多元函数微分学的几何应用21658

1、目录 上页 下页 返回 结束 二、空间曲线的切线与法平面二、空间曲线的切线与法平面 第六节一、一元向量值函数及其导数一、一元向量值函数及其导数 三、曲面的切平面与法线三、曲面的切平面与法线 多元函数微分学的几何应用 第九章 目录 上页 下页 返回 结束 一、一、一元向量值函数及其导数一元向量值函数及其导数引例引例: 已知空间曲线 的参数方程:,)()()(ttztytx)(),(),()(),(ttttfzyxr记 的向量方程,),(ttfrmrxzyo 对 上的动点m ,即 是此方程确定映射3r, :f,称此映射为一元向量 ，显然omr r的终点m 的轨迹 , 此轨迹称为向量值函数的终端曲线

2、 .值函数. 要用向量值函数研究曲线的连续性连续性和光滑性光滑性，就需要引进向量值函数的极限、连续和导数的概念.目录 上页 下页 返回 结束 定义定义: 给定数集 d r , 称映射ndfr:为一元向量值函数（简称向量值函数）, 记为dttfr),(定义域自变量因变量向量值函数的极限、连续和导数都与各分量的极限、连续和导数密切相关,进行讨论.则设,),(),(),()(312dttftftftf极限极限：连续连续：导数导数：严格定义见p90)(lim),(lim),(lim()(lim3210000tftftftftttttttt)()(lim00tftftt)(),(),()(321tftf

3、tftfttfttftftt)()(lim)(0000因此下面仅以 n = 3 的情形为代表目录 上页 下页 返回 结束 向量值函数的导数运算法则向量值函数的导数运算法则: (p91)设vu,是可导向量值函数, )(t是可导函数, 则octdd) 1 ()()()2(ddtuctuct)()()()()3(ddtvtutvtut)()()()()()()4(ddtuttuttutt)()()()()()()5(ddtvtutvtutvtut)()()()()()()6(ddtvtutvtutvtutc 是常向量, c 是任一常数,)()()()7(ddtuttut目录 上页 下页 返回 结束

4、向量值函数导数的几何意义向量值函数导数的几何意义:在 r3中, 设dttfr),(的终端曲线为 , 切线的生成点击图中任意点动画开始或暂停mxzyor)(0tf tr)(),(00ttfontfomn)()(00tfttfr)(lim00tftrtt表示终端曲线在t0处的切向量,其指向与t 的增长方向一致.)(0tf , 则0)(0 tf设r目录 上页 下页 返回 结束 向量值函数导数的物理意义向量值函数导数的物理意义:设)(tfr 表示质点沿光滑曲线运动的位置向量, 则有 )()(tftv)(tva)(tf ).(lim,)(sin)(cos)(4tfktjtittft求例例1. 设速度向量

5、：加速度向量：解：解：ktjtittftttt4444lim)sinlim()coslim()(limkji42222)(4f目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 设空间曲线 的向量方程为 求曲线 上对应于解解:20t)62, 34, 1()(22tttttfrr,ttttf)6442()(的点处的单位切向量.r,t故所求单位切向量为)31,32,32()2()2(ff)2, 4, 4()2( f222)2(44)2( f其方向与 t 的增长方向一致另一与 t 的增长方向相反的单位切向量为)31,32,32(= 6目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 一人悬挂在滑翔机上, 受快速上升气流影

6、响作螺求旋式上升, 其位置向量为),sin3,cos3(2tttr (1) 滑翔机在任意时刻 t 的速度向量与加速度向量;(2) 滑翔机在任意时刻 t 的速率;(3) 滑翔机的加速度与速度正交的时刻.解解: (1)2,sin3,cos3(ttva)2,cos3,3sin()(ttttrv222)2()cos3()sin3()()2(ttttr249t0av(3) 由即, 04sincos9cossin9ttttt,0t得即仅在开始时刻滑翔机的加速度与速度正交.目录 上页 下页 返回 结束 二、二、空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面切线的生成点击图中任意点动画开始或暂停过点 m 与切线

7、垂直的平面称为曲线在该点的法平面法平面.置.空间光滑曲线在点 m 处的切线切线为此点处割线的极限位tm目录 上页 下页 返回 结束 设空间曲线的方程设空间曲线的方程)1()()()( tztytx ozyx(1)式中的三个函数均可导式中的三个函数均可导.m.),(0000tttzzyyxxm 对应于对应于;),(0000ttzyxm 对应于对应于设设m 目录 上页 下页 返回 结束 考察割线趋近于极限位置考察割线趋近于极限位置切线的过程切线的过程zzzyyyxxx 000t t t 上式分母同除以上式分母同除以, t ozyxmm 割线割线 的方程为的方程为mm ,000zzzyyyxxx 0

8、00000(,),(,)m xyzm xx yy zz 目录 上页 下页 返回 结束 ,0,时时即即当当 tmm曲线在曲线在m处的切线方程处的切线方程.)()()(000000tzztyytxx 切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量. )(),(),(000tttt 法平面：过法平面：过m点且与切线垂直的平面点且与切线垂直的平面.0)()()(000000 zztyytxxt t t t ,000zzzyyyxxx 目录 上页 下页 返回 结束 例例1 1 求曲线求曲线: tuuduex0cos，tysin2 tcos ,tez31 在在0 t处的切线和

9、法平面方程处的切线和法平面方程.解解当当0 t时，时，, 2, 1, 0 zyx,costext ,sincos2tty ,33tez , 1)0( x, 2)0( y, 3)0( z切线方程切线方程,322110 zyx法平面方程法平面方程, 0)2(3)1(2 zyx. 0832 zyx即即目录 上页 下页 返回 结束 1.空间曲线方程为空间曲线方程为,)()( xzxy ,),(000处处在在zyxm,)()(100000 xzzxyyxx . 0)()()(00000 zzxyyxxx 法平面方程为法平面方程为切线方程为切线方程为特殊地：特殊地：目录 上页 下页 返回 结束 2.空间曲

10、线方程为空间曲线方程为,0),(0),( zyxgzyxf曲线：,0),(0),( zyxgzyxf隐函数( ),( )yy xzz xx为参数切向量：1,dy dztdx dx,tdx dy dzxzxzyzyzffggdyffdxgg yxyxyzyzffggdzffdxgg ,yzxyzxyzxyzxfffffftdx dy dzgggggg目录 上页 下页 返回 结束 切线方程为切线方程为000,yzzxxyyzzxxyxxyyzzffffffgggggg法平面方程为法平面方程为000()()()0.yzxyzxyzxyzxffffffxxyyzzgggggg,yzxyzxyzxyzx

11、fffffftdx dy dzgggggg目录 上页 下页 返回 结束 例例 2 2 求曲线求曲线6222 zyx，0 zyx在在点点)1, 2, 1( 处的切线及法平面方程处的切线及法平面方程.解解 1 1 直直接接利利用用公公式式;解解 2 2 将所给方程的两边对将所给方程的两边对x求导并移项，得求导并移项，得 1dxdzdxdyxdxdzzdxdyy,zyxzdxdy ,zyyxdxdz 目录 上页 下页 返回 结束 由由此此得得切切向向量量,1, 0, 1 t所求切线方程为所求切线方程为,110211 zyx法平面方程为法平面方程为, 0)1()2(0)1( zyx0 zx, 0)1,

12、2, 1( dxdy, 1)1,2, 1( dxdz例例 2 2 求曲线求曲线6222 zyx，0 zyx在在点点)1, 2, 1( 处的切线及法平面方程处的切线及法平面方程.目录 上页 下页 返回 结束 设曲面方程为设曲面方程为0),( zyxf000 ( ),( ),( ),tx ty tz t曲线在曲线在m处的切向量处的切向量在曲面上任取一条通在曲面上任取一条通过点过点m的曲线的曲线( ):( ),( )xx tyy tzz t二、曲面的切平面与法线ntm ( ), ( ), ( )0f x ty tz t并并且且目录 上页 下页 返回 结束 ( ), ( ), ( )0f x ty t

13、z t对 t 求导 ( )( )( )0 xyzfx tfy tfz t在 t0 处 0000(,)tm xyz000()( )()( )()( )0 xyzf mx tf my tf mz t目录 上页 下页 返回 结束 000(),(),(), ( ),( ), ( )0 xyzf mf mf mx ty tz t000 ( ),( ),( )tx ty tz t是曲线 在点m 处的切向量(),(),()xyznf mf mf m与曲面上任意一条经过点m的曲线在m处的切线垂直。在 t0 处 0000(,)tm xyz000( ) ( )( )( )( ) ( ) 0 xyzf m x tf

14、 m y tf m z t目录 上页 下页 返回 结束 这些与n垂直的切线构成曲面 在点m处的切平面。切平面目录 上页 下页 返回 结束 切平面方程为切平面方程为0)(,()(,()(,(000000000000 zzzyxfyyzyxfxxzyxfzyx目录 上页 下页 返回 结束 法线方程为法线方程为),(),(),(000000000000zyxfzzzyxfyyzyxfxxzyx ),(),(),(000000000zyxfzyxfzyxfnzyx 曲面在曲面在m处的法向量即处的法向量即垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量.目录 上页 下页

15、返回 结束 切平面的法向量：切平面的法向量：000(),(),()xyznf mf mf m切平面方程：切平面方程：000000()()()()()()0 xyzf mxxf myyf mzz法线方程：法线方程：000000()()()xyzxxyyzzf mf mf m0000m (,)xyz其中：目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 求球面14222zyx在点(1 , 2 , 3) 处的切平面及法线方程. 解解: 令14),(222zyxzyxf所以球面在点 (1 , 2 , 3) 处有:切平面方程切平面方程 ) 1(2x01432zyx即法线方程法线方程3

16、21zyx)2(4y0)3(6z123法向量)2,2,2(zyxn )6,4,2()3, 2, 1(n即321zyx(可见法线经过原点，即球心)目录 上页 下页 返回 结束 特殊地：空间曲面方程形为特殊地：空间曲面方程形为),(yxfz 曲面在曲面在m处的切平面方程为处的切平面方程为0000000(,)()(,)()( 1)()0,xyfxyxxfxyyyzz 曲面在曲面在m处的法线方程为处的法线方程为.1),(),(0000000 zzyxfyyyxfxxyx,),(),(zyxfzyxf 令令,1xxyyzfffff ,xyznf f f0000(,),(,), 1xyfxyfxy目录 上

17、页 下页 返回 结束 解解, 1),(22 yxyxf)4, 1 ,2()4, 1 ,2(1,2,2 yxn,1, 2, 4 切平面方程为切平面方程为, 0)4()1(2)2(4 zyx, 0624 zyx法线方程为法线方程为.142142 zyx目录 上页 下页 返回 结束 解解设设 为曲面上的切点为曲面上的切点,),(000zyx切平面方程为切平面方程为0)(6)(4)(2000000 zzzyyyxxx依题意，切平面方程平行于已知平面，得依题意，切平面方程平行于已知平面，得,664412000zyx .2000zyx 目录 上页 下页 返回 结束 因为因为 是曲面上的切点，是曲面上的切点

18、，),(000zyx, 10 x所求切点为所求切点为满足方程满足方程),2 , 2 , 1(),2, 2, 1( 0)2(12)2(8)1(2 zyx2164 zyx0)2(12)2(8)1(2 zyx2164 zyx切平面方程切平面方程(1)：切平面方程切平面方程(2)：.2000zyx 目录 上页 下页 返回 结束 例例6. 确定正数 使曲面zyx222zyx在点),(000zyxm解解: 二曲面在 m 点的法向量分别为二曲面在点 m 相切, 故000000000zyxyzxxzy0 x202020zyx又点 m 在球面上,32202020azyx故于是有000zyx2a相切.333a与球

19、面, ),(0000001yxzxzyn ),(0002zyxn 21/nn, 因此有20y20z2目录 上页 下页 返回 结束 ,1cos22yxxfff ,1cos22yxyfff .11cos22yxff ),(00yxffxx ),(00yxffyy 其中其中目录 上页 下页 返回 结束 1. 空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面 切线方程 000zzyyxx法平面方程)(00 xxt1) 参数式情况.)()()(:tztytx空间光滑曲线切向量内容小结内容小结)(0t)(0t)(0t)( )(00yyt0)(00zzt)(, )(, )(000tttt目录 上页 下页 返回

20、结束 切线方程法平面方程mmmyxgfzzxzgfyyzygfxx),(),(),(),(),(),(000空间光滑曲线0),(0),(:zyxgzyxfmzygf),(),(切向量2) 一般式情况.,),(),(mzygf,),(),(mxzgfmyxgf),(),()(0 xx mxzgf),(),()(0yy myxgf),(),(0)(0 zzt目录 上页 下页 返回 结束 空间光滑曲面0),(:zyxf曲面 在点法线方程法线方程),(0000zyxfxxx),(0000zyxfyyy),(0000zyxfzzz)( ),()( ),(00000000yyzyxfxxzyxfyx1) 隐式情况 .的法向量法向量),(000zyxm0)(,(0000zzzyxfz切平面方程切平面方程2. 曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线),(, ),(, ),(000000000zyxfzyxfzyxfnzyx目录 上页 下页 返回 结束 空间光滑曲面),(:yxfz )( ),()( ),(0000000yyyxfxxyxfzzyx切平面方程切平面方程法线方程法线方程1),(),(0000000zzyxfyyyxfxxyx,1cos,1cos2