2025-2026年济南槐荫区九年级中考数学二模考试试题以及含答案

年学业水平阶段性调研测试九年级数学(2026.05)本试题分试卷和答题卡两部分。第1卷满分为40分;第II卷满分为110分。本试题共8页，满分为150分。考试时间为120分钟。答卷前，请考生务必将自己的姓名、准考证号、座号、考试科目涂写在答题卡上，并同时将考点、姓名、准考证号、座号填写在试卷规定的位置。考试结束后，将试卷、答题卡一并交回。本考试不允许使用计算器。第I卷(选择题共40分)注意事项:第I卷为选择题，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。答案写在试卷上无效。一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）1.2026的绝对值是（）A.2026B.−12026C.120262.如图，该几何体是由四个大小相同的正方体搭建而成的，则该几何体的俯视图是（）3.钙是人体必需的矿物质，主要作用是构建和维持骨骼、牙齿结构，调节神经肌肉功能，参与凝血和细胞信号传递，已知成人每日钙的摄入量一般为0.0008千克。数据“0.0008”用科学记数法表示为（）A.0.8×10−3B.8×10−4C.80×10−5D.8×10−54.下列运算正确的是（）A.a2+a3=a5B.a2·a3=a6C.(ab3)2=ab6D.2a6÷a3=2a35.已知实数a、b在数轴上的位置如图所示，下列选项正确的是（）A.a−3>b−3B.a+3>b+3C.−3a<−3bD.a3<6.如图，将一副三角尺按下列位置摆放，使∠α和∠β互余的摆放方式是（）7.化简a−2a÷a−2aA.aB.1aC.a−1D.8.随着“双减”政策的实施和课后延时托管的开展，某学校开设了四门兴趣课程，分别为“绘画”“声乐”“陶艺”和“书法”。学校规定每人只能选择自己喜欢的一门课程学习，小明与小亮对这四门课程都感兴趣，在没有沟通的情况下，这两人选择同一门课程的概率是（）A.12B.38C.149.如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，①以点A为圆心，以适当长为半径画弧，交AC于点M，交AB于点N；②分别以点M、N为圆心，以大于12MN的长为半径画弧，两弧在∠CAB内部相交于点P；③作射线AP交BC于点D；④分别以点A、D为圆心，以大于12A.167B.16C.28D.32（第9题图）（第10题图）10.如图1，点E在正方形ABCD的边BC上，且BE=13BC，点P沿BD从点B运动到点D，设B、P两点间的距离为x，PE+PC=y，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，若图象的最低点M的纵坐标为10，则最高点N的纵坐标a的值为A.3+13B.3+10C.6D.322第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分）11.3的算术平方根是。12.如图，小正方形A1B1C1D1的4个顶点落在大正方形ABCD的对角线上，随机地往大正方形内投一个质点，该质点落在阴影区域的概率为。（第12题图）（第13题图）13.如图，正六边形ABCDEF的边长为6，以顶点B为圆心、AB的长为半径作弧AC，则弧AC的长度为。14.如图，在平面直角坐标系中，点B在函数y=4x的图象上，点A在函数y=kx(k≠0)的图象上，若OA=2OB，∠AOB=90∘，则k的值为（第14题图）（第15题图）15.如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90∘，AC=33，BC=4，点P为平面内一点，BP=1，连接AP、CP，点O为△ACP内一点，连接OA、OC、OP，则OA+OC+OP的最小值为。三、解答题（共10小题，共90分）16.（7分）计算：∣3−1∣+(21−π)0+(13)−1−tan60∘−17.（7分）解不等式组：2(x+5)>4−x①5x−118.（7分）如图，在□ABCD中，E、F是对角线AC上两点，且AE=CF。求证：∠AFD=∠CEB。19.（8分）如图1所示是一款机械手臂，由上臂、中臂和底座三部分组成，其中上臂和中臂可自由转动，底座与水平地面垂直。在实际运用中要求三部分始终处于同一平面内，其示意图如图2所示，经测量，上臂AB=16dm，中臂BC=8dm，底座CD=4dm。(1)若上臂AB与水平面平行，∠ABC=60∘，计算点A到地面的距离；（结果保留根号）(2)在一次操作中，中臂与底座夹角∠C=135∘，上臂与中臂夹角∠B=105∘，如图3，计算此时点A到地面的距离。（精确到0.1dm，参考数据：2≈1.41，3≈1.73）20.（8分）如图，△ABD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点C为AB延长线上的一点，连接CD，∠BDC=∠A，过点C作CG⊥AD，交AD的延长线于点G。(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)若CG=4，tan∠BDC=1221.（9分）为了解某校八年级学生假期参加社区服务的时间（单位：天），随机调查了该校八年级a名学生，根据统计的结果，绘制出如下的统计图1和图2。(1)填空：a的值为______，图2中m的值为______，统计的这组学生假期参加社区服务的时间数据的众数是______天、中位数是______天；(2)求统计的这组学生假期参加社区服务的时间数据的平均数；(3)根据样本数据，若该校八年级共有学生500人，估计该校八年级学生假期参加社区服务的时间是8天的人数约为多少？22.（10分）某公司计划购买A、B两种型号的AI机器人搬运材料。已知A型AI机器人比B型AI机器人每小时多搬运30kg材料，A型AI机器人搬运900kg所用时间与B型AI机器人搬运600kg所用时间相等。(1)求A、B两种型号的AI机器人每小时分别搬运多少材料；(2)该公司计划采购A、B两种型号的AI机器人搬运材料，且要求两种型号的机器人都必须购买，它们同时工作1小时恰好搬运720kg材料，那么有多少种购买方案？请列出所有可能的方案。23.（10分）如图1，一次函数图象与反比例函数y=kx(k≠(1)求反比例函数的表达式及点A的坐标；(2)如图2，直线AB与x轴交于点C，若点M为y轴正半轴上一点，并且S△MAB=2S△AOC，求点M的坐标；(3)点P是x轴上一点，点Q为平面内一点，当以点A、B、P、Q为顶点的四边形是以AB为一边的矩形时，请求出点P的坐标。24.（12分）在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AC=1，BC=3。【先导问题】(1)如图1，将△ABC绕点C逆时针旋转90∘得到△DEC，连接AD、BE，线段AD与BE的数量关系是______，线段AD与BE的位置关系是______；【提炼模型】(2)如图2，将△ABC绕点C逆时针旋转任意角度得到△DEC，连接AD、BE，AD交CE于点N，线段AD与BE的数量关系、位置关系与(1)中结论是否一致？请说明理由；【识别模型、应用模型】(3)如图3，将△ABC绕点C旋转一定角度得到△DEC，当点D落到AB边上时，连接BE，求线段BE的长。25.（12分）二次函数y=ax2+bx−4的图象与x轴交于A(−1,0)、B(4,0)两点，与y轴交于点C。(1)如图1，求二次函数的表达式及点C的坐标；(2)如图2，点P为线段BC下方二次函数图象上一点，过点P作y轴的平行线交BC于D，点E为线段CD上一点，满足CEED=1(3)如图3，点G坐标为(0,−1)，点M、N分别为线段CB、OB上的点，且满足ON=2CM，求GM+MN的最小值。答案一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）1.2026的绝对值是（A）A.2026B.−12026C.120262.如图，该几何体是由四个大小相同的正方体搭建而成的，则该几何体的俯视图是（C）3.钙是人体必需的矿物质，主要作用是构建和维持骨骼、牙齿结构，调节神经肌肉功能，参与凝血和细胞信号传递，已知成人每日钙的摄入量一般为0.0008千克。数据“0.0008”用科学记数法表示为（B）A.0.8×10−3B.8×10−4C.80×10−5D.8×10−54.下列运算正确的是（D）A.a2+a3=a5B.a2·a3=a6C.(ab3)2=ab6D.2a6÷a3=2a35.已知实数a、b在数轴上的位置如图所示，下列选项正确的是（D）A.a−3>b−3B.a+3>b+3C.−3a<−3bD.a3<6.如图，将一副三角尺按下列位置摆放，使∠α和∠β互余的摆放方式是（B）7.化简a−2a÷a−2aA.aB.1aC.a−1D.8.随着“双减”政策的实施和课后延时托管的开展，某学校开设了四门兴趣课程，分别为“绘画”“声乐”“陶艺”和“书法”。学校规定每人只能选择自己喜欢的一门课程学习，小明与小亮对这四门课程都感兴趣，在没有沟通的情况下，这两人选择同一门课程的概率是（C）A.12B.38C.149.如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，①以点A为圆心，以适当长为半径画弧，交AC于点M，交AB于点N；②分别以点M、N为圆心，以大于12MN的长为半径画弧，两弧在∠CAB内部相交于点P；③作射线AP交BC于点D；④分别以点A、D为圆心，以大于12A.167B.16C.28D.32（第9题图）（第10题图）10.如图1，点E在正方形ABCD的边BC上，且BE=13BC，点P沿BD从点B运动到点D，设B、P两点间的距离为x，PE+PC=y，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，若图象的最低点M的纵坐标为10，则最高点N的纵坐标a的值为A.3+13B.3+10C.6D.322第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分）11.3的算术平方根是3。12.如图，小正方形A1B1C1D1的4个顶点落在大正方形ABCD的对角线上，随机地往大正方形内投一个质点，该质点落在阴影区域的概率为12（第12题图）（第13题图）13.如图，正六边形ABCDEF的边长为6，以顶点B为圆心、AB的长为半径作弧AC，则弧AC的长度为4π。14.如图，在平面直角坐标系中，点B在函数y=4x的图象上，点A在函数y=kx(k≠0)的图象上，若OA=2OB，∠AOB=90∘，则k的值为（第14题图）（第15题图）15.如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90∘，AC=33，BC=4，点P为平面内一点，BP=1，连接AP、CP，点O为△ACP内一点，连接OA、OC、OP，则OA+OC+OP的最小值为。三、解答题（共10小题，共90分）16.（7分）计算：∣3−1∣+(21−π)0+(13)−1−tan60∘−=3−1+1+3﹣3﹣2=117.（7分）解不等式组：2(x+5)>4−x①5x−1解不等式①：2x+10>4−x3x>−6x>−2解不等式②：3(5x−1)≤2(x+5)15x−3≤2x+1013x≤13x≤1∴解集：−2<x≤1整数解：−1,0,1评分细则：解不等式①、②时，不写求解过程，直接写结果的均扣1分。18.（7分）如图，在□ABCD中，E、F是对角线AC上两点，且AE=CF。求证：∠AFD=∠CEB。证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD=BC，AD∥BC，∠FAD=∠ECB∵AE=CF，∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE∴△FAD≌△ECB（SAS）∴∠AFD=∠CEB评分细则：①要求体现等式的基本性质这一步（AE+EF=FC+EF），没有体现的只扣这一分，不影响后面的得分；②第一行“四边形ABCD是平行四边形”写成其他图形的，本题不得分；③解题过程中，如果出现角的字母或线段字母写错，则不得分，没有“笔下误”。19.（8分）如图1所示是一款机械手臂，由上臂、中臂和底座三部分组成，其中上臂和中臂可自由转动，底座与水平地面垂直。在实际运用中要求三部分始终处于同一平面内，其示意图如图2所示，经测量，上臂AB=16dm，中臂BC=8dm，底座CD=4dm。(1)若上臂AB与水平面平行，∠ABC=60∘，计算点A到地面的距离；（结果保留根号）(2)在一次操作中，中臂与底座夹角∠C=135∘，上臂与中臂夹角∠B=105∘，如图3，计算此时点A到地面的距离。（精确到0.1dm，参考数据：2≈1.41，3≈1.73）(1)解：延长DC交AB于M，∵上臂AB与水平面平行，底座与水平地面垂直，∴DM⊥AB，∠BMC=90∘∵∠ABC=60∘，BC=8dm，∴sinB=CMBC，即sin60∘=CM8=∴CM=43dm，∴DM=CM+CD=(43+4)dm，过点A作AN⊥ND，∴∠AND=90∘，四边形ANDM是矩形，∴AN=DM=(43+4)dm，答：点A到地面的距离为(43+4)dm。(2)解：过点B作BG垂直于地面，垂足为G，分别过点A，C作BG的垂线，垂足分别为E，F，∴∠AEB=∠AEG=90∘，∠BFC=∠CFG=90∘，∵四边形FGDC是矩形，∴∠FCD=90∘，∵∠BCD=135∘，∴∠BCF=45∘，∵∠ABC=105∘，∴∠ABF=60∘，∴sin∠CBF=CFBC，cos∠CBF=BF∴sin45∘=CF8=22，cos45∘=BF8∴CF=BF=42dm，在Rt△ABE中，∠AEB=90∘，cos∠ABE=BEAB∴cos60∘=BE16=1∴BE=8dm，∵四边形CFGD是矩形，∴FG=CD=4dm，∴EG=BF+FG−BE=42+4−8=42−4≈1.6dm，过点A作AH⊥GD，∴四边形AHGE是矩形，∴AH=EG≈1.6dm，答：此时点A到地面的距离约为1.6dm。评分细则：①用三角函数或者勾股定理之前要求体现哪个角等于90度，如果没写的只扣1分；②第1问中证明AN=DM和第2问中证明AH=EG，可以证矩形，也可以用平行线之间的距离相等，过程只要言之有理即可；③第2问的结果未精确到0.1dm的扣1分；④解题过程中，如果出现角的字母或线段字母写错，则不得分，没有“笔下误”。20.（8分）如图，△ABD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点C为AB延长线上的一点，连接CD，∠BDC=∠A，过点C作CG⊥AD，交AD的延长线于点G。(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)若CG=4，tan∠BDC=12(1)证明：连接DO，∵OA=OD，∴∠A=∠ODA，∵∠A=∠BDC，∴∠ODA=∠BDC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90∘，即∠ODA+∠BDO=90∘，∴∠BDC+∠BDO=90∘，即∠ODC=90∘∴OD⊥CD，∵OD为⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线。(2)解：∵∠A=∠BDC，∴tanA=tan∠BDC=12∵CG⊥AD，∴∠G=90∘，在Rt△ACG中，tanA=CGAG=1∴AG=2CG=8，∵∠ADB=90∘，∴BD⊥AG，∵CG⊥AG，∴BD∥CG，∴∠DCG=∠BDC，∴∠DCG=∠A，∵∠G=∠G，∴△GCD∽△GAC，∴GCGA=GDGC，即48∴AD=AG−DG=8−2=6。评分细则：①第(1)问作出辅助线，且描述正确的得1分，只描述出辅助线或只作出辅助线的扣1分；②第(1)问最后没写“OD⊥CD或OD为⊙O的半径”的只扣1分；③强调前后逻辑关系，错误的因出来的果也是错误的；④解题过程中，如果出现角的字母或线段字母写错，则不得分，没有“笔下误”。21.（9分）为了解某校八年级学生假期参加社区服务的时间（单位：天），随机调查了该校八年级a名学生，根据统计的结果，绘制出如下的统计图1和图2。(1)填空：a的值为______，图2中m的值为______，统计的这组学生假期参加社区服务的时间数据的众数是______天、中位数是______天；(2)求统计的这组学生假期参加社区服务的时间数据的平均数；(3)根据样本数据，若该校八年级共有学生500人，估计该校八年级学生假期参加社区服务的时间是8天的人数约为多少？填空：a=40，m=20，众数是6天，中位数是6天；(2)求平均数：X=4×6+5×8+6×12+7×4+8×1040答：统计的这组学生假期参加社区服务的时间数据的平均数是6.1天；(3)估计人数：500×25%=125（人）答：估计该校八年级学生假期参加社区服务的时间是8天的人数约为125人。评分细则：①第(1)问一个空1分；②第(2)问求平均数，式子得2分，结果1分；③式子对得1分，结果得1分。22.（10分）某公司计划购买A、B两种型号的AI机器人搬运材料。已知A型AI机器人比B型AI机器人每小时多搬运30kg材料，A型AI机器人搬运900kg所用时间与B型AI机器人搬运600kg所用时间相等。(1)求A、B两种型号的AI机器人每小时分别搬运多少材料；(2)该公司计划采购A、B两种型号的AI机器人搬运材料，且要求两种型号的机器人都必须购买，它们同时工作1小时恰好搬运720kg材料，那么有多少种购买方案？请列出所有可能的方案。(1)解：设B型AI机器人每小时搬运材料xkg，则A型AI机器人每小时搬运材料(x+30)kg，依题意列分式方程得：900x+30=600整理得：300x=18000，解得：x=60，经检验，x=60是原方程的解且符合题意，此时x+30=90，答：A型每小时搬运材料90kg，B型每小时搬运材料60kg；(2)解：设购买A型机器人a台，购买B型机器人b台，由题意得：90a+60b=720，∴3a+2b=24，∴b==12−3a2∵a、b取正整数，∴a=2b=9或a=4b=6或∴有3种方案：方案1：购买2台A型机器人，9台B型机器人；方案2：购买4台A型机器人，6台B型机器人；方案3：购买6台A型机器人，3台B型机器人。评分细则：①两问中设未知数时不写单位的扣1分，且仅扣一次分；②第(1)问未写求解方程过程的扣1分（至少一行）；③第(1)问未写检验的扣1分；④第(2)问中，没写3a+2b=24和b=12−3a2的不扣分；⑤第(2)问中，一个解1分，方案的内容都写全了得1分，写不全扣1分，简写不扣分。23.（10分）如图1，一次函数图象与反比例函数y=kx(k≠(1)求反比例函数的表达式及点A的坐标；(2)如图2，直线AB与x轴交于点C，若点M为y轴正半轴上一点，并且S△MAB=2S△AOC，求点M的坐标；(3)点P是x轴上一点，点Q为平面内一点，当以点A、B、P、Q为顶点的四边形是以AB为一边的矩形时，请求出点P的坐标。(1)解：将B(−3,−2)代入反比例函数表达式y=k得：−2=y=k﹣∴k=−2×(−3)=6，∴反比例函数表达式为y=6x把x=2代入y=6得：y=3，∴A(2,3)；(2)解：设直线AB的函数表达式是y=kx+b，把A(2,3)、B(−3,−2)代入y=kx+b得：2k+b=3∴5k=5，k=1，b=1，∴直线AB的函数表达式是y=x+1，当y=0时，x+1=0，x=−1，∴C(−1,0)，CO=1，∴S△AOC=12OC×yA=12×1×3=∴S△MAB=2S△AOC=3，设直线AB与y轴交于点D，则D(0,1)，∴S△MAB=12MD×(xA−xB)=12MD×(2+3)=∴MD=65∵DO=1，∴MO=DO+MD=65+1=11∴M(0,115(3)解：设点P(m,0)，∵A(2,3)、B(−3,−2)，∴AB2=(2+3)2+(3+2)2=50，BP2=(m+3)2+4，AP2=(m−2)2+9，①当四边形ABPQ为矩形时，∠ABP=90∘，∴AB2+BP2=AP2，∴50+(m+3)2+4=(m−2)2+9，解得m=−5，∴P(−5,0)；②当四边形ABQP为矩形时，∠BAP=90∘，∴AB2+AP2=BP2，∴50+(m−2)2+9=(m+3)2+4，解得m=5，∴P(5,0)；综上所述，点P的坐标为(−5,0)或(5,0)。评分细则：①第(1)问不求k值直接写反比例函数解析式的扣1分，没写求A点坐标的过程的扣1分；②第(2)问也可以直接用铅垂法求面积：S△MAB=12MD×(xA−xB③第(2)问解方程组的过程至少写一步，没有过程的扣1分；④第(3)问分类讨论，两种情况，一种2分，过程言之有理即可；⑤解题过程中，如果出现角的字母或线段字母写错，则不得分，没有“笔下误”。24.（12分）在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AC=1，BC=3。【先导问题】(1)如图1，将△ABC绕点C逆时针旋转90∘得到△DEC，连接AD、BE，线段AD与BE的数量关系是______，线段AD与BE的位置关系是______；【提炼模型】(2)如图2，将△ABC绕点C逆时针旋转任意角度得到△DEC，连接AD、BE，AD交CE于点N，线段AD与BE的数量关系、位置关系与(1)中结论是否一致？请说明理由；【识别模型、应用模型】(3)如图3，将△ABC绕点C旋转一定角度得到△DEC，当点D落到AB边上时，连接BE，求线段BE的长。(1)先导问题：BE=3AD，AD⊥BE（或垂直）；(2)提炼模型：线段AD与BE的数量关系、位置关系与(1)中结论一致，理由如下：∵将△CAB绕点C逆时针旋转任意角度得到△CDE，∴AC=DC=1，BC=CE=3，∠ECB=∠ACD，∴ACBC=CDCE=∴△BCE∽△ACD，∴ADBE=ACBC=∴BE=3AD，∵∠CEB+∠ENH=∠CDA+∠CND=90∘，∴∠EHD=90∘，∴AD⊥BE；(3)识别模型、应用模型：过点C作CN⊥AB于N，∵∠ACB=90∘，AC=1，BC=3，∴AB=AC2+BC∵CN⊥AB，∴∠ANC=90∘=∠ACB，又∵∠A=∠A，∴△ACN∽△ABC，∴ACAB=AN∴AN=1010∵AC=DC，CN⊥AB，∴AD=2AN=105由(2)可知：BE=3AD=310评分细则：①第(1)问满分2分，一个空1分；②第(2)问，写“线段AD与BE的数量关系，位置关系与(1)中结论一致”这个结论1分；③第(2)问和第(3)问中，书写△BCE∽△ACD、△ACN∽△ABC时，字母不对应，或者“∽”符号写错的扣1分；④第(3)问证明△ACN∽△ABC过程有误的，本步骤及后边均不得分；⑤第(3)问用勾股定理前面没有写∠ACB=90∘的扣1分；⑥解题过程中，如果出现角的字母或线段字母写错，则不得分，没有“笔下误”。25.（12分）二次函数y=ax2+bx−4的图象与x轴交于A(−1,0)、B(4,0)两点，与y轴交于点C。(1)如图1，求二次函数的表达式及点C的坐标；(2)如图2，点P为线段BC下方二次函数图象上一点，过点P作y轴的平行线交BC于D，点E为