平面向量的线性运算及练习试题

1、平面向量的线性运算学习过程知识点一：向量的加法(1)定义非零向量a，b,在平面内任取一点A,作AB = a , BC = b，那么向量AC叫做a与b的和，记作a b，即a b = AB + BC = AC .，即第二个向量要以 的向量即为和向求两个向量和的运算，叫做叫向量的加法.这种求向量和的方法，称为向量加法的三 角形法那么.说明：运用向量加法的三角形法那么时，要特别注意“首尾相接 第一个向量的终点为起点，那么由第一个向量的起点指向第二个向量终点 量. 两个向量的和仍然是一个向量，其大小、方向可以由三角形法那么确定. 位移的合成可以看作向量加法三角形法那么的物理模型.(2) 向量加法的平行四

2、边形法那么urn r以点0为起点作向量0A a , 0B b，以OA,OB为uuu邻边作丫 OACB，那么以0为起点的对角线所在向量 OC就r r uuu是a，b的和，记作a b =OC。说明：三角形法那么适合于首尾相接的两向量求和，而平行四边形法那么适合于同起点 的两向量求和，但两共线向量求和时，那么三角形法那么较为适宜 力的合成可以看作向量加法平行四边形法那么的物理模型.r rrrrr 对于零向量与任一向量a,a00aa(3) 特殊位置关系的两向量的和 当向量a与b不共线时，a + b的方向不同向，且|a+b|<| a|+| b| ； 当a与b同向时，贝y a + b、a、b同向，且

3、| a + b|=| a|+| b| , 当a与b反向时，假设| a|>| b|，那么a + b的方向与a相同，且I a+b |=| a|-| b| ；假设| a|<| b|，那么 a+b 的方向与 b相同，且 | a+b|=| b |-| a|.(4) 向量加法的运算律 向量加法的交换律: 向量加法的结合律:知识点二：向量的减法a + b =b + a(1) 相反向量：与a长度相同、方向相反的向量记作 a。(2) 向量a和-a互为相反向量，即-(-a). 零向量的相反向量仍是零向量.r r r r r 任一向量与其相反向量的和是零向量，即a + (- a) = (- a) + a

4、 = 0 .rrrrrrrrr 如果向量a，b互为相反向量，那么 a = -b , b = -a , a + b = ° .rrr r(3) 向量减法的定义：向量a加上的b相反向量，叫做 a与b的差rrrr即:ab=a +(b)求两个向量差的运算叫做向量的减法.(4) 向量减法的几何作法uir r uur ruir r r r r在平面内任取一点O,作°A a，OB b，那么BA a b 即a b可以表示为从向量rrb的终点指向向量a的终点的向量，这就是向量减法的几何意义.r r说明：AB表示a b .强调：差向量“箭头指向被减数r r rr用“相反向量定义法作差向量，a

5、b= a + ( b),显然，此法作图较繁，但最后作图可统一 知识点三：向量数乘的定义r(1) 定义：一般地，我们规定实数与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，r记作 a，它的长度与方向规定如下：rrI入引T入II即rrrrrrr当°时，入a的方向与a的方向相同；当°时，入a的方向与a的方向相反.r r当 °时，入a = °(2) 向量数乘的运算律根据实数与向量的积的定义，我们可以验证下面的运算律：设、为实数，那么1rr入(卩a)=(入卩)a ；rr(2)(入 + 卩)a =入 a +r卩a ；入(a + b )=入a +r入b .知识点四：向

6、量共线的条件r r r rrr向量a( a °)与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使b = a .学习结论(1) 两个向量的和仍然是向量，它的大小和方向可以由三角形法那么和平行四边形法那么 确定，这两种法那么本质上是一致的.共线向量加法的几何意义， 为共线向量首尾相连接， 第一个向量的起点与第二个向量的 终点连接所得到的有向线段所表示的向量.r rrr(2) a b可以表示为从向量 b的终点指向向量a的终点的向量(3) 实数与向量不能相加减，但实数与向量可以相乘.向量数乘的几何意义就是几个 相等向量相加.r rr rr r(4) 向量a(a0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使b=

7、 a。练习r ruir r r urn r r uuu r r例1.任意两个非零向量a，b，作°A a b，OB a 2b,OC a 3，试判断 A B、C三点之间的位置关系.ULW- 解：AB = °B 一 OA = a+2b (a+b) = b,uuu .-且 AC = °C °A = a+3b- (a+b) = 2 b ,uuu uuuAC =2 AB .所以，A、B、C三点共线.例2.如图，平行四边形 ABCD勺两条对角线相交于uuu r uuu rr r点uuu uui且uAB =uu， AD = b，试用 a， b 表示向量 MA,MB,MC

8、,MDuuiu uuu i r ruuu1 rruuiuuuu2uuuuu1 r r uuiu1 rrMA-(ab),DMMBMAAB(a b)所以 MD- (ba)2 2 2例3. 一艘船从长江南岸 A点出发以5 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江解析：AM Mc = (a b)，所以水的流速为向东 2 km/h .试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度(保存两个有效数字)；求船实际航行速度的大小与方向(用与江水速度间的夹角表示，精确到度).分析：速度是一个既有大小又有方向的量，所以可以用向量表示， 速度的合成也就是向 量的加法.解析：如图，设AB作邻边作平行四边形AD表示

9、船向垂直于对岸行驶的速度，AB表示水流的速度，以 ADABCD那么AC就是船实际航行的速度.在Rt ABC中，| AB| =2,| BC | = 5,| AC | = Juuu2 ABuuu BC2 722 52.295.45 tan / CAB=2答：船实际航行速度的大小约为km/h，方向与水的流速间的夹角为约为CAB 6868° .1.( 2006上海理)如图，在平行四边形ABCD中，以下结论中错误的选项是(2.3.(A) AB = DC ；(C) AB - AD = BD ； (2007湖南文)假设 OE、 uuu 一 A . EF uuurC. EFuuuOF uuur OF

10、uuuOEuuuOE(B)AD + AB = AC ；AD + CB = 0 .(D)F是不共线的任意三点，那么以下各式中成立的是uuurB. EFuuuD. EF)B(2003辽宁)四边形ABCD是菱形,A.(ABAD),(0,1)C.(ABAD),(0,1)uuur uuu OF OE uuur uuu OF OE点P在对角线B.D.AC上(不包括端点 A C),那么AP(AB(ABBC),BC),4.( 2021辽宁理)O, A B是平面上的三个点，直线AB上有一点 uuur那么OC (uuuA. 2OA心)2(0爭uuurC,满足2ACuuuCB 0,5.6.)uuuOB(2003江苏

11、;动点P满足uuu uuuB. OA 2OB天津文、理)uuuOPuuuOAC.2 uuuOA31 uunD.-OA3O是平面上一定点,uuuuuurAC、 uuur ),AC1 uuuOB3B C是平面上不共线的三个点,2 uuuOB30,那么P的轨迹一定通过 VABC的()(A)外心(2005全国卷uuu(B)内心(D)垂心n理、文)点A( 3,1),uuuCE ,与BC相交于E，那么有BC1(A)2( B) (C)32设a, b是两个不共线的非零向量，假设向量7.k=8. ( 2007江西理).如图，在 ABC中，点(C)重心B(0,0) , C( .3,0).设 BAC 的平分线 AE

12、其中 等于()(D)-3ka 2b与8a kb的方向相反，贝UO是BC的中点，过点 O的直线分别交直线 ABB的值AC于不同的两点 M N,假设AB = m AM , AC = n AN，那么m+ n的值为9. ( 2005全国卷I理) ABC的外接圆的圆心为 O,两条边上的高的交点为H,OH m(OA OB OC)，那么实数10. (2007陕西文、理)如图，平面内有三个向量 OA、OB、OC，其中OA与OB的夹角为120° OA与OC的夹角为30°,且OA = OB = 1,OC=2 2 .假设 OC = OA OB( ,R),那么复习目标：? 1、? 2、?3、复习2

13、:向量的减法向量a和向量b,作向量a- b.复习3：向量的数乘向量a,作向量3a和-3a.复习4:平面向量共线定理例 1. B. 例 2.A. 例 3. B.(三) 根底训练：1. C;2. B. 3.A.4.A.5. B 6.C;7._ 4_; 8._. 9.J_10. 26(四) 拓展与探究：1 311、D.;12.( ,0),(,). 2 2平面向量的线性运算复习课掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义掌握向量数乘运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义 了解向量的线性运算性质及其几何意义重点:向量加、减、数乘运算及其几何意义.难点：应用向量线性运算的定义、性质灵活解决相应的问题

14、 一、学案导学自主建构复习1:向量的加法向量a和向量b,作向量a+b.二、合作共享交流提升举自测回曲曹亠uur urnuuu uuu uuuuuu uuu uuu uuu1、填空：(1)AD CA (2) AB CB DC-(3)AB AC BD CD在平行四边形 ABCD中，假设uuu uuir AB ADuuu uur AB AD那么BAD2、判断题：1 相反向量就是方向相反的向量 uuu uui r2AB BA 0uur uuu uuu3AB OA OBuuu uur uur r(4)在厶ABC中，必有AB BC CA 0uuruurunr5假设 AbBCCA 0,贝U A、B、C三点必

15、是一个三角形的三个顶点。uuuuuruuur3、假设 OA3OB2OC,那么代B,C三点是否共线三、案例剖析总结规律例1:根据条件判断以下四边形的形状uuur(1)ADuuuBCuur i uu(2) AD - BC3uur(3) ADuuuBC,且uuu ABuuur ADuuuOAuuur OCuuu ujurOB OD;O是四边形所在平面内一点uuur(5)ACuuu ABuuirADuur uuir uuir uuu四边形ABCD的对角线 AC与BD相交于点 O,并且 AO OC,DO OB例2、如图，在OAB 中，延长BA到C,使AC=BA,在OB上取点D,使BD=W OA交于E,设uurr ir uuu r r ruuu uurOA a,OB b,请用a,b表示向量OC,DC例3、设？ ABCD一边AB的四等分点中最靠近 B的一点为E,对角线BD的五等分点中靠近 B的一点为F,求证：E、F、C三点在一条直线上.四、反应矫正形成能力 跟踪训练：uuu r uur r