机械优化设计多目标问题的最优化方法

1、§6.1弓I言一概念：在机械设计中，某个设计方案的好坏仅涉及一项设 计指标，称它为单目标优化设计问题。对于这种问题， 应用前面介绍的优化设计方法就可以直接解得最优设计 方案。然而，在许多实际问题中，对一个设计方案往往 期望几项设计指标同时达到最优值。这种在优化设计中 同时要求两项或几项设计指标达到最优值的问题统称为 多目标优化设计问题。TXCRn二.多目标问题的数学模型:设 X =xp x2 , .,xnT其中：尸（x）=/（i）（x）J（2）（兀），/了叫阳爲启总:膵鹽翥盘§ & 2 基本概念和定义多目标最优决策.多属性选择决策问题:多目标问题是在无限个方案下按

2、最优规则确定最优方案的，称为多目f2标最优决策；那么还有另一类多目标 问题，即在有限个方案下按照它们的 属性(性能指标)以满意规则选择一个 方案或按某个准则排列出完全的次序， 则这类多目标问题称为多属性选择决 6 4 5 1 3 2策问题。v二.最优解与选好解、劣解与非劣解：对于f! (x), 1最好，其次为3, 2, 4, 5, 6; 对于f2 (x), 2最好，其次为3, 1, 5, 4, 6。综合考虑，1，2, 3为非劣解，4, 5, 6为劣解。§ & 2 基本概念和定义§ & 2 基本概念和定义多目标优化中，Xs*是其中一个解，对于xD ,若下式成立

3、，为x*非劣解。fj(x*) < minfj(x) j = 2,q s.t. gu (x*)< 0u = l,2,，加例：图中的T. P点。多目标优化的K-T非劣解：x* D ,若不存在搜索方向S,1.5能同时满足:6-Vf(x<5|0Vg(x*)75<0-4. Q中巩其並九既一加朝一:一斯一dxxdx2dxxdx2- »/ vgSSrdXnrxn则X为K-T非劣解。例，图中的Q> S点。§ & 2 基本概念和定义: 除去非劣解的其它解，即为劣解。:非劣解中，满足工程实用目的的最好解。:使各个分目标函数同时达到最优值的解。有一个2维（X

4、 e R2）的两个目标函数f（x）和f2（x）求极小如图所示，设计空间内的可行点x c D u R?映射到目标空间内可 得到可行解的解集yeQcz/?协调曲线法： 统一目标函数法：目标规划法、线性加权因子法 功效系数法：另外，还有分层序列法、词典编辑法、边界目标函数法 等 。彳艮明显，在这种情况下，一些目标 函数值比较小的最优解集中在Qi-Q2曲线段上，这些解称它为非劣解 或有效解；而把目标空间可行解集。内的其他解称为劣解，因为它们 的目标函数值都比非劣解要差。三多目标函数问题的优化设计过程：1、先求非劣解；2、从非劣解中选出选好解。常用的求选好解的方法:例：求1维2个目标函数问题的非劣解的解

5、集。数学模型如下: min fx) = x2 - 2x+2,f2(x) = x2 -6x+l0r xeR' s.t D = x0<x<4解：对此问题彳艮容易求出2个目标函数在D域中的各自的最优解x!*= 1, f(xi*)=l和x?*=3, f2(x2*) = 1,如下图(a)所示。显然，此问题不存在共同 的最优解，但可求出它们的非劣解的解集，由图可见，两个目标函数曲 线有一交点x£(x)二f2(x)=2, 2,于是我们发现，在x,* = Q1点左边任选 一点A(O<A<x1*),其两个目标函数值都比0*点的差；同样，在好* = Q? 右边任选一点B(

6、x2*<B<4),其目标函数值也比x?*点的差。然而对于x1*, x?*之间的各点，两个目标函数值之间又无法比较其优劣，且也找不到 它们共同的最优点，因此我们认为在X】*，x?*之间的任一点都可作为非 劣解，而其他的点都是劣解，映射到目标空间yeQcz/?2的非劣解和劣 解的解集如下图(b)所示，即曲线Q1-Q2段是非劣解的解集，其余为劣解 的集合。(a)设计空间(b)目标空间从某种意义上说.非劣解解集(Q-Q?曲线)中的任一点都可以作为多目标问 题的最终解。但通常是根据不同的要亲，从中选出一个满意的解作为最终的 解.称它为选好解。例如，图(b)中取fj(x*)=f2(x*)=2,

7、 x*=2这个非劣解。对于多目标优化模型，若X*是它的一个解，且在可行 解空间内,对一切x,其fj(x*)V£(x),q)恒成立，则称x*为多目标优化问题的绝对最优解。在多目标问题中，是否存在这样的解，使所有的目标函 数值都同时达到最优值，这种情况只有在某些特殊情况下才当加权因子从Otoo时，得到的最优点集合。§6.3 协调曲线法一基本思想：在多目标优化设计中，当各分目标函数 的最优值出现矛盾时，先求出一组非劣解，以其集合得出曲线，再根据恰当的匹配关系得到 意曲线，沿着满意程度的增加的 方向，各分目标值下降，直至获得选好解。 f1(X)=4,f2 (X)=9,当 f2=9时

8、，极小化fi 得D点 当f4时，极小化尸2得£点DE的延长线AB为协调曲线二.协调曲线与满意曲线：协调曲线：双目标函数的协调曲线 min /W = /i (兀)+ (兀)§ 6. 3 协调曲线法多目标函数的协调超曲面:min. f. (x)丿=1,2,，qs.t. gu (x) < 0 u = 1,2<K (x)=/l.M-/l° = Ov = l,2,g 1vh j其中为理想的合理值是的让步。用以上数学模型依次求得各分 目标函数的变化范围。满意曲线：是一个指标，根据 各分目标函数之间互相作出让步后， 得出恰当的匹配关系。选好解：包括X*和1(X02(

9、対)，fq(x*)§6.3 协调曲线法三.协调曲线的做法： 如右图所示，设有两个相互 矛盾的目标函数f(x)和f2(x),并 且由两个不等式的约束杂件构成 一个可行域D。两个分目标的各 自约束最优解是：f(x*i)为T点、， f(x*2)为p邑。若可行域D内任取 一点、R (此点的f1(x)=6,f2(x)=8 ) 当固定£(x)=6时,极小化f/x)得S 点，当固定f2(x)|8时，极小化 fi(x)，得。点。在这种情况下，前者由于目标函数f2(X)不断得到改进，后者由于 目标函数f|(x)得到改进，所以无论是S点还是。点都要比R点优。采用这 种方法，便可以取得一组多目标

10、问题K-T的非劣解。若将这些非劣解画 在两个目标函数值的坐标系内,如上图、则得两个目标函数值的关系 曲线TQS-P。在这条曲线上，。和S点之间任一点，其函数值都要比 点好，因为至少有一个目标函数值得到了改进，所以将TQSP曲线称 为协调曲线。JL+丄§ 6. 3 协调曲线法§ 6. 3 协调曲线法设计要求选好解轴承间隙c- Dx-D0.0482长径比0.25<-<1D0.3油膜厚度h > 0.00127nmmin满足油粘度A > 0.00685-50.006859油膜温升AZ<150?7.5°油流量Q 足够18cm3/sec油压Pf

11、> 9.26MPa功率损失小径向载荷F角速度CD:径向动压轴承的优化设计。_ 1i r1iQI 1L § 6. 3 协调曲线法At (t)0析:设计变量为：L/D> 6 U；分目标函数为：供油量Q.温升At; 约束条件：见前页。:Q - At曲线包括了所有满足K-T条件的非劣解。性能曲线：是At与其它参数之间的关系曲线， 可看出各项指标之间的匹配关系。选好解：从协调曲线和性能曲线中可得出结论:S点为较好方案。§ 6. 3 协调曲线法§ 6. 3 协调曲线法§ 6. 3 协调曲线法§ 6. 3 协调曲线法按协调曲线法进行多目标优化设汁

12、，比较适用于两个目标函数极小 化时出现相互矛盾的情形，因为这时通过画出协调曲线便可以比较透彻 地分析各目标与设计方案的依存关系，从而可以发现设计的改进方向，1:1作出比较满意的设计。对于两个以上分目标函数的问题，虽然仍可以应用，但协调曲线变为多维抽象的协调曲面，这些曲面不可能用图形表示出来，只能给出各目标函数值的变化范围，其值可按如下的数学模型依此求得，即min fj (x)j =s.t.hv(x) = fv(x)-/v° = 0 v =j >guM < 0% = 12剧式中目标函数A，（兀）W = 12M -1）的给定的值。§6.4 统一.基本思想：按事先约定

13、的某种关系，建立一个新的目标函数，将多目标 问题转化为单目标问题求解。按构筑新目标函数的方法不同，有 以下不同方法。二.目标规划法：（理想点法）先给每个分目标函数设定一个理想的最合理值，再设法使各 分目标尽可能达到最合理值。其中，理想最合理值八12,q/店*）为分目标函数的最优值，牡为分目标函数作出的让步。§6.4 绽nP4.（全局雁则法）：豳4理值相対偏塞的平万加叔 、平方曲EE知F（沪郭“ 士各分目的 为加权因孑,0： 二匱 一H。的数量处重疑§ 6. 4 统一标函数法1称为校正权。2、标度因子法:min.F(x)=Wj”jdjy=lj = 1，2,<7s.t.S

14、u (Q V ou 12，加d j > o其中：<=|/y(x)-/；|称为目标函数的离差匕一离差值加权因子，只反映各分目标函数的重要程度，Wj = 1 , 称为本征权。>1宀一标度因子，调整各分目标函数的量级,§ 6. 4 统一JLijdj 表示最终解达到理想解的程度。Hjdj =2皿力(Q 0.75/,标函数法3*偏差法：使各目标函数值偏离所定的目标函数理想值的偏差量最小。imin.s.t. 2+ d )p> 丿=1，2,，qLJTMBMMgw(x)<0U = 12 ，加fjW+d； -d =d； nodj >o其中d；为各目标函数相对方7的上

15、偏差; d为各目标函数相对于/；的下偏差。§ 6. 4 统一三.乘除法：标函数法>1目标函数中有一些属于费用类，即目标函数值越小越好，有一 些属于效果类，即目标函数值越大越好。总目标函数表达式中为了 能统一表达，采用了乘除法.线性加权组合法等方法。o <w <1设q个分目标函数中有s个属于费用类，q - s个属于效果类, 总目标函数表达式如下：min. F（k）=7=5+1线性加权组合法：Smin. F（x）=2>Q3+另 /（劝>1§ 6. 4 统一标函数法五.目标函数的规格化：当各分目标函数值在数量级上有很大差别时，可先做一次规格 化。以三

16、角函数.指数.线性或二次函数等作为转换函数，使目标 函数值规范在0,1之间。例:若能估计出上.下界，aj <(x)</?z§ 6. 4 统一§ 6. 4 统一取规格化函数2兀其中q ,总目标函数：min.尸二£匕力j=i标函数法六.加权因子的选择:1.容限值法：目标函数是平方误差值时使用，可起平衡各目标函数数量级的作用。 估计上.下界：aj < fj (x) < Pjj = l,2,q若不易估计,可令勺=0,令容限值B -a.-14f7 = 7 2 7则加权因子wj = j2>两项加权因子：用于一般情况适用于有导数信息的情况：1其中：

17、鸭丿是本征权，反应分目标函数的重要程度；“2丿是校正权，用于调整分目标函数的数量级，标函数法适用于无导数信息的情况:>1加）F乞/肿）>1丿仏（八）一力（"） 花力（八）一/；. 3）>1例1:有下列两个一维的分目标函数，试用加权因子线性组合法， 求此多目标函数的选好解。分目标函数：/（%）= X，+ 1 tmin./2（a：） = -2x + 3min约束区域： （D - |0 < x < 1x u R、§ 6. 4统一目标函数法 ji >f > x f f " / / J / / Zz-Zzzz zz z,z*/Z,

18、解：min. F（x）二 i/i（x）+vv2/2（x）="（戏 +s.t.x-<00-x<0用误差容限法求：w7.*0时，齐（0）二1, f2（0）= 3 X = 1时，£（1）=2, /2（1）=1 根据 0C7</7（x）<py 為=1, Pl =2； oc2=l,卩2 = 3 £ =卩1 匹二!；纣2 二一=1；即 1 - T72- = J' 222AZ?F（x） = 4 f （x） + f2 （x） = 4（x2 +1）+ （- 2x+3）=4x2 -2x+7 dF = 8x-2令其为零，得x*寸恥*）=挣规*）乜。标函数

19、法§ 6e 4 统一例2：试求min/(x) = lOQr2 +1 OOOmin f2(x) = 2-兀在£> =xl 0 < x < 1 内的选好解。:由于此两个目标函数的量级差别较大，所以需先将其 转换为规一化目标函数，然后再作线性组合求解。由题意 知.在D上两个目标函数的上下界值分别为(Xi = 1000, ?!= 1100,a2=l,卩2=2,采用简单的线性函数转换可得新目标函数分别为f'( X _ /(Q的 _ (100x2+1000)-1000 _2丁 1(兀丿=01內=1100-1000= X由此所建立的统一目标函数为/(兀)=coj

20、x (x) + m2f2 (x)§ 6. 4 统一标函数法若用& -方法确定加权因子®和®的值，则计算如下：先求 牙（兀）在£）内的最优点、，得r； = 0, 于是可巒1=/心：）=0"2严A（） = lo然后，求打（兀）在D内 的最优点，得龙;=1,于是可得f2 = f (X2 ) = h ?22 Q fl (X2 ) = °。可得： 0= c, co2 = ccox+ co2= lo于是解得c =刈=® = 05,代入统一目标函数得：/（X）= 0.5/ +05 （1 - 兀）10.5兀$ 一 0.5% + 0.5。最后可解得/ = 0.5（T） = 1025 于2W） = 1.5。右图中给出了本例的函数关系。一. 基本思想：给每一个分目标函数值一个评价，以功效系数山(0<dj <1) 表示。对于一个设计方案xk , F (xk),有q个分目标函数值fiX)， f2 (xk),fq(xk),对应 q 个功效系数 dp d2,dq o以各功效系数的几何平均值为方案的评价函数d :d = Qd d?dq 当 d T max.时, 求得最理想方案：X* = xk, F(x*)。二.功效系数和功效函数：1.功效系数dj :表示对于分目标函数值打(x)的满意程度。