二重积分概念

1、第九章一元函数积分学一元函数积分学多元函数积分学多元函数积分学重积分重积分曲线积分曲线积分曲面积分曲面积分重 积 分 三、二重积分的性质三、二重积分的性质 第一节一、引例一、引例 二、二重积分的定义二、二重积分的定义二重积分的概念与性质 第九章 柱体体积柱体体积= =底面积底面积 高高特点：平顶特点：平顶. .柱体体积柱体体积= =？特点：曲顶特点：曲顶. .),(yxfz d曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积一、问题的提出一、问题的提出曲顶柱体曲顶柱体:0),( yxfz底：底： xoyxoy 面上的闭区域面上的闭区域 d d顶顶: 连续曲面连续曲面侧面：侧面：以以 d 的边界为准线的边界为准线

2、, 母线平行母线平行 于于 z 轴的柱面轴的柱面d),(yxfz 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用 “ “分割、取近似、求和、取极限分割、取近似、求和、取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用 “ “分割、取近似、求和、取极限分割、取近似、求和、取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用 “ “分割、取近似、求和、取极限分割、取近似、求和、取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用 “ “分割、取近似、求和、取极限分割、取近似、求和、取极限”

3、的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用 “ “分割、取近似、求和、取极限分割、取近似、求和、取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用 “ “分割、取近似、求和、取极限分割、取近似、求和、取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用 “ “分割、取近似、求和、取极限分割、取近似、求和、取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示步骤如下：步骤如下：用若干个小用若干个小平平顶顶柱体体积之柱体体积之和近似和近似曲顶曲顶柱柱体的体积，体的体积，xzyod),(

4、yxfz i),(ii先分割曲顶柱体的底，先分割曲顶柱体的底，1)“分割分割”用用任意任意曲线网分曲线网分d为为 n 个区域个区域12,n以它们为底把曲顶柱体分为以它们为底把曲顶柱体分为 n 个个2)“取近似取近似”(,)(1,2, )kkkkvfkn在每个在每个k (,),kk则则中中任取任取一点一点小曲顶柱体小曲顶柱体3)“3)“求和求和”1nkkvv 1(,)nkkkkf 4)“4)“取极限取极限”令令 1max()kk n 01lim(,)nkkkkvf 1 212()maxkkp pp ,p的直径的直径定义定义k 2. 平面薄片的质量平面薄片的质量 , 0),( yx 有一个平面薄片

5、有一个平面薄片, 在在 xoy 平面上占有区域平面上占有区域 d ,计算该薄片的质量计算该薄片的质量 m .设设d 的面积为的面积为 ,则则 m其面密其面密度为度为若若),(yx 非常数非常数 ,仍可用仍可用“分割分割, 取近似取近似,求和求和, 取极限取极限” dyx常数）常数）若若(),( yx解决解决.1)“分割分割”用用任意任意曲线网分曲线网分d 为为 n 个小区域个小区域,21n 相应把薄片也分为小区域相应把薄片也分为小区域 .2)“取近似取近似”中中任取任取一点一点k 在每个在每个),(kk ),2,1(),(nkmkkkk 则第则第 k 小块的质量小块的质量3)“求和求和” nk

6、kmm1 nkkkk1),( 4)“取极限取极限” )(max1knk 令令 nkkkkm10),(lim k),(kk yx两个问题的两个问题的共性共性：(1) 解决问题的步骤相同解决问题的步骤相同(2) 所求量的结构式相同所求量的结构式相同“分割分割, 取近似取近似, 求和求和,取极限取极限” nkkkkfv10),(lim nkkkkm10),(lim 曲顶柱体体积曲顶柱体体积: 平面薄片的质量平面薄片的质量: 二、二重积分的概念二、二重积分的概念 ddyxf ),(iiniif ),(lim10 即即对二重积分定义的说明：对二重积分定义的说明：特别：特别：在直角坐标系下用平行于坐标轴在

7、直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域的直线网来划分区域d d， dddxdyyxfdyxf),(),(dxdyd 故二重积分可写为故二重积分可写为xyo则面积元素为则面积元素为引例引例1中曲顶柱体体积中曲顶柱体体积:引例引例2中平面薄板的质量中平面薄板的质量: dyxfv d),( dyxyxfdd),( dyxm d),( dyxyxdd),( 三、二重积分的性质三、二重积分的性质 dyxgyxf d),(),(. 2 21d),(d),(d),(. 3dddyxfyxfyxf ),(2121无公共内点无公共内点ddddd dyxfk d),(. 1( k 为常数为常数) dyxfk

8、 d),( ddyxgyxf d),(d),(二重积分的几何意义二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值特别特别, 由于由于),(),(),(yxfyxfyxf dyxf d),( dyx d),(则则5. 若在若在d上上),(yxf, ),(yx dyxf d),( dyxf d),(,1),(. 4 yxfd上上若在若在 dd dd1 为为d 的面积的面积, 则则 7.(二重积分的中值定理二重积分的中值定理) ),(),(fdyxfd ),(

9、yxf设函数设函数在闭区域在闭区域d上上,),(d 为为d 的面积的面积 , 则至少存在一点则至少存在一点使使连续连续,6. 设设),(min),(maxyxfmyxfmdd d 的面积为的面积为 , myxfmd d),(则有则有例例1. 比较下列积分的大小比较下列积分的大小: d)(,d)(32 ddyxyx其中其中2)1()2( :22 yxd解解: 积分域积分域 d 的边界为圆周的边界为圆周2)1()2(22 yxy2xo1d32)()(yxyx 它与它与 x 轴交于点轴交于点 (1,0) ,.1相切相切与直线与直线 yx, 1 yx从而从而 d)(d)(32 ddyxyx的上方的上方

10、, 故在故在 d 上上 而域而域 d 位位于直线于直线1 yx31y2xo1d, 1)(0222 yxyx, 0)ln(22 yx解解1111d dxyo例例 2 2 判断判断 122)ln(yxrdxdyyx的符号的符号. 例例3. 估计下列积分之值估计下列积分之值10:coscos100ddi22 yxdyxyxd解解: d 的面积为的面积为200)210(2 10101010dxyo由于由于积分性质积分性质5100200i102200 即即: : 1.96 i 2 yx22coscos100110011021xyo d1 1、 设函数设函数),(yxfd 位于位于 x 轴上方的部分为轴上

11、方的部分为d1 , 1d在在 d 上上 d),( dyxf d),(21 dyxf在闭区域上连续在闭区域上连续, 域域d 关于关于x 轴对称轴对称,),(),()1(yxfyxf 则则四、利用对称性简化二重积分的计算四、利用对称性简化二重积分的计算),(),()2(yxfyxf 0d),( dyxf则则2 2、 设函数设函数),(yxfd 位于位于 y 轴右方的部分为轴右方的部分为d2 , 在在 d 上上 d),( dyxf d),(22 dyxf在闭区域上连续在闭区域上连续, 域域d 关于关于y 轴对称轴对称,),(),() 1 (yxfyxf则则),(),() 2(yxfyxf 0d),(

12、 dyxf则则d2d3 3、 设函数设函数),(yxf),(),() 1 (yxfyxf在在 d 上上 d),( dyxf d),(23 dyxf在闭区域上连续在闭区域上连续, 域域d 关于关于原点原点 对称对称,则则),(),() 2(yxfyxf 0d),( dyxf则则d3d dyxxyxyyxd ),( ,),(3或或在第一象限部分在第一象限部分, 则有则有1:,221 yxdd 为为圆圆域域如如 dyxyxdd)(22 1dd)(422dyxyx dyxyxdd)(0 二重积分的定义二重积分的定义二重积分的性质二重积分的性质二重积分的几何意义二重积分的几何意义（曲顶柱体的体积）（曲顶柱体的体积）（和式的极限）（和式的极限）五、小结五、小结练练 习习 题题 1),(ddyxf 2),(ddyxf 0),( yxf 1),(ddyxf 2),(ddyxf ),(yxfd21ddd 3 3、若、若在有界闭区域在有界闭区域上可积上可积, ,且且, ,当当0),( yxf时时, ,则则_ 当当时时, ,则则_ . .;被积函数被积函数相同相同, 且且非负非负, ,dd1122yxyxiyx yxyxiyxdd12 yxyxidd11113 解解: 321,iii由