山东省各市2021届高三数学(理)下学期模拟考试题分类解析--导数、微积分

1、山东省各市2021届高三数学理下学期模拟考试题分类解析导数、微积分1、2021德州二模如图，在边长为 n的正方形内的正弦曲线 y sinx与x轴围成的区域记为M 图中阴影局部，随机往正方形内投一个点P,那么点P落在区域M内的概率是B.22D.42答案：BTT解析：区域M的面积为：Smsinxdx = cosxb = 2,2而正方形的面积为 S=，所以,所求概率为P=刍，选B。2、 2021济南三模函数2f (x) 3x 2x 1，假设11 f (x)dx 2 f (a) (a 0)成立，答案：1解析：因为1 f(x) dx=-11 (3x-12+ 2x + 1)dx= (x 3+ x2+ x)

2、| 1 = 4，所以 2(3a2 + 2a + 1) = 4? a = 1 或1a= 3.3、2021莱芜3月模拟函数f(x)x21的图像与x轴所围成的封闭图形的2面积为.【答案】562 1【解析】o fxdx 0dx21(2x)dx4、 2021济南三模是三次函数f(x)值点，且(0,1),(1,2)，那么a八2A ,匚5答案：B2(5,1)解析：因为函数有两个极值,那么 f'(x)f'(x) x21 2 -x2312ax2(2xb 3的取值范围是2C. (1,)ax 2b2bx(a, b R)的两个极2,)(1,5*43jrJ'11甘*a11 1-4-3亡/ */人

3、-】IJ3Z0有两个不同的又f'(0)(0,1),(1,2)，所以有f'(1)f'(2)00，即02ba 2b 02a 2b 0乞卫的几何意义是指动a 2点P(a,b)到定点A(2,3)两点斜率的取值范围，做出可行域如图,，由图象可知当直线经过AB时，斜率最小,此时斜率为k匸2 2，直线经过 AD时，斜率最大，此时斜率为3 25所以-35 a，选B.5、( 2021临沂3月模拟)函数f(x)2x 1在点(1,2)处的切线与函数 g(x) x围成的图形的面积等于 4 zxxk 3【答案】【解析】数 g(x)函数的导数为f' (x) 3x22(x1)，整理得y 2x

4、x2围成的图形的面积为6、( 2021临沂二模)。由-2x20(2x(x,所以f'(1)3-2 12，即切线方程为解得交点坐标为(0,0), (2,2)，所以切线与函2xx2)dx (x213、3x)x a(0 a 1)和曲线yy)0 x 1,0x3围成的曲边三角形区域，假设向区域上随机投一点，点落在1区域A内的概率为 丄，那么a的值是641(A)丄64【答案】D(B)(C)(D)【解析】区边三角形的面积为3dx0上随机投一点，点落在区域1A内的概率一 a414a ,41，所以64区域a47、(2021青岛二模)设 a20(13x2)dx 4 ,那么二项式(x2和是A.160 B 16

5、0 161【答案】C的面积为1，假设向区域11，所以a ，选D.162a 63)展开式中不含x项的系数X16122【解析】(1 3x2)dx (xx3)26，所以 a 6 42，二项式为(x2)6 ,0x展开式的通项为 Tk , C：(x2)6k( -)kC：x123k(2)k，令 12 3k 3，即 k 3，所x以T4 C3x3( 2)3，所以x3的系数为 23c；160，令x 1，得所有项的系数和为1 ,3所以不含x项的系数和为1( 160)161，选C.& ( 2021青岛二模)函数 f x的定义域为1,5，局部对应值如下表，f x的导函数y f x的图象如下图.以下关于f x的

6、命题:函数f x在0,2上是减函数; 如果当x 1,t时，f x的最大值是2,那么t的最大值为4； 当1 a 2时，函数y f x a有4个零点； 函数y f x a的零点个数可能为 0、1、2、3、4个.其中正确命题的序号是 .【答案】【解析】由导数图象可知，当1 x 0或2 x 4时，f'(x) 0,函数单调递增，当0 x 2或4 x 5, f'(x) 0,函数单调递减，当x 0和x 4，函数取得极大值 f(0) 2 , f (4) 2，当x 2时，函数取得极小值f(2),所以正确；正确；因为在当x 0和x 4，函数取得极大值 f (0) 2 , f(4) 2，要使当x 1

7、,t函数f (x)的 最大值是4,当2 t 5，所以t的最大值为5，所以不正确；由f(x) a知，因为极小 值f (2)未知，所以无法判断函数 y f(x) a有几个零点，所以不正确，根据函数的单调性和极值,线段只代表单调性，根据题意函数的极小值不确定，分f 21或1f22两种情况，由图象知，函数y f x和y a的交点个数有0,1,2 , 3,4等不同情形，所以正确，综上正确的命题序号为。9、 2021青岛3月模拟直线y2x 4与抛物线y x2 1所围成封闭图形的面积是1633235D. zxxk 3答案：C【解析】联立方程求得交点分别为1,2 ,3,10 .1所以阴影局部的面积为 S 1

8、42101 dx24403210、2021日照5月模拟如图，由曲线sin x，直线X与X轴围成的阴影局部的面积是AB(C)D答案：D【解析0 sin xdx】由定积32 sin xdx分的几义，阴影11、 2021 泰安- 一模泰安cosx|0 cosx |23.(或3 02 sin局部的面积选D2 x与y一 -3cosx0*JC假设向区域1A.-3【答案】【解析上随机投一点1C-8P,1,|y那么点p落入区域1D.12x, y x1，a是曲线y3- x2围成的区域A的概率为11(x20'选D.1B.-4D】此题为几何概率.区域的面积为2 2x2)dx (2x231 33x)A的面1A

9、的概率为P -4112，1 212、(2021 滨州二模)函数 f (x)= x , g (x)= elnx。2(I) 设函数F (x)= f (x) g (x),求F (x)的单调区间；(II) 假设存在常数 k, m，使得f (x)> kx+ m，对x R恒成立，且g (x)< kx+ m, 对x( 0,+s)恒成立，那么称直线y = kx + m为函数f (x)与g (x)的“分界线，试问：f (X)与g (x)是否存在“分界线？假设存在，求出“分界线的方程，假设不存在，请说明理由。1 2解析：(I)由于函数 f (x)=g x , g (x)= elnx,1 2因此，F (

10、x)= f (x) g (x)= x elnx,2(x . e)(x . e),xx(0,2e x e那么 F (x) x =x x当 0v xv 品时，F'(x)v 0,所以F(幻在(0,虫)上是减函数;当x>、e时，F '(x) >0,所以F (乂)在(,e , +)上是增函数;因此，函数F (x)的单调减区间是(0, e),单调增区间是( e,+)。(II)由(I)可知，当 x= & 时，F (x)取得最小值 F ()= 0,那么f (x)与g (x)的图象在x= e处有公共点(假设f (x)与g(x)存在“分界线，那么其必过点故设其方程为:由 f (

11、x )> kxI k(x 、e)，即 y kxk、e对x r恒成立,二,e )。2:.e ,-)。2k e,那么 x2 2kx e2k e 0对x R恒成立,所以,4k24(2 k ： e e) 4k2 8k、e4ee(k 、.e)2 w 0 成立,因此k=e , “分界线“的方程为： y 、exF面证明g (x)w . ex e对 x( 0,+s)恒成立, e(e x)2=eln x x、e -，那么 G '(x)、e2 x当x= . e时，G (x)取得最大值0，那么g (x)w . ex e对x( 0,+)恒成立,2故所求“分界线“的方程为：y 、ex £213、

12、( 2021 德州二模)设函数 f(x) xl nx(x 0), g(x) x 2.(I)求函数f(x)在点M (e, f (e)处的切线方程；2(II) 设 F(x) ax(a 2)x f (x)(a0),讨论函数 F(x)的单调性；(III) 设函数H (x)f (x) g(x)，是否同时存在实数 m和M (m M )，使得对每一1个t m, M ，直线y t与曲线y H (x)(x-, c)都有公共点？假设存在，求出最e小的实数m和最大的实数 M ;假设不存在，说明理由。解析：(I)解：f '(x) = lnx + 1 (x>0)，那么函数 f '(x)在点 M (

13、e, f (e)处的斜率为 f '(e)=2，f ( e)= e，所以，所求切线方程为y e= 2 (x- e)，即卩y = 2x- e(II) F(x)2ax (a 2)x In x 1(x0),F '(x)2ax2/12 ax (a 2)x 1(2x 1)(ax 1)z n(a 2)=(x 0,a0)，x1 1贝y x= 或一，2 a1 1 当0v a v 2，即时，令a 21 1令F'(x) v 0，解得丄v xv 121所以，F( 乂)在(0，21 1 当a = 2，即卩时，a 2所以，F (乂)在(0，+1 1 当a > 2，即时，a 21所以，F( 乂

14、)在(0，a令 F'(x) = 0，1 、 1F '(x) > 0，解得 0v xv或 x>2 a+)上单调递增，在F '(x) > 0恒成立,)上单调递增。)上单调递增，在，-)单调递减。 a1 、，)单调递减2(III) H(x) x 2 xln x, H '(x)In x.，令 H '(x) = 0，那么 x= 1,当x在区间(1,e)内变化时，H'(x), H(x)的变化情况如下表:ex1 e(1)e1(1,e)eH'(x)0+H(x)2 2e单调递减极小值1单调递增22又2 22,所以函数H'(x) (

15、xe1,e)的值域为1, 2。 e据经可得，假设mM1'，那么对每一个21t m, M ，直线 y=t 与曲线 y H(x)(x - , e) e都有公共点。并且对每一个t (,m)U(M ,1)，直线y t与曲线y H(x)(x 丄,e)都没有公共点。综上，存在实数m=1和M = 2 ,使得对每一个t m,M ,直线y=t与曲线1y H (x)(x一,e)都有公共点。e14、( 2021 德州一模)函数f(x) ax In x(a R).(I) 求f(x)的单调区间;)，总存在 X20 , 1,(n )设 g( x) x2 2x 1，假设对任意 (0,使得f ( x ) g( x2)

16、，求实数a的取值范围.解析:(I) f '(x) a 1a(x 0)。x x 当a 0时，由于X> 0，故ax + 1> 0, f '(x) > 0,所以f (x)的单调递增区间为(0, + )。11 当 a 0时，由 f '(x) = 0,得 x ,在区间(0，)上，f '(x) >0,aa1在区间(一一，+) 上, f '(x) v0,a所以，当a 0时，所以f (x)的单调递增区间为(0,+)。11当a 0时，f (x)的单调递增区间为(0， 1), f (x)的单调递减区间为(一-,+)aa由(I )知，当a 0时，f (

17、x)在(o,+ )递增，值域为 R,故不符合题意。11)递减，1 ln( a),当a 0时，f(幻在(0,)递增，在(一 ，+aa11故f (x)的极大值即为最大值，f( _)1 ln(-)aa1所以 1> 1 ln ( a),解得：a<- 2e15、(2021济南3月模拟)函数f (x) =ax+Inx,其中a为常数，设e为自然对数的底数(1) 当a=-1时，求f (x)的最大值；(2) 假设f (x)在区间(0, e上的最大值为-3，求a的值；In x 1(3) 当a=-1时，试推断方程11 x【答案】 解：(1)当 a=-1 时，f(x) =-x+ Inx, f' (

18、x)= 1 + 1x x分当 0<x<1 时，f' (x)>0; 当 x>1 时，f' (x)<0. f (乂)在(0, 1)上是增函数，在(1, +s)上是减函数 3分f(x)max=f ( 1 ) =-1 4分(2) f' (x)=a+1 , x (0,e, 1 1,xx e 1假设a> ，那么f' (x)>0,从而f(x)在(0,e上增函数e f (x)max=f ( e) =ae+1?0.不合题意111假设 a< 一，那么由 f' (x)>0 a >0,即 0<x<-exa1

19、1由 f(x)<0 a _ <0,即卩一<xw e.xa11从而f(x)在0,丄上增函数，在1(为减函数'aa'f (x) max =f1=-1+l naa11令-1+ln=-3，贝U ln - =-2aa = e 2，即 a=1 , a= e2为所求e 由(I)知当 a=-1 时 f(X)max =f (1 ) =-1 , |f ( x) | > 1 10分ln x 1,1 ln x 人，e又令 g (x) = -,g ( x) =2，令 g (x)=0，得 x=e,x 2x当 0<x<e 时，g ' (x)>0,g(x)在(

20、0,e)单调递增;当 x>e 时,g' (x)<0, g(x)在(e,+s )单调递减11分1二 g (x)max =g (e)=1<1,二 g(x)<112分e2-|f (x) |>g(x)，即|f(x)|>ln x 113分x 2方程|f (x) |= lnx 1没有实数解. 14分x 2216、(2021莱芜3月模拟)函数 f(x) x ax In x, a R.(I)假设函数f (x)在1 , 2上是减函数，求实数 a的取值范围；(n)令g(x) f (x) x2,是否存在实数a，当x 0,e( e是自然常数)时，函数g(x)的最小值是3，假

21、设存在，求出a的值；假设不存在，说明理由;(川)当x0,e 时,证明：2 e25xx2(x1)ln x.(22).解：解：(I)1 2x2ax1 亠2上恒成立，f (x)2xa0 在1,xx令 h(x)21, 有h(1)0,a1, 3分2x ax得7h(2)0,aJ2所以a74分2(n)假设存在实数a,使g(x)axln x(x(0, e)有最小值3,/、1ax 1八g (x) a. 5 分x x 当a 0时，g(x)在0, e上单调递减，4gmin(x)g(e) ae 1 3,a -(舍去).e111 当0 e时，g(x)在(0,)上单调递减，在(一，e)上单调递增，aaa'1 2所

22、以 gmin(x)g() 1 ln a 3,a e ,满足条件.a14 当一 e时，g(x)在0, e上单调递减，g min (x) g(e) ae 1 3,a -(舍去)ae综上，存在实数e2，使得当x(0, e时，g(x)有最小值3.10分(川)令F(x)lnx，由Fmin (x)3，令(x)ln x(x)1 ln x2 ，x当Ox e时,(x)(x)在(0, e上单调递增,所以max (x)(e)15153 .e222所以e2xIn xIn x5,即2 2 e x5x (x 1)ln xx22函数fIn217、2021 青岛二模x14分I求函数y的极大值;(n)令 g x川假设对任意，不

23、等式解: (I) Q fIn3x由于f3x，由f时,上为增函数；在从而f极大In 3当mIn3x2 3x0,即3x 3x2.2m为实常数，试判断函数g x的单调性;In xInx 3x0均成立，求实数a的取的定义域为时,0.m 1 x 2m3x上为减函数,1时，g上为增函数;当m 10,即m 1时，g x3 m 1 x 2m 12 3xx3 m 12 3x2m 13 m 1(i)假设m 1，那么2m 13 m 1x -时，g x 0,32g x在 一， 上为增函数； 7分3(ii )假设 m1，那么2m 1233 m 122m12m 1x,时，gx 0 ； x时，g x 0,33 m13 m

24、12 2m 12m 1g x 在 一，上为增函数，在 ,上为减函数“一 与 a2 3x3' 3 m 13 m 1 '当m1 时，g x在2 2m3 ' 3 m1上为增函数，在12m11 ,上为减函数13 m 9分(出)由 a In xInf x 3x0 a In x In30,23x1 136 , _Q x-,-,0InIn-,而 a Inx 0 ,6 32 3x5要对任意x 1-J，不等式aIn x In f x 3x0均成立，必须：2综上可知：当m 1时，g x在一，上为增函数；36 '3In x不同时为0.11分13因当且仅当x 时，In=0，所以为满足题

25、意必有3 2 3x1即 a In-. 12分318、(2021青岛3月模拟)函数f(x) X3.(I)记(x) f(x) 3 f (x),(t R)，求(X)的极小值；(n)假设函数h(x)f (x)xsi nx的图象上存在互相垂直的两条切线，求实数的值及相应的切点坐标.解:(i)由：3f x x ,3x x2 2tx ,x 3x 2tx 3x( x1)由x 0 x0，或x2t当t0时，x3x20,3x在,为增函数，此时不存在极值；当t0时，x变化时，x ,x变化如下：x(弓2t3(务0)0(0,)x+0-0+x极大极小由上表可知：x极小 00.当t 0时，x变化时，x , x变化如下:x(,

26、0)0(0'却2t3(寻)x+0-0+x极大极小2t 4 3由上表可知：(x)极小() t .(n) h x 3 x sin xh x 3 cosx设两切点分别为t1,h t1,t2, h t2 ，那么 h t1 h t21327即 3cost1 3cost2193 cost1cost2cost1 cost2 1方程的判别式cost1cost236cost cost2 10,即 COSE2cost24,又1cost11, 1cost22cost1 cost2从而可得:COSt12cost2上式要成立当且仅当cost1cost21，或1cost1cost2此时方程的解为x sin x 的

27、x图象在点2k ,0处的切线和在点2m,0Z处的切线互相垂直.19、( 2021日照5月模拟)二次函数r(x)axb(a,b为常数，a R, b R)的一个零点是a，函数g(x) Inx ,e是自然对数的底数.设函数f (x) r(x) g (x).解：(I)f (x) x过坐标原点 0作曲线y令F(x)理e-a是二次函数ax In x,f '(x) 2xa (x0).x，假设函数r(x) x2设切点为P(X0,y。),那么切线的斜率k整理得x。2 lnx。10 .显然，X。又因为yx2 ln x 1 在(0,)所以方程f (x)的切线，证明切点的横坐标为1；F(x)在区间(0, 1上

28、是单调函数，求 a的取值范围。ax b的一个零点， b=0.21 x0 ax0 ln x02x0 aX。X。1是这个方程的解.上是增函数,x2 lnx 1 0有唯一实数解。故x° 1 .1 12x -2 a .x xh'(1) 2 a.(1 )当 2-a0，即 a 2 时，h'(x)0 , h(x)在间(0,1)上是增函数。h(1) 0, h(x)0在0,1上恒成立，即F'(x)0在0,1上恒成立。f (x)x2axIn xF(x)xx，ee21x (2 a)x a Inx F'(x)xxe、r21设 h(x) x2(2 a)x a In x,贝y h

29、'(x)x易知h'(x)在0,1上是减函数，从而 h'(x) F(x)在区间0,1上是减函数。所以，a 2满足题意 10分(2)当2-a<0,即a>2时，设函数h'(x)的唯一零点为x0 ,那么 h(x)在(0, X。)上递增，在(x°,1)上递减。又T h(1) 0, h(x°) 0.又 t h(e a)e 2a (2 a)e a a eaIn ea 0, h(x)在(0, 1)内有唯个零点x',当 x (0, x')时，h (x) <0,当 x (x'1)时，h(x)>0.从而F ( 乂)在(0, x')递减，在(x' , 1)递增，与在区间0,1上是单调函数矛盾。14分 a>2不合题意.综合(1) (2)得，a 2.即a的取值范围是(，2 a 1 220、(2021威海二模)函数 f(x) aInxx 1 .1 1(【)当a时，求f (x)在区间,e上的取值;(n)讨论函数f (x)的单调性;(川)当 10时,有 f (x)2In( a)恒成立，求a的取值范围.解：(I)当af(x)bn x2 f (x)1 X2x 2X2 12xf (