大学数学：ch5-6 多元函数微分学在几何上的简单应用-1

1、2013年4月 南京航空航天大学 理学院 数学系1第6节 多元函数微分学在几何上的 简单应用6.1 6.1 平面曲线的切线与法线平面曲线的切线与法线6.2 6.2 空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面6.3 6.3 曲线的弧长曲线的弧长6.4 6.4 曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线(Geometric Applications 0f Differentiation of Functions of Several Variables)2第6节 多元函数微分学在几何上的 简单应用6.1 6.1 平面曲线的切线与法线平面曲线的切线与法线（tangent line of a curve

2、in plane)6.2 6.2 空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面（tangent line of a curve in space)6.4 6.4 曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线(Tangent Plane and Normal Line to (Tangent Plane and Normal Line to a Surface) a Surface) 36.1 6.1 平面曲线的切线与法线平面曲线的切线与法线曲线曲线 L ： ( , )0F x y 曲线曲线 L ： ( )yf x ( ),( ),xx tyy tt曲线曲线 L ：已知平面光滑曲线已知平面光滑曲线)(x

3、fy ),(00yx切线方程切线方程0yy 法线方程法线方程0yy )(00 xxxf)()(100 xxxf在点在点有有若平面光滑曲线方程为若平面光滑曲线方程为, 0),(yxF( ,d( , )d)xyFx yFyx yx 故在点故在点00(,)xy切线方程切线方程法线方程法线方程0()yy 00(,)yFxy 000(,)()xFxyxx 0 有有因因 000(,)()0 xFxyyy00(,)yFxy0()xx 4( ),( ),xx tyy tt00000000(),.()()()()xxyyyyxxxty ttyx t 或或对于平面光滑曲线对于平面光滑曲线00000(,)( (),

4、 ()P xyx ty t 若若 是其上一点是其上一点, 则曲线则曲线 0P在点在点 处的切线为处的切线为 ( ),( ),xx tyy tt曲线曲线 L ：0P在点在点 处的法线为处的法线为 00000000(),.()()()()xxyyyyxxy tx tx ty t 或或5例例1 求笛卡儿叶形线求笛卡儿叶形线 332()90 xyxy0(2,1)P在点在点 处的切线与法线处的切线与法线. 33( , )2()9.F x yxyxy解解 设设近旁满足隐函数定理近旁满足隐函数定理 0FP在点在点的条件的条件. 容易算出容易算出 00(),()(15,12),xyFPFP于是所求的切线与法线

5、分别为于是所求的切线与法线分别为 15(2)12(1)0,5460;12(2)15(1)0,45130.xyxyxyxy即即即即66.2 6.2 空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面( ) ,( ) ,( )rx ty tz t (1) 用参数方程表示的空间曲线用参数方程表示的空间曲线: :( ),( ),( ),.xx tyy tzz tt( , , )0,:( , , )0.F x y zLG x y z (2) 用直角坐标方程表示的空间曲线：用直角坐标方程表示的空间曲线： 7补充：一元向量值函数的导数与微分补充：一元向量值函数的导数与微分 12( )( )( ), ( )mfxf

6、xf xxRfx :mfARR 0()Df x 定义定义一元向量值函数一元向量值函数 f 的导数为：的导数为：00000()()()limxx xf xxf xdffxdxx 显然显然 f 可导可导当且仅当当且仅当其每个分量可导，并且其每个分量可导，并且： 00100D ()()(),()Tmf xfxfxfx80:P P割割线线的的方方向向向向量量 00000(),tttr ttOPxx yy zz 对应对应000000()- ( )P Pr r ttr txxyyzz =（，）（，）切线的方向向量切线的方向向量: :000( ( ), ( ), ( )x ty tz t 000000( )

7、(,)ttr tOPxyz 设 对应设 对应00000()( )limlimttt tr ttr trdrttdt (1) 用参数方程表示的空间曲线用参数方程表示的空间曲线: :( ( ) ,( ) ,( ),.rx ty tz tt T0PPO0()r tt 0( )r t r 0 90000000(,)( (), (), (),P xyzx ty tz t 若且有若且有000000.(2)()()()xxyyzzx ty tz t222000()()()0,xtytzt过点过点 P0 且垂直于切线且垂直于切线 P0T 的平面的平面p p , 称为曲线称为曲线 在点在点 处的处的法平面法平面

8、 (见后图见后图). 0P:( ) ,( ) ,( )rx ty tz t 000( ( ), ( ), ( )x ty tz t 曲线在曲线在P0处的处的切线方程切线方程:10也是法平面的法线向量也是法平面的法线向量,切线的方向向量切线的方向向量:称为曲线的称为曲线的切向量切向量 .p0P000( ( ), ( ), ( )x ty tz t 因此得因此得法平面方程法平面方程 000000()()()()()()0. (3)x txxy tyyz tzz11( , , )0,:(4)( , , )0.F x y zLG x y z (2) 用直角坐标方程表示的空间曲线：用直角坐标方程表示的空

9、间曲线： 设设 近旁具有连续的近旁具有连续的 00000(,);,PxyzL F GP在点在点 一阶偏导数一阶偏导数, 且且 xzzxyyzyGF0,若若001,(), ()()yxzx xxyy xzz x 3 由隐函数 定理由隐函数 定理 000001xxyyzzyxzx (5)12解解 容易求得容易求得 故切向向量为故切向向量为 01, 1, 2 2,2Pp p 例例 4 求空间曲线求空间曲线 :sin ,1cos ,4sin(2)Lxttyt zt 在点在点 处的切线和法平面处的切线和法平面. 00(2)Pt p p对对应应于于000(),(), ()x ty tz t 由此得到切线方

10、程和法平面方程分别为由此得到切线方程和法平面方程分别为 (1, 1,2 ). 000(1cos, sin, 2cos(2)ttt13(1)(1)2(2 2 )0,:2xyz p p24.2xyzp p即即2 2:11;22zxy pp14sin ,1cos ,4sin(2).xtt yt zt2 tp2t p2t p 0 t15222222:50,xyzxyz 例例5 求曲线求曲线 0(3,4,5)P在点在点 处的切线与法平面处的切线与法平面. 解解0(3,4,5)P代入上式得代入上式得22 2022 20 xyyzzxyyzz 000034 5 034 5 0yzyz 000, 3 4,zy

11、 1, 3 4,0 /4, 3,0 345430 xyz 切线：切线：:4(3)3(4)0 (5)0 xyz法平面法平面430 ().xyz即平行于轴即平行于轴165.4 5.4 曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线 曲面的表示曲面的表示( , )( ( , ), ( , ), ( , )r u vx u vy u vz u v 向向量量形形式式:( , , )01S F x y z （ ） 隐式（ ） 隐式( , )2Szf x y：（ ） 显式：（ ） 显式( , )( , )( , )( , )xx u vSyy u vu vDzz u v ：（3 3）参数形式参数形式：则此映射可表示为

12、：则此映射可表示为： 171819( )( )xtytxyzM(x,y,z)20:( , ),( , ),( , ).(3)Sxx u vyy u vzz u v曲面双参数方程来表示曲面双参数方程来表示: 00(,)u v所对应的点所对应的点0000(,),MxyzS 假设假设 可以证明可以证明:此平面称为此平面称为 在该点的在该点的切平面切平面. 上过点上过点 M0 的任何曲线在该点的切线都的任何曲线在该点的切线都在同一平面上在同一平面上. 0M ( ( ), ( )rr u t v t 或或 000(,)u vt :( ),( )uu tvv t设设0000000(,)( )(,) ( )

13、uvt tdrr u v u tr u v v tdt 事实上事实上，0uvt tdrrrdt 是是 , , 的的线线性性组组合合. . 21过过M0取两坐标曲线的切向量分别为取两坐标曲线的切向量分别为 0000100(,)200(,)(,)(,),(,)(,).uuuuu vvvvvu vru vxyzr u vxyz 现在要来求出这种曲面的切平面和法线的方程。现在要来求出这种曲面的切平面和法线的方程。则所求的法向量为则所求的法向量为 0012(,)( , )( , )( , ),( , )( , )( , )uvy zz xx ynu vu vu v 切平面方程为切平面方程为000()()

14、()0A xxB yyC zz: ( ,)A B C 000.xxyyzzABC法线方程分别为法线方程分别为22(1) 空间曲面空间曲面S方程为方程为),(yxfz 曲面在曲面在M0处的处的切平面方程切平面方程为为,)(,()(,(0000000zzyyyxfxxyxfyx 曲面在曲面在M0处的处的法线方程法线方程为为.1),(),(0000000 zzyxfyyyxfxxyx( , )( , ,( , ),r x yx y f x y 令令( , )(1,0,( , ),xxrx yfx y ( , )(0,1,( , ),yyrx yfx y ( , ),( , ),1),xyxynrrf

15、x yfx y 23(,1)/ /(,)yxxyxyzzzFFnrrF F FFF00000222:( , , )0,(,),( , , ),0 xyzMS F x y zMxy zF x y zMFFF (2) (2) 设设在在点点有有连连续续的的偏偏导导数数 且且( , ),( , )yxxyzzFFfx yfx yFF 0000000000(,),(,),(,)xyzMnFxy zFxy zF xy z 0,zif F 可确定隐函数可确定隐函数( , ) ,zz x y ( , , )0F x y z 240000222:( , , )0,(,),( , , ),0 xyzMS F x

16、y zMxy zF x y zMFFF (2) (2) 设设在点有连续在点有连续的偏导数 且的偏导数 且)( ),(0000 xxzyxFx曲面曲面 S 在点在点 M0的的法向量法向量)( ),(0000yyzyxFy0)(,(0000zzzyxFz切平面方程切平面方程),(, ),(, ),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx法线方程法线方程 000zzyyxx),(000zyxFx),(000zyxFy),(000zyxFz25解解 先计算在先计算在 处的法向量处的法向量 ( 2,)4p pcossin0sincosuuuvvvijkijknxyzvvxyzuvuva si

17、ncosaviavjukcos ,sin ,.(1)xuvyuvzav例例1 设曲面的参数方程为设曲面的参数方程为 求曲面在点求曲面在点 处的切平面与法线方程处的切平面与法线方程. 4vp p 2,u 0(1,1,)4Map p2,4uvp p( 2,)4p p( 2,)4p p( 2,)4p p( 2,)4p p22(, 2)22aa26切平面切平面方程为方程为(1)(1)2()0,4a xa yzap p202axayzap p22(, 2)/ /( ,2)22naaaa 0(1,1,)4Map p2,4uvp p法线法线方程为方程为114.2zxyaap p 27解解, 1),(22 y

18、xyxf)4, 1 ,2()4, 1 ,2(1,2,2 yxn,1, 2, 4 切平面切平面方程为方程为, 0)4()1(2)2(4 zyx, 0624 zyx法线法线方程为方程为.142142 zyx28解解, 32),( xyezzyxFz, 42)0,2, 1()0,2, 1( yFx, 22)0,2, 1()0,2, 1( xFy, 01)0,2, 1()0,2, 1( zzeF令令切平面方程切平面方程法线方程法线方程, 0)0(0)2(2)1(4 zyx, 042 yx.001221 zyx29解解设设 为曲面上的切点为曲面上的切点,),(000zyx切平面方程为切平面方程为0)(6

19、)(4)(2000000 zzzyyyxxx依题意，切平面平行于已知平面，得依题意，切平面平行于已知平面，得,664412000zyx .2000zyx 30因为因为 是曲面上的切点，是曲面上的切点，),(000zyx, 10 x所求切点为所求切点为满足方程满足方程),2 , 2 , 1(),2, 2, 1( 0)2(12)2(8)1(2 zyx2164 zyx0)2(12)2(8)1(2 zyx2164 zyx切平面方程切平面方程(1)切平面方程切平面方程(2)31)(,()(,(0000000yyyxfxxyxfzzyx 切平面切平面上点的上点的竖坐标竖坐标的增量的增量的全微分的全微分在点

20、在点函数函数),(),(00yxyxfz 因为曲面在因为曲面在M0处的切平面方程为处的切平面方程为(1)全微分的几何意义全微分的几何意义注意注意：32, 法向量法向量(2)用用221cos1xyff 将将0000(,) ,(,)xyfxyfxy,xyff法向量的法向量的方向余弦：方向余弦：表示法向量的方向角表示法向量的方向角, 并假定法向量方向并假定法向量方向. 则则为为锐锐角角分别记为分别记为则则2222cos, cos,11yxxyxyffffff 向上向上,0000(,) ,(,) , 1)xynfxyfxy33这比前面导出这比前面导出 的过程更为直观的过程更为直观, 也容也容易记得住易

21、记得住. 1n 0P( , , )0G x y z ( , , )0F x y z 2n 1212,( , , )0(3) :( , , )0,xyzxyzxyzxyznF F FF x y zG x y znG G GijknnFFFGGG 34定义定义 若若 存在连续的一阶偏导数存在连续的一阶偏导数, 且满足且满足 ( , , )F x y z( , , )0F x y z (,)(0,0,0),xyzFFF 则称曲面则称曲面 为为 一一光滑曲面光滑曲面. 对于用双参数方程对于用双参数方程 (1) 表示的曲面表示的曲面, 应如何定义应如何定义 它为光滑曲面它为光滑曲面? 请看请看P116.

22、 351.1. 平面曲线的切线与法线平面曲线的切线与法线已知平面光滑曲线已知平面光滑曲线)(xfy ),(00yx切线方程切线方程0yy 法线方程法线方程0yy 若平面光滑曲线方程为若平面光滑曲线方程为, 0),(yxF( , )dd( , )xyFx yyxFx y 故在点故在点),(00yx切线方程切线方程法线方程法线方程)(0yy 00(,)yFxy )(),(000 xxyxFx000()()fxxx 001()()xxfx 在点在点有有有有因因 0)(),(000yyyxFx00(,)yFxy)(0 xx 小结小结362. 空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面 切线切线方程方

23、程 000zzyyxx法平面法平面方程方程00( )()x txx ( ):( )( )xx tyy tzz t 空间光滑曲线空间光滑曲线切向量切向量0( )x t0( )y t0( )z t00( ) ()y tyy00( )()0z tzz000( ) ,( ) ,( )x ty tz t :( ) ,( ) ,( )rx ty tz t 37 :01yyxz 平平 面面 曲曲 线线 , ,0:, ,)0(2Fx y zG x y z 曲曲面面式式 一一般般式式 0000yyyxxxz 000010 xxyyzyx xzzxyyzyGF0,若若 001,(), ()Tyxzx xxyy x

24、zz x 000001xxyyzzyxzx 3 由由隐隐函函数数 定定理理注384.4.曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线( , )( , )( , )xx u vSyy u vzz u v ：（3） 参数形式：（3） 参数形式00000010(,)20(,)( ,)(,),(, )(,),uuuuu vuvvvvu vvru vxyzr uvxyz ( , )( ( , ), ( , ), ( , )r u vx u vy u v z u v 向量形式向量形式12uuuvvvixjzxyznyk 法向量：法向量：0000000( (,), (,), (,)P x u vy u vz u v

25、点：点：39( , )2Szf x y：（ ） 显式：（ ） 显式0000(,)(,)1xynfxyfxy （， ）（， ）.1),(),(0000000 zzyxfyyyxfxxyx0000(,)P xy z点：点：,)(,()(,(0000000zzyyyxfxxyxfyx 切平面方程切平面方程为为法线方程法线方程为为0000(,)(,)1xynfxyfxy 或（-，-， ）或（-，-， ）40切平面方程切平面方程为为法线方程法线方程为为.),(),(),(000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx 000000000(,),(,),(,)xyznFxy zFxy

26、zF xy z :( , , )0.SF x y z 000000000000(,)()(,)()(,)()0 xyzFxy zxxFxy zyyF xy zzz0000(,)P xy z点：点：41EX2EX2. . 求曲线求曲线2223023540 xyzxxyz 在点在点(1,1,1)(1,1,1) 的切线的切线与法平面与法平面. .23,20 xt ytztxyzp p 在在曲曲线线：上上求求一一点点使使在在该该点点的的切切线线平平行行于于平平面面 ：，并并求求过过该该点点的的切切线线方方程程。EX342解解当当0 t时，时，, 2, 1, 0 zyx,costext ,sincos2tty ,33tez , 1)0( x, 2)0( y, 3)0( z切线方程切线方程,322110 zyx法平面方程法平面方程, 0)2(3)1(2 zyx. 0832 zyx即即43EX2EX2. . 求曲线求曲线2223