常微分方程解的存在唯一性定理_第1页
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文档简介

1、常微分方程解的存在唯一性定理/山口一阶微分方程1其中'-是在矩形域匸 5- ;1 ' '上的连续函数。定义1如果存在常数丄：，使得不等式/.对于所有.I T都成立，那么函数-称为在亡上关于，满足Lipschitz 条件。定理1如果；' 在止上连续且关于°满足Lipschitz 条件，那么方程存在唯一的解，'1：-，定义于区间l '上，连续且满足初始条件汰八“孤二 m吨maxWW -_y0， 这里M，佃刃"。Picard逐步逼近法来证明这个定理的主要思想。首先证明求微分方程的初值冋题的解等价于求积分方程厂兀十jy 扎刃心的连续解

2、。然后去证明积分方程的解的存在唯一性。任取一个连续函数jl；-代入上面积分方程右端的匸,就得到函数幽©三兀十匚/兀咼功心，显然D -也是连续函数， 如果r'J '那末就是积分方程的解。否那么，我们又把:|代入积分方程右端的匸，得 到旳0三兀十/亿附工必，如果-: ，那末5就是积分方程的解。否那么我们继续这个步骤。一般地作函数略三旳+ L J入臥7仗必这样就得到连续函数序列：八八，】，如果"，取极限时，就得到那末就是积分方程的解。如果始终不发生这种情况，我们可以证明上面的函数序列有一个极限函数'，即 存在，因而对lim 關X=0 +lim f 丿匚岛.

3、1工必S -S-QDftJf=儿十Im/忑珞心必J阳卫TBO=兀十兀卩必J晞即h，这就是说是积分方程的解。这种步地求出方程的解的方法就称为 逐步逼近法。函数'''-称为初值问题的第塔次近似命题1设I宀'是方程 的定义于区间叭上，满足初始条件的解，那么宀:是积分方程丄'小''；的定义于''；上的连续解。反之亦然。现在取厂一 ，构造皮卡逐步逼近函数序列如下:&力=Jo环O匚片十了 匕钩T ©N ? 珥S S 十必J巾"12 命题2对于所有的咛,函数'- J -在上有定义、连续且满足不等式'.' -1.'1 1 0命题3 函数序列在-'上是一致收敛的。设辄盛处贝0刃也在心5皿上连续，且I吩一必半命题4'；：是积分方程的定义于' ：上的连续解。命题5设'是积分方程的定义于=-上-' T上的一个连续解，

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