近似计算近似计算解解: 用用xi表示第表示第i台彩电的辐射量台彩电的辐射量(mr/h),则则xi的数学期望是的数学期望是 =0.036, 方差是方差是 =0.0081. sn=x1+x2+ +x16是是n=16台彩电的辐射量台彩电的辐射量. 题目要

15、求题目要求p(sn 0.5). 认为认为xi独立同分布时独立同分布时, 按照按照定理定理3.1,2nnsnn近似服从近似服从n(0,1)分布分布, 于是于是例例6: 近似计算近似计算(续续)0.5(0.5)nnsnnp spnn0 .51 60 .0 3 61 60 .0 0 8 10 .2 1 1( 0 .2 1 1)0 .5 8 .nnpp 这这16台彩电以大约台彩电以大约58%的概率会对人造成健康的概率会对人造成健康伤害伤害.例例7 7 一加法器同时收到一加法器同时收到20个噪声电压个噪声电压 ，设它们是互相独立的随机变量，且都在区间设它们是互相独立的随机变量，且都在区间(0,10)上上

16、服从均匀分布，记服从均匀分布，记 (1,2,20)iv i 201niisv nn22s -20 5105-20 5ps105p10 /122010 /1220 nns -100s -100p0.3871 p0.387(10/ 12)20(10/ 12)20 求求psn105 近似值近似值 。 二项分布的正态近似二项分布的正态近似推论推论3.3.3.3.设设sn b(n,p), p=1-q (0,1), 则则 d n(0,1). (3.3)nsnpnpq由定理由定理3.13.1结论成立结论成立例例9 9 某单位有某单位有200台电话分机，每台分机有台电话分机，每台分机有5%的时的时间要使用外线

17、通话。假定每台分机是否使用外线是间要使用外线通话。假定每台分机是否使用外线是相互独立的，问该单位总机要安装多少条外线，才相互独立的，问该单位总机要安装多少条外线，才能以能以90%以上的概率保证分机用外线时不等待？以上的概率保证分机用外线时不等待？解：解：设有设有sn部分机同时使用外线，则有部分机同时使用外线，则有( ,),nsb n p设有设有n条外线。条外线。由推论由推论3.33.3得得np sn (1)(1)nsnpnnppnppnpp .08. 3p)-np(110,np0.05,p200,n 其中其中0.9np sn 由题意有由题意有例例9 9 （续）（续）np sn .90. 0)2

18、8. 1 ( 查表得查表得,28. 13.0810-n 应满足条件应满足条件故故 n条外线条外线。即至少要安装即至少要安装取取即即14,14.94.13 nn10.3.08(1)nnpnnpp (1)(1)nsnpnnppnppnpp 例例10.10. 用正态分布计算二项分布用正态分布计算二项分布 设设sn b(n,p), 则则sn近似近似 n(np, npq)分布分布, , 设设x n(np,npq), 设设a, b为非负整数。由中心极限定理为非负整数。由中心极限定理, , n 较大时较大时()() (*)npp asbp axb但是注意但是注意sn是取整数值的，所以是取整数值的，所以()(11)nnpp asbp asb 上式右端用正态近似和上式右端用正态近似和( (* *) )不同。不同。例例10.(10.(续续) )为此取折衷，令为此取折衷，令()npp asb称为连续性校正。此近似公式应在称为连续性校正。此近似公式应在 n 充分大时使用充分大时使用，实际规则可以用，实际规则可以用 min(np,nq)5。 (0.50.5)p axb0.50.5 = (3.4)bnpanpnpqnpq例例10.(10.(续续)特别地，特别地，()npp sa (0.50.5)p axa 0.50.5 =anpan