D13函数的极限04274

1、高等数学mathematic is the queen of science 高等数学mathematic is the queen of science 目录 上页 下页 返回 结束 理学院数学系 郭彦 1 第一章 一、自变量趋于有限值时函数的极限一、自变量趋于有限值时函数的极限第三节, )(xfy 对0)1(xx 0)2(xx0)3(xxx)4(x)5(x)6(自变量变化过程的六种形式:二、自变量趋于无穷大时函数的极限二、自变量趋于无穷大时函数的极限本节内容本节内容 :函数的极限 高等数学mathematic is the queen of science 高等数学mathematic i

2、s the queen of science 目录 上页 下页 返回 结束 理学院数学系 郭彦 2一、自变量趋于有限值时函数的极限一、自变量趋于有限值时函数的极限1. 0 xx 时函数极限的定义时函数极限的定义引例引例. 测量正方形面积.面积为a )边长为(真值:;0 x边长面积2x直接观测值间接观测值任给精度 , 要求 ax2确定直接观测值精度 :0 xx0 xax高等数学mathematic is the queen of science 高等数学mathematic is the queen of science 目录 上页 下页 返回 结束 理学院数学系 郭彦 3定义定义1 .1 .

3、设函数)(xf在点0 x的某去心邻域内有定义 ,0,0当00 xx时, 有 axf)(则称常数 a 为函数)(xf当0 xx 时的极限,axfxx)(lim0或)()(0 xxaxf当即,0,0当),(0 xux时, 有若记作 axf)(axfxx)(lim0极限存在函数局部有界(p36定理2) 这表明: aa几何解释几何解释:oax0 xy)(xfy 高等数学mathematic is the queen of science 高等数学mathematic is the queen of science 目录 上页 下页 返回 结束 理学院数学系 郭彦 4例例1. 1. 证明)(lim0为常

4、数cccxx证证:axf)(cc 0故,0对任意的,0当00 xx时 , 0cc因此ccxx0lim总有高等数学mathematic is the queen of science 高等数学mathematic is the queen of science 目录 上页 下页 返回 结束 理学院数学系 郭彦 5例例2. 2. 证明1)12(lim1xx证证:axf)(1) 12(x12x欲使,0取,2则当10 x时, 必有1) 12()(xaxf因此,)( axf只要,21x1)12(lim1xx高等数学mathematic is the queen of science 高等数学mathem

5、atic is the queen of science 目录 上页 下页 返回 结束 理学院数学系 郭彦 6例例3.3. 证明211lim21xxx证证:axf)(2112xx21 x故,0取,当10 x时, 必有2112xx因此211lim21xxx1 x高等数学mathematic is the queen of science 高等数学mathematic is the queen of science 目录 上页 下页 返回 结束 理学院数学系 郭彦 7例例4.4. 证明: 当00 x证证:axf)(0 xx 001xxx欲使,0且. 0 x而0 x可用0 xx因此,)( axf只要

6、,00 xxx00limxxxx.lim00 xxxx时00 xxxx故取,min00 xx则当00 xx时,00 xxx保证 .必有ox0 xx高等数学mathematic is the queen of science 高等数学mathematic is the queen of science 目录 上页 下页 返回 结束 理学院数学系 郭彦 82. 2. 保号性定理保号性定理定理定理1 . 若,)(lim0axfxx且 a 0 ,),(0时使当xux. 0)(xf)0)(xf证证: 已知,)(lim0axfxx即,0, ),(0 xu当时, 有.)(axfa当 a 0 时, 取正数,a

7、则在对应的邻域上. 0)(xf( 0)(a则存在( a 0 ),(0 xu),(0 xux),(0 xu(p37定理3)0(aa0 x0 xax0 xy)(xfy o高等数学mathematic is the queen of science 高等数学mathematic is the queen of science 目录 上页 下页 返回 结束 理学院数学系 郭彦 9axfa)(:0a:0a若取,2a则在对应的邻域上 若,0)(lim0axfxx则存在使当时, 有.2)(axf推论推论: :23)(2axfa2)(23axfa),(0 xu, ),(0 xu),(0 xux(p37定理3)

8、分析分析:aa0 x0 xax0 xy)(xfy o高等数学mathematic is the queen of science 高等数学mathematic is the queen of science 目录 上页 下页 返回 结束 理学院数学系 郭彦 10定理定理 2 .2 . 若在0 x的某去心邻域内0)(xf)0)(xf, 且 ,)(lim0axfxx则. 0a)0(a证证: 用反证法.则由定理 1,0 x的某去心邻域 , 使在该邻域内,0)(xf与已知所以假设不真, .0a(同样可证0)(xf的情形)思考: 若定理 2 中的条件改为, 0)(xf是否必有?0a不能不能! 0lim2

9、0 xx存在如 假设 a 0 , 条件矛盾,故时,当0)(xf高等数学mathematic is the queen of science 高等数学mathematic is the queen of science 目录 上页 下页 返回 结束 理学院数学系 郭彦 113. 3. 左极限与右极限左极限与右极限左极限 :)(0 xfaxfxx)(lim0,0,0当),(00 xxx时, 有.)( axf右极限 :)(0 xfaxfxx)(lim0,0,0当),(00 xxx时, 有.)( axf定理定理 3 .axfxx)(lim0axfxfxxxx)(lim)(lim00( p39 题*11

10、 )高等数学mathematic is the queen of science 高等数学mathematic is the queen of science 目录 上页 下页 返回 结束 理学院数学系 郭彦 12例例5.5. 给定函数0,10,00, 1)(xxxxxxf讨论 0 x时)(xf的极限是否存在 . 解解: 利用定理 3 .因为)(lim0 xfx) 1(lim0 xx1)(lim0 xfx) 1(lim0 xx1显然, )0()0( ff所以)(lim0 xfx不存在 .xyo11 xy11 xy高等数学mathematic is the queen of science 高等

11、数学mathematic is the queen of science 目录 上页 下页 返回 结束 理学院数学系 郭彦 13xxaaoxy)(xfy a定义定义2 . 设函数xxf当)(大于某一正数时有定义,若,0x,)(,axfxx有时当则称常数时的极限,axfx)(lim)()(xaxf当或几何解释几何解释:axfa)(xxxx或记作直线 y = a 为曲线)(xfy 的水平渐近线 .,0 xxf当)(a 为函数二、自变量趋于无穷大时函数的极限二、自变量趋于无穷大时函数的极限高等数学mathematic is the queen of science 高等数学mathematic is

12、 the queen of science 目录 上页 下页 返回 结束 理学院数学系 郭彦 14例例6.6. 证明. 01limxx证证:01xx1取,1x,时当xx 01x因此01limxx注注:就有故,0欲使,01x只要,1x.10的水平渐近线为xyyoxyxy1高等数学mathematic is the queen of science 高等数学mathematic is the queen of science 目录 上页 下页 返回 结束 理学院数学系 郭彦 15oxyx1x11xxgxxf11)(,1)(直线 y = a 仍是曲线 y = f (x) 的渐近线 .两种特殊情况两种特殊情况 : :axfx)(lim,0,0x当xx 时, 有 axf)(axfx)(lim,0,0x当xx时, 有 axf)(几何意义几何意义 :例如，都有水平渐近线;0yxxxgxf21)(,21)(都有水平渐近线. 1y又如，oxyx21x21高等数学mathematic is the queen of science 高等数学mathematic is the queen of science 目录 上页 下页 返回 结束 理学院数